x
Učitavanje

Aktivnosti za samostalno učenje

    Europska unija, Zajedno do fondova EU
    Sadržaj jedinice
    Povećanje slova
    Smanjenje slova
    Početna veličina slova Početna veličina slova
    Visoki kontrast
    a Promjena slova
    • Verdana
    • Georgia
    • Dyslexic
    • Početni
    Upute za korištenje

    Na početku...

    Na fotografiji je pčela na cvijetu

    Staroindijski su matematičari često zadatke zadavali u stihovima. Evo jednog takva zadatka.

    Jedna petina nekog roja pčela spustila se na cvijet kadambe, a jedna trećina na cvijet silindhe. Trostruka razlika tih brojeva odletjela je do cvjetova kutuje. Preostala je još jedna pčela, lebdeći u zraku amo-tamo, podjednako privlačena dražesnim mirisom jasmina i pandama. Reci mi, divna ženo, koliko je pčela bilo u roju?

    Odgovorite na pitanje u zadatku. Koji ste matematički model primijenili?

    Smislite zadatak riječima koji će se rješavati postavljanjem linearne jednadžbe. Podijelite zadatke unutar razreda. Riješite zadatak koji je postavio netko iz razreda.

    Nekoliko zadataka

    Zadatak 1.

    Riješite jednadžbe.

    1. 2 x - 3 2 - 5 x + 1 3 = 5
    2. 2 x - 4 = 3 - x
    3. 5 + x = 2 x
    1. - 41 4
    2. 7 3 ; 1  
    3. 5

    Zadatak 2.

    Riješite nejednadžbe.

    1. 4 x - 3 2 + 5 x 0  
    2. 3 - 4 x 2
    1. - , - 2 5 3 4 ,  
    2. 1 4 , 5 4  

    Zadatak 3.

    Neke jednadžbe i nejednadžbe imaju konačno mnogo rješenja, neke beskonačno mnogo, a neke nemaju rješenja. Riješite jednadžbe i nejednadžbe pa ih razvrstajte prema tom kriteriju.

    4 2 x - 1 = 2 x - 0.5   ​

    Konačno mnogo rješenja

     Nema rješenja

     Beskonačno mnogo rješenja

    null
    null

    Zadatak 4.

    Označite točan odgovor.

    1. Ako jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja, svaki je realni broj rješenje.

      null
      null
    2. Ako jednadžba ima konačno mnogo rješenja, onda ima samo jedno rješenje.

      null
      null

    Zadatak 5.

    Na slici je polica za knjige

    Maja je pronašla sliku police za knjige. Želi napraviti takvu policu, a zamislila je da se širina i visina odnose kao 3 : 4 . Ima na raspolaganju 8.05 m daske. Odredite dimenzije police. Hoće li na policu u uspravnom položaju stati knjiga kojoj su dimenzije 17 x 24 cm ?

    Na slici su označene dimenzije police za knjige.

    5 x + 2 · 4 3 x = 805 , x = 1.05

    Polica će biti široka 1.05 m , a visoka 1.4 m . Visina jednog reda police je 35 cm pa će knjiga stati na policu.


    Zadatak 6.

    Učenik tijekom školske godine iz Matematike piše četiri ispita i iz svakog od njih može dobiti 50  bodova. Za aktivnosti (domaće zadaće, projekti, umne mape i slično) može dobiti još 40  bodova. Za zaključnu ocjenu odličan treba imati najmanje 90 % ukupnoga broja bodova. Učenik je u prva tri ispita imao 35 , 49  i 46  bodova. Za aktivnosti je dobio ukupno 37  bodova. Može li učenik dobiti zaključnu ocjenu odličan? Ako može, koji je najmanji broj bodova koje mora dobiti na četvrtom ispitu?

    Označimo broj bodova na četvrtom ispitu s x .

