x
Učitavanje

4.9 Primjena nejednadžbi

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Na slici su podaci o slijetanju ili polijetanju na aerodromu.

Dora je doputovala zrakoplovom u dubrovačku zračnu luku i namjerava taksijem doći do hotela. Kod sebe ima 140 kuna. Cjenik usluge taksija je 8.50 kuna za start i 5.80 kuna za svaki kilometar vožnje. Koliko se najviše kilometara Dora može voziti taksijem? Ako je udaljenost od zračne luke do hotela 21.6 kilometara, može li Dora uzeti taksi?

Što je poznato?

Znamo cjenik usluga taksija, 8.50 kuna za start i 5.80 kuna za svaki kilometar vožnje te da Dora ima 140 kuna.

Što je nepoznato?

Koliko se kilometara Dora može voziti. Označimo tu veličinu s x .

Koliko stoji vožnja x kilometara?

U cijena = 8.5 start + 5.8 cijena   po   km · x

Koliko može iznositi ukupna cijena vožnje? Najviše 140 kuna.

Postavimo nejednadžbu.

8.5 + 5.5 · x 140

Riješimo nejednadžbu.

5.5 x 140 - 8.5

5.5 x 131.5

x 23.91

To rješenje znači da se Dora može taksijem voziti najviše 23 km . Budući da je​ 21.6 < 23 , zaključujemo da se Dora može dovesti taksijem do hotela.

Kao i pri rješavanju jednadžbi i ovdje možemo prepoznati četiri koraka koja smo proveli: Pročitaj, Poveži, Riješi, Provjeri.

Zadatak 1.

Razvrstajte korake rješavanja zadatka.

Koliko stoji vožnja x kilometara?
U cijena = 8.5 start + 5.8 po   km cijena · x  

PROČITAJ

POVEŽI

RIJEŠI

PROVJERI

null
null

Brojevi

Primjer 1.

Na slici je crtež broja 9.

Ako neki broj pomnožimo s 9 i umnošku dodamo 4 , rezultat će biti veći od 35 . Koji je najmanji cijeli broj za koji to vrijedi?

Što je poznato?

Broj treba pomnožiti s 9 i tomu dodati 4 , a rezultat mora biti veći od 35 .

Što je nepoznato?

Nepoznat je početni cijeli broj. Označimo ga s​ x .

Što treba napraviti s​ x ?

R = 9 · x + 4

Kakav treba biti taj rezultat?

9 x + 4 35

9 x 31

x 3 . 4 ˙  

Budući da tražimo cijeli broj, to je prvi veći cijeli broj što je jednako 4 .

Provjerimo, 9 · 4 + 4 = 40 35 .

Da smo rješenje zaokruživali na cijeli broj, to bi bio broj 3 . Je li to dobro rješenje?

Ne, jer broj treba biti veći od 3 . 4 ˙ ili jednak ​ 3 . 4 ˙ .

Uostalom, lako se provjeri da je​ 9 · 3 + 4 = 31 < 35 .


  1. Trokratnik nekoga broja manji je od 13 . Koji je to broj?

    null
    null
  2. Ako od 5 oduzmemo dvostruki broj, rezultat je veći od 7 . Koji je to broj?

    null
    null
  3. Ako umnožak nekoga broja i broja 4 oduzmemo od 1 300 , rezultat mora biti manji od 35 . Koji je najmanji takav cijeli broj?

    null
    null
  4. Ako neki broj umanjen za 12 pomnožimo s 4 , rezultat će biti veći od 130 ili jednak 130 . Koji je najmanji takav broj?

    null
    null

Geometrija

Primjer 2.

Širina je pravokutnika 35 cm . Opseg pravokutnika iznosi najmanje 826 cm . Koliko najmanje iznosi duljina pravokutnika?

Poznati su nam širina pravokutnika i broj od kojeg je opseg pravokutnika veći ili kojemu je jednak.

Označimo s​ x duljinu pravokutnika. Stavimo sve veličine u vezu.

o = 2 · 35 + 2 · x

Taj broj mora biti veći ili jednak 826 , odnosno

2 · 35 + 2 · x 826.

Riješimo tu nejednadžbu.

70 + 2 x 826 / - 70

2 x 756 / : 2

x 378

Duljina je pravokutnika najmanje 378 cm .

Zadatak 2.

Riješite zadatke. Rezultate zaokružite na dvije decimale.

