x
Učitavanje

4.1 Rješavanje linearnih jednadžbi

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Dječak i djevojčica igraju igru Zamislila sam broj.

Kako bismo zapisati taj problem?

Ako zamišljeni broj označimo kao nepoznanicu x , tada prema problemu možemo zapisati algebarski izraz. Nepoznanica pomnožena s 4 je 4 x . Tomu dodamo 3 pa je 4 x + 3 jednako 31 .

Zapisujemo jednakost 4 x + 3 = 31 .

Dobili smo linearnu jednadžbu.

Dobivenu jednadžbu treba riješiti. Što znači riješiti jednadžbu?

Riješiti jednadžbu znači odrediti sve  realnoga broja x   koje uvrštene u  umjesto  x daju  njezine lijeve i desne strane.

null
null

Svaka takva vrijednost x naziva se rješenje jednadžbe.

Primjer 1.

Jednadžbu​ 4 x + 3 = 31   riješimo s pomoću vaganja.

Jednadžbu zamislimo kao vagu koja ima lijevu i desnu stranu, a jednakost znači da su obje strane vage u ravnoteži.

Vaga s jednadžbom 4x+3=31

Ako od obiju strana oduzmemo broj 3 , vaga će i dalje biti u ravnoteži.

Vaga s jednadžbom 4x=28

Ako obje strane podijelimo s 4 , vaga će i dalje biti u ravnoteži.

Vaga s rješenjem x=7

Odavde očitamo rješenje jednadžbe​ x = 7 .

U svakom je provedenom koraku vaga bila u ravnoteži, odnosno vrijedila je jednakost.

Što možemo reći za jednadžbe 4 x + 3 = 31 i 4 x = 28 ?

One imaju isto rješenje, ​ x = 7 .

Jednadžbe koje imaju jednake skupove rješenja nazivaju se ekvivalentne jednadžbe.

Znači da smo raznim transformacijama početnu jednadžbu preoblikovali u ekvivalentne jednadžbe.

Što sve smijemo raditi s jednadžbama da dobijemo ekvivalentne jednadžbe?

  1. T1: Ako objema stranama jednadžbe
     
    ili oduzmemo
     
    broj, dobit ćemo
     
    jednadžbu.

    isti
    ekvivalentnu
    dodamo

    null
    null
  2. T2: Ako obje strane jednadžbe

     
    ili podijelimo s
     
     brojem
     
    od nule, dobit ćemo
     
    jednadžbu.

    pomnožimo
     različitim
     istim
    ekvivalentnu

    null
    null

Zadatak 1.

Gornje tvrdnje zapišite u bilježnicu simbolima.

T1: a = b a + c = b + c , a , b , c R

T2: a = b a · c = b · c , a , b , c R, c≠ 0


Pri rješavanju jednadžbe kažemo da smo broj ili izraz dodali ili oduzeli od obiju strana jednakosti. Na primjer, broj 3 smo oduzeli od obiju strana jednakosti.

4 x + 3 = 31 / - 3

4 x + 3 - 3 = 31 - 3 ili 4 x = 31 - 3

Kraće možemo reći da smo broj 3 "prebacili" na drugu stranu pri čemu smo mu promijenili predznak. Zapis desno isti je korak proveden s pomoću prebacivanja broja 3 sa suprotnim predznakom.

Zadatak 2.

Riješite linearne jednadžbe.

  1. 11 x - 14 = 8 , x =    
    null
    null
  2. 17 - 5 x = 2 , x =    
    null
    null
  3. 3 x + 7 = 5 x - 17 , x =    
    null
    null
  4. 6 x + 13 = 7 - 2 x , x =    .
    null
    null

Primjer 2.

Za koju će vrijednost realnoga broja a rješenje linearne jednadžbe 5 x + 2 a - 7 = 1 - 3 x biti jednako 12 ?

Prisjetimo se, što znači da je neki broj rješenje jednadžbe?

Kada taj broj uvrstimo umjesto nepoznanice, trebamo dobiti istinitu jednakost, odnosno

5 · 12 + 2 a - 7 = 1 - 3 · 12.

Dobili smo jednadžbu s nepoznanicom​ a . Riješimo je.

60 + 2 a - 7 = 1 - 36

2 a = - 88

a = - 44

Dakle, kad je a = - 44, tada će zadana jednadžba imati rješenje x = 12 .

Provjerite!

Zadatak 3.

Za koju će vrijednost realnog broja t rješenje linearne jednadžbe x 3 + 11 = t x + 8 biti jednako - 4 ?

t = - 5 12   


Broj rješenja linearne jednadžbe

Zadatak 4.