    35 + 49 + 46 + 37 + x 240 0.9 , x 49

    Učenik može dobiti zaključnu ocjenu odličan, ali na četvrtom ispitu mora dobiti najmanje 49  bodova.


    1. Rješenje jednadžbe 2 x - a + 3 x + a = 1 x 2 - a 2 je 2 ako je vrijednost parametra a .
      null
      null
    2. Jednadžba a a x - 1 = 5 5 x + 1 nema rješenja ako je vrijednost parametra a .
      null
      null
    3. Apsolutna vrijednost rješenja jednadžbe 3 a x + 2 5 + x 4 = 1   je 1 ako je vrijednost negativnog parametra a na dvije decimale jednaka .
      null
      null

    Zadatak 7.

    Odaberite pravu jednadžbu ili nejednadžbu s odgovarajućim prikazom rješenja na brojevnom pravcu.


    1. Na slici su označeni dijelovi brojevnog pravca lijevo od broja -1 i desno od broja 5. Brojevi -1 i 5 označeni su punom točkom.

      null
      null

    2. Na slici je označen dio brojevnog pravca između brojeva -1 i 5. Brojevi -1 i 5 označeni su punom točkom.

      null
      null

    3. Na slici su označeni brojevi -1 i 5 punom točkom.

      null
      null

    4. Na slici je označen broj 5 punom točkom.

      null
      null

    Još neke jednadžbe s apsolutnim vrijednostima

    Primjer 1.

    Naučili ste rješavati jednadžbe s apsolutnim vrijednostima koje se svode na jednadžbe oblika​ x = a i x = y . Riješite jednadžbe.

    1. 5 x - 3 = 2  
    2. 5 x - 3 - 2 x + 1 = 0
    1. Prema definiciji apsolutne vrijednosti je

      5 x - 3 = - 2 ili 5 x - 3 = 2 pa je

      x = 1 5 ili x = 1 .

    2. Jednadžbu možemo zapisati u obliku

      5 x - 3 = 2 x + 1 pa je

      5 x - 3 = 2 x + 1 ili 5 x - 3 = - 2 x + 1 ,

      x = 4 3 ili x = 2 7 .


    Primjer 2.

    Promotrimo jednadžbu 5 x - 3 - 2 x + 1 = 2 . Možemo li tu jednadžbu riješiti slično kao i jednadžbe iz prethodnog primjera? Ne možemo jer se ta jednadžba ne može svesti na oblik x = a ili x = y .

    Kako riješiti jednadžbu? Najprije ju treba zapisati bez znaka apsolutne vrijednosti. Prisjetite se definicije apsolutne vrijednosti.

    1. x =
       
      za < x 0 ,
      x =
       
      za x > 0 .

      x
      - x

      null
      null
    2. 5 x - 3 =

       
      ako je 5 x - 3 0 .
      5 x - 3 = 5 x - 3 =
       
      ako je 5 x - 3 > 0 .

      - 5 x - 3
      5 x - 3   ​

      null
      null
    3. 2 x + 1 =  

       
      ako je 2 x + 1 0 .
      2 x + 1 =
       
      ako je ​ 2 x + 1 > 0 .

      2 x + 1
      - 2 x + 1

      null
      null

    Primjer 3.

    Riješimo jednadžbu 5 x - 3 - 2 x + 1 = 2 . Da bismo jednadžbu zapisali bez znaka apsolutne vrijednosti, treba razlikovati slučajeve s obzirom na predznake izraza 5 x - 3 i 2 x + 1 . Koliko ima mogućnosti?

    1. Prvi slučaj: 5 x - 3 0 , 2 x + 1 0

      Jednadžbu možemo zapisati bez znaka apsolutne vrijednosti:

      - 5 x - 3 - - 2 x + 1 = 2  

      - 5 x + 3 + 2 x + 1 = 2 čije je rješenje x = 2 3 .