  1. Neka je širina pravokutnika 35 cm , a duljina 378 cm . Za koliko moramo povećati širinu pravokutnika da njegova površina bude najmanje 20 000 cm 2 ?
  2. Duljina je osnovice trokuta 23 cm , a površina je najviše 330 cm 2 . Koliko iznosi najveća visina toga trokuta?
  3. Zadana je kružnica polumjera 5 cm . Za koliko najviše centimetara treba povećati polumjer kružnice tako da se njezin opseg poveća najviše za 35 % ?
  1. Širinu pravokutnika moramo povećati za najmanje 17.92 cm .
  2. Najveća visina trokuta može biti 28.69 cm .
  3. Polumjer kružnice treba povećati za najviše 1.75 cm .

Problem brzine

Primjer 3.

Fotografija prikazuje sport u triatlonu.

Na jezeru Boroviku, nedaleko od Đakova, održan je Triatlon Borovik s disciplinama 400 metara plivanja, 21  kilometar vožnje bicikla i 5 kilometara trčanja. Prosječna je brzina trčanja pet puta veća od prosječne brzine plivanja, a prosječna je brzina vožnje bicikla  dva puta veća od prosječne brzine trčanja. Prvih je 40  natjecatelja završilo utrku za manje od 1.5 sati. Koliko iznose njihove prosječne brzine plivanja, trčanja i vožnje biciklom?

Pogledajmo kako ćemo riješiti taj zadatak.

Zadatak 3.

  1. Nikši treba 40  minuta da pokosi travnjak. Koliko najviše vremena treba Sofiji za košnju travnjaka ako ga zajedno pokose za manje od 18  minuta? Zapišite nejednadžbu povlačenjem odgovarajućih elemenata na  mjesta označena crtom.

    Na slici je izraz u koji treba upisati dijelove nejednadžbe koji nedostaju.

    40

    18

    x


    null
    null
  2. Koja je od sljedećih tvrdnji točna?

    null
    null
  3. Za koliko najviše minuta Sofija sama pokosi travnjak?

    null
    null

Zadatak 4.

  1. Katamaran od Rijeke do Cresa prijeđe put od 41 km prosječnom brzinom od 31 km/h . Za koliko najmanje treba povećati brzinu da istim putom natrag stigne barem 15  minuta brže? Zapišite nejednadžbu povlačenjem odgovarajućih elemenata na  mjesta označena crtom.

    Na slici je izraz u koji treba upisati dijelove nejednadžbe koji nedostaju.

    41

    31

    x

    1

    4

    null
    null
  2. Prosječna brzina katamarana u povratku iznosi najmanje km/h .
    null
    null
  3. Brzina se u nautici obično izražava u čvorovima, što je jednako jednoj nautičkoj milji na sat. Jedna nautička milja iznosi 1.852 km . Prosječna brzina katamarana u povratku iznosi  čvorova.
    null
    null

Još neke primjene

Primjer 4.

Slika prikazuje školski rukomet u dvorani.

Školska rukometna ekipa kupuje majice s otisnutim logom škole. Jedan dobavljač nudi majice po cijeni od 37  kuna. Drugi dobavljač naplaćuje pripremu tiska 1 200 kuna i 16 kuna za svaku majicu. Koliko najmanje majica ekipa treba kupiti da bi joj se više isplatila narudžba od drugog dobavljača?

Neka je x  traženi broj majica.

Ukupna je cijena kod prvog dobavljača 37 x .

Ukupna je cijena kod drugog dobavljača 1 200 + 16 x .

Cijena kod drugog dobavljača treba biti manja nego kod prvoga da bi se ta narudžba isplatila, što znači
1 200 + 16 x 37 x .

Riješimo nejednadžbu.

21 x 1 200

x 57.14

Ekipa treba kupiti barem 58  majica da bi se više isplatio drugi dobavljač.

Zadatak 5.

  1. Učenici su jedne škole išli na izlet. Prijevoz je organiziran autobusima s najviše 55 sjedala. Za 243  učenika potrebna su najmanje 4  autobusa.  

    null
    null
  2. Keramičar postavlja pločice u obliku kvadrata duljine stranice 15 cm . Za jedan red u kuhinji širine 2  metra treba pripremiti 14  pločica.

    null
    null
  3. Lucija piše referat za vježbe iz Fizike. U jednoj minuti može napisati najviše 15  riječi. Trebat će joj najmanje 130  minuta za referat od 2 000 riječi.

    null
    null
  4. U kvalifikacijama na svjetskom prvenstvu četiri su natjecateljice bacile koplje 62.29 m , 63.06 m , 65.37 m i 67.59 m . Ako Sara baci koplje barem 66.69 m , prosjek svih 5  bacanja bit će najmanje 65 m .

    null
    null

Sustavi nejednadžbi

Primjer 5.