Riješite linearne jednadžbe.

  1. 2 x + 3 = 2 x - 5 + 8

  2. 3 4 x + 11 = 6 2 x + 5 + 3

Kakva ste rješenja dobili? Objasnite.

  1. 2 x + 3 = 2 x - 5 + 8

    2 x + 3 = 2 x - 10 + 8

    0 = - 5

    Dobili smo jednakost koja nije istinita i ne može biti istinita. Koji god broj uvrstimo u početnu jednadžbu umjesto x , uvijek ćemo dobiti 0 = - 5 , što nije istinito pa zaključujemo da jednadžba nema rješenja.​

  2. 3 4 x + 11 = 6 2 x + 5 + 3

    12 x + 33 = 12 x + 30 + 3

    0 = 0

    To je istinita jednakost. Koji god broj uvrstimo u početnu jednadžbu umjesto x , uvijek ćemo dobiti 0 = 0 , što je istinito pa zaključujemo da je bilo koji realni broj rješenje jednadžbe, odnosno da jednadžba ima beskonačno mnogo realnih rješenja.​


Linearna jednadžba može imati jedno, nijedno ili beskonačno mnogo realnih rješenja.

Zadatak 5.

 Razvrstajte jednadžbe prema broju rješenja.

4 17 - 6 x + 37 = 3 - 24 x

Jedno rješenje

Nema rješenja

 Beskonačno mnogo rješenja

null
null

Primjer 3.

Riješimo linearnu jednadžbu

x + 1 5 - 3 x - 2 2 = x - 1 .

Takvu je jednadžbu najjednostavnije riješiti množenjem s najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika, a to je broj 10 .

x + 1 5 - 3 x - 2 2 = x - 1 / · 10

2 x + 1 - 5 3 x - 2 = 10 x - 1

2 x + 2 - 15 x + 10 = 10 x - 10

- 23 x = - 22

x = 22 23

U tom smo zadatku trebali biti pažljivi pri sređivanju razlomka koji se oduzima; često se događa da ne promijenimo predznak drugoga člana pripadnoga brojnika. Zato je dobro računati postupno i upotrebljavati zagrade. Uz to, česta je pogreška da zaboravimo pomnožiti izraz bez nazivnika, odnosno izraz s nazivnikom jednakim 1 .

Zadatak 6.

Koje je rješenje zadane linearne jednadžbe?

  1. 3 x - 2 2 - 5 = 2 x - 1

    null
    null
  2. x - 7 4 + 3 x + 5 6 = x 2 - 2 x + 1 3  

    null
    null
  3. x + 4 5 - 2 x - 3 3 + 3 x - 2 2 = x 3  

    null
    null
  4. 7 x + 4 x + 3 3 = 5 - x 3  

    null
    null

Jednadžbe koje se svode na linearne jednadžbe

Neke nam jednadžbe isprva izgledaju složeno, ali ih jednostavnim računskim radnjama možemo svesti na linearne jednadžbe.

Za jednadžbe u kojima je nepoznanica u nazivniku treba nakon rješavanja provjeriti prihvaćamo li rješenje ili ne.

Primjer 4.

Riješimo jednadžbu x + 2 x 2 - 4 = 0 .

Ta se jednadžba također svodi na linearnu jednadžbu jer znamo da je razlomak jednak nula ako mu je brojnik jednak nuli. To znači

x + 2 = 0 , odnosno

x = - 2 .

Međutim, ako taj broj uvrstimo u nazivnik, vrijednost će nazivnika biti nula pa taj broj ne može biti rješenje jednadžbe, to jest kažemo da zadana jednadžba nema rješenja.

Uparite jednadžbu s pripadajućim rješenjem.

2 x - 5 x - 2 = 5   ​
- 1   ​
5 + 3 x = 2  
5 3   ​
3 2 x + 1 x = 4 - 5 3 x   ​
25 24   ​
20 - x 2 x - 1 = 4  
16 31   ​
null
null

U sljedećim zadatcima primjenjujemo distributivnost i formule za kvadrat binoma te razliku kvadrata.

Zadatak 7.

Riješite jednadžbe.

  1. x - 1 x + 3 + 7 = x - 2 2  
  2. 2 x - 5 2 x + 5 = 4 x - 9 x + 3
  3. 11 - x - 4 2 = 1 - x 11 + x
  4. 3 4 x + 1 5 2 + 1 - 3 4 x 1 + 3 4 x = 1 2
  1. x = 0
  2. x = 2 3
  3. x = 8 9
  4. x = - 1.8

Primjer 5.