      Provjerimo je li x = 2 3 rješenje početne jednadžbe. Provjeru uvijek možemo obaviti uvrštavanjem u početnu jednadžbu:

      5 · 2 3 - 3 - 2 · 2 3 + 1 = 1 3 - 7 3 = - 2 2 .

      Zaključujemo: x = 2 3 nije rješenje početne jednadžbe.

      Do istog smo zaključka mogli doći i provjerom uvjeta. Provjeravamo jesu li za x = 2 3 istinite obje nejednakosti 5 x - 3 0 , 2 x + 1 0 :

      5 · 2 3 - 3 = 1 3 > 0 , 2 · 2 3 + 1 = 7 3 > 0 pa x = 2 3 ne zadovoljava uvjete i zato nije rješenje početne jednadžbe.

    2. Drugi slučaj: 5 x - 3 0 , 2 x + 1 > 0

      Jednadžbu zapisujemo bez znaka apsolutne vrijednosti:

      - 5 x - 3 - 2 x + 1 = 2

      - 5 x + 3 - 2 x - 1 = 2 čije je rješenje x = 0 .

      Provjerimo je li x = 0 rješenje početne jednadžbe. Uvrštavamo u početnu jednadžbu:

      5 · 0 - 3 - 2 · 0 + 1 = - 3 - 1 = 3 - 1 = 2 .

      Zaključujemo: x = 0 je rješenje početne jednadžbe.

      Ili možemo provjeriti jesu li za x = 0 istinite obje nejednakosti 5 x - 3 0 , 2 x + 1 > 0 :

      5 · 0 - 3 = - 3 0 , 2 · 0 + 1 = 1 > 0 pa x = 0 zadovoljava uvjete i zato je rješenje početne jednadžbe.

    Riješite preostala dva slučaja.

    1. Treći slučaj: 5 x - 3 > 0 , 2 x + 1 0

      Jednadžbu možemo zapisati bez znaka apsolutne vrijednosti:

      5 x - 3 - - 2 x + 1 = 2

      5 x - 3 + 2 x + 1 = 2

      x = 4 7 .

      Uvrštavamo x = 4 7 u početnu jednadžbu:

      5 · 4 7 - 3 - 2 · 4 7 + 1 = - 1 7 - 15 7 = - 2 2 .

      Zaključujemo: x = 4 7 nije rješenje početne jednadžbe. Provjerom bismo uvjeta također zaključili da za x = 4 7 nejednakosti 5 x - 3 > 0 , 2 x + 1 0 nisu istinite.

    2. Četvrti slučaj: 5 x - 3 > 0 , 2 x + 1 > 0

      Jednadžbu možemo zapisati bez znaka apsolutne vrijednosti:

      5 x - 3 - 2 x + 1 = 2

      5 x - 3 - 2 x - 1 = 2

      x = 2 .

      Uvrštavamo x = 2 u početnu jednadžbu:

      5 · 2 - 3 - 2 · 2 + 1 = 7 - 5 = 2 .

      Zaključujemo: x = 2 je rješenje početne jednadžbe. Ili provjeravamo da x = 2 zadovoljava uvjete 5 x - 3 > 0 , 2 x + 1 > 0 .


    Primjer 4.

    U prethodnom smo primjeru promatrali četiri slučaja. Važni su nam bili predznaci izraza koji se nalaze pod znakom apsolutne vrijednosti. Možemo li predznake jednostavno i pregledno prikazati? Prisjetite se tablice predznaka.

    Riješimo jednadžbu 3 - x + 2 x + 4 = 8 . Odredite najprije brojeve za koje vrijednosti izraza 3 - x i 2 x + 4 mijenjaju predznak, a zatim na papir zapišite tablicu predznaka za te izraze.

    Na slici je tablica predznaka

    Jednadžbu 3 - x + 2 x + 4 = 8 rješavat ćemo na tri intervala - , - 2 , - 2 , 3 , 3 , . Pogledajte u videozapisu.

    Zadatak 8.