Slika prikazuje zemljopisnu karta Mali Lošinj, Ilovik, Susak

Obitelj Jazbec ljetuje u Malom Lošinju. Odlučila je posjetiti otoke Susak i Ilovik. Na karti je upisana udaljenost od Malog Lošinja do Suska koja iznosi 13.6 km i udaljenost od Malog Lošinja do Ilovika koja iznosi 10.8 km . Članovi obitelji procijenili su da je Susak udaljen od Ilovika 25 km . Imaju li pravo?

Na zemljopisnoj karti možemo uočiti da Mali Lošinj, Susak i Ilovik određuju trokut. U trokutu vrijedi nejednakost trokuta koja kaže da zbroj duljina dviju stranica trokuta mora biti veći od duljine treće stranice.

Označimo udaljenost od Suska do Ilovika s​ x i zapišimo nejednakosti.

x + 13.6 > 10.8

13.6 + 10.8 > x

10.8 + x > 13.6

Dobili smo sustav nejednadžbi koji ćemo riješiti.

Prva nejednadžba: x > - 2.8

Druga nejednadžba: x < 24.4

Treća nejednadžba: x > 2.8

Za udaljenost x trebaju vrijediti sve tri nejednažbe pa tražimo presjek rješenja.

Prikaz presjeka skupova na brojevnom pravcu

Znači da x pripada intervalu 2.8 , 24.4 . Provjerimo još uvjet da je udaljenost pozitivna. Na tome intervalu to vrijedi.

Zaključimo da udaljenost od Suska do Ilovika mora biti veća od 2.8 km i manja od 24.4 km . To znači da je obitelj Jazbec pogriješila u procjeni jer je 25 km veće od najveće moguće udaljenosti.

Zadatak 6.

Ako dvokratniku nekoga broja dodamo 3 , rezultat će biti manji od 41 . Ako zbroj toga broja i 5  pomnožimo s 3 , dobit ćemo broj veći od 2 . Koji je to broj?

Poredajte korake rješavanja zadatka.


  • Presjek skupova je skup - 13 3 , 19 , što znači da je traženi broj u tome intervalu.​

  • Na slici je označen presjek intervala.




  • 2 x + 3 < 41  ​
    x + 5 · 3 > 2  



  • Druga nejednadžba.
    3 x + 15 > 2  
    3 x > - 13  
  • Za traženi broj treba vrijediti i jedna i druga nejednakost pa odredimo presjek tih dvaju skupova.
  • x < 19
  • Postavimo nejednadžbe. 
  • x > - 13 3 . Skup je rješenja druge nejednadžbe - 13 3 , .
  • Budući da traženi broj treba zadovoljavati oba uvjeta, trebamo riješiti sustav nejednadžbi.

  • Prva nejednadžba.
    2 x < 38  
null
null

Zadatak 7.

  1. Masa grgeča T u kilogramima može se procijeniti po njegovoj duljini d , zadanoj u centimetrima, prema formuli T = 0.08 · d - 2.21 ​. Koliko može biti težak grgeč koji je dug između 35  i 50  centimetara?
  2. Luka tijekom ljetnih praznika radi na benzinskoj crpki 4  sata na dan i zaradi 76  kuna. Cilj mu je zaraditi najmanje 2 000 kuna. Koliko dana mora raditi ako ne želi raditi više od 120 sati?
  1. d = T + 2.21 0.08 , 35 d 50 0.59 T 1.79 . Masa je grgeča u intervalu ​ 0.59 , 1.79 kg .
  2. Luka mora raditi između 27 i 30 dana.

...i na kraju

Slika prikazuje LED žarulju.

Ekologija

Isplati li se LED žarulja?

Za štedljivu žarulju od otprilike 10  vata W električne snage pronađite ekvivalentnu LED žarulju koja ima približno jednak svjetlosni tok u lumenima lm . Takvoj LED žarulji zabilježite električnu snagu. Proučite cjenike u nekim trgovinama i zapišite cijene navedenih žarulja.

Potrošnja električne energije E u kilovatsatima kWh , koju žarulja potroši, računa se prema formuli E = P · t , pri čemu je P električna snaga izražena u kilovatima, a t vrijeme u satima. Za cijenu električne energije uzmite 0.55 kn/kWh .

Koliko sati treba svijetliti LED žarulja da bi se njezina kupnja isplatila?