Riješimo jednadžbu x - 4 x + 7 = 0 .

Iako je dana jednadžba drugog stupnja, tako faktorizirana omogućuje nam da je jednostavno riješimo. Uočimo da je zadan umnožak dvaju izraza koji mora biti jednak nuli.

Umnožak dvaju brojeva ili izraza A · B   jednak je nuli ako je od brojeva ili izraza​ A   ili B jednak nuli.
To zapisujemo: A · B = 0 A = 0   B = 0 .   
null
null

To znači da je

x - 4 x + 7 = 0

ako je

x - 4 = 0 ili x + 7 = 0 ,

odnosno

x = 4 ili x = - 7 .

Svakoj jednadžbi pridružite odgovarajuća rješenja.

- 1

2 x + 7 x + 1 = 0  

x 2 - 3 x + 9 4 = 0   ​

x 2 - 7 x + 6 = 0   

2 x 2 - 13 x - 7 = 0   ​

null
null

Kutak za znatiželjne

U ovisnosti o realnom parametru p raspravite rješenja linearnih jednadžbi:

  1. 1 - 3 p + 5 x = p x - 2 p + 6 x
  2. p 2 x + 2 = p x + 2
  3. 3 x - 1 p + 3 + x - 2 p 2 + 3 p = 5 p
  4. 4 x - 1 p - 2 - 2 x + 7 p + 2 = 10 p 2 - 4 .

Izrazite nepoznanicu x pa provjerite za koje vrijednosti parametra p nije definirana.

  1. za​ p = - 1 jednadžba nema rješenja, a za p - 1 rješenje je x = 1 - p 1 + p
  2. za p = 0 jednadžba nema rješenja, za p = 1 rješenje je bilo koji realni broj, a za p 0

    i p 1 rješenje je x = - 2 1 + p p

  3. za p = 0 ili p = - 3 ili p = - 1 3 jednadžba nema rješenja, za p 0 i p - 3 i p - 1 3 rješenje je x = 17 + 6 p 3 p + 1

  4. za p = 2 ili p = - 2 ili p = - 6 jednadžba nema rješenja, za p 2 i p - 2 i p - 6 rješenje je x = 4 p - 1 p + 6


Zadatak 8.

Prevedite rečenice u linearne jednažbe i riješite ih.

  1. Ako od nekoga broja oduzmemo 7 , rezultat je 15 . Koji je to broj?
  2. Ako neki broj pomnožimo sa 6 , a dobiveni umnožak umanjimo za 3 , rezultat je 69 . Koji je to broj?
  3. Ako trokratnik nekoga broja oduzmemo od 85 , rezultat je 13 . Koji je to broj?
  4. Ako nekomu broju dodamo 37 i rezultat udvostručimo, dobit ćemo 104 . Koji je to broj?
  1. x - 7 = 15 x = 22
  2. 6 x - 3 = 69 x = 12
  3. 85 - 3 x = 13 x = 24
  4. x + 37 · 2 = 104 x = 15

Zadatak 9.

Uparite redni broj zadatka s odgovarajućom jednadžbom i riješite ju.

  1. U razredu je 29 učenika. Djevojaka je za 5 više nego dječaka. Koliko je djevojaka u razredu? ​
  2. Hana je trostruko mlađa od svoje sestre. Za 5 godina bit će dvostruko mlađa. Koliko godina ima Hana?
  3. Duljina pravokutnika je za 5 cm veća od širine. Ako je opseg pravokutnika 29 cm , koliko iznosi širina? ​
  4. Ako neki broj pomnožimo s 4 i oduzmemo 29 , dobit ćemo broj koji je za 5 veći od dvostrukoga broja. Koji je to broj?

b.
4 x - 29 = 2 x + 5
d.
3 x + 5 = 2 x + 5
a.
x + x + 5 = 29
c.
2 x + x + 5 = 29
null
null
a. U razredu je djevojaka.
null
null
b. Hana ima godina.
null
null
c. To je broj .
null
null
d. Širina pravokutnika iznosi cm .
null
null

...i na kraju

Riješite jednadžbe.

  1. Jednadžba 3 x + 4 - 5 x = 6   rješenje x =     .
    null
    null
  2. Jednadžba x x + 2 - x x - 1 = 3 x  rješenja.
    null
    null
  3. Jednadžba x x + 2 - x x + 1 = 3 + x   rješenja.
    null
    null
  4. Jednadžba x x + 2 = - 1   rješenje​ x =   .
    null
    null

Idemo na sljedeću jedinicu

4.2 Jednadžbe s apsolutnim vrijednostima