    Riješite jednadžbu 4 - 2 x + 4 + 2 x = 8 i odaberite točno rješenje.

    Skup svih rješenja jednadžbe je:

     

    Postupak:

    Na intervalu - , - 2 dobivamo x = - 2 , što je u intervalu pa jest rješenje.

    Na intervalu - 2 , 2 dobivamo 8 = 8 pa je rješenje svaki broj iz intervala - 2, 2 .

    Na intervalu 2 ,   dobivamo x = 2 , što nije u intervalu pa nije rješenje.​

    Zadatak 9.

    Na slici su prikazani ležaljke i suncobrani na pješčanoj plaži

    Na dugoj pješčanoj plaži nalaze se slastičarnica i restoran. Slastičarnica je udaljena 250 m od ulaza na plažu, a restoran 650 m . Mateo bira suncobran koji će iznajmiti. Odlučio je najprije plivati, zatim pojesti sladoled pa čitati knjigu pod suncobranom. Nakon čitanja otići će na ručak, a nakon ručka još malo čitati prije ponovnog kupanja. Planira hodati svaki dan 1 km po plaži. Na kojoj udaljenosti od ulaza treba biti suncobran koji će odabrati da bi Mateo ispunio zadani plan?

    Marija se slaže sa svim aktivnostima, ali ne želi hodati više od 800 m . Na kojoj udaljenosti od ulaza treba biti njezin suncobran?

    Označimo s​ x udaljenost suncobrana od ulaza u kilometrima. Udaljenost od suncobrana do slastičarnice je x - 0.25 , a do restorana x - 0.65 i svaku će od njih Mateo prijeći dva puta. Postavnimo jednadžbu:

    2 · x - 0.25 + 2 · x - 0.65 = 1 . Rješenja su 0.2 i 0.7 pa Mateo treba odabrati suncobran koji je udaljen od ulaza 200 m ili 700 m .

    Označimo udaljenost Marijina suncobrana od ulaza s y i postavimo jednadžbu:

    2 · y - 0.25 + 2 · y - 0.65 = 0.8 . Rješenje je svaki broj iz intervala 0.25 , 0.65 pa Marija može odabrati bilo koji suncobran između slastičarnice i restorana.


    Složenije nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima

    Kutak za znatiželjne

    Riješit ćemo neke složenije nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima. Do sada smo rješavali složenije jednadžbe s apsolutnim vrijednostima u kojima smo promatrali rješenja na pojedinim intervalima. Jesu li rješenja jednadžbe dobivene na intervalu ujedno rješenja početne jednadžbe, mogli smo provjeriti uvrštavanjem u početnu jednadžbu. Hoće li ta metoda biti primjenjiva i pri rješavanju složenijih nejednadžbi?

    Riješimo nejednadžbu x + 4 + 4 - 2 x < 9 . Najprije na papiru napravite tablicu predznaka.

    Riješimo nejednadžbu na intervalu​ - , - 4 .

    - x + 4 + 4 - 2 x < 9 pa je x > - 3 . Rješenje je svaki broj veći od - 3 koji se nalazi u intervalu ​ - , - 4 , odnosno skup ćemo rješenja dobiti kao presjek intervala ​ - , - 4 i - 3 , . Presjek je pa na tom intervalu nema rješenja.

    Zadatak 10.

    Riješite nejednadžbu na intervalima - 4 , 2 , 2 , . Odredite skup rješenja nejednadžbe.

    Rješenje na intervalu - 4, 2 je - 1, 2 .

    Rješenje na intervalu 2 , je 2, 3 .

    Konačno je rješenje - 1, 2 2, 3 = - 1, 3 .


    ...i na kraju

    ​Kliknite na tipku I. ZADATAK. Riješite zadatak, a klikom na tipku I. RJEŠENJE provjerite rezultat. Pojavit će se rješenje i tipka za novi zadatak. Nastavite tako dok ne riješite sve zadatke.