x
Učitavanje

4.2 Jednadžbe s apsolutnim vrijednostima

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Na slici je znak za apsolutno x.

Ponovimo pojam apsolutne vrijednosti.

Na sljedećoj su mapi označena četiri područja: definicija, svojstvo, primjer (točno), primjer (netočno).

Svaki od navedenih elemenata smjestite povlačenjem na crtu u odgovarajućem području.

Na slici je pravokutnik podijeljen na četiri dijela: za apsolutnu vrijednost treba postaviti definiciju, svojstvo, primjer (točno), primjer (netočno).

x = - x za x 0 x za x > 0

x = - 2 x = 2

x = a , a 0 x = a ili x = - a

x = 2 ili udaljenost broja x od 0 iznosi 2

null
null

Praktična vježba

Nacrtajte istu takvu tablicu na papiru i, radeći u paru, dopišite još neka svojstva, primjere točnih tvrdnji i primjere netočnih tvrdnji.

Raspravite s ostalima što ste zapisali.

I još malo ponavljanja...

Uparite tako da dobijete istinitu tvrdnju.

Apsolutna je vrijednost realnoga broja uvijek
Apsolutna je vrijednost negativnoga realnoga broja  njegov
Apsolutna vrijednost realnoga broja mjeri njegovu
x - y   mjeri
null
null

Na brojevnom pravcu

Primjer 1.

Koji je realni broj udaljen od nule točno za 5 jedinica na brojevnom pravcu?

Koliko ima takvih brojeva?

Označite na brojevnom pravcu kojeg ste nacrtali na papiru.

Na slici je na brojevnom pravcu prikazano rješenje jednadžbe "Apsolutno x je pet"

Dva su takva broja, 5 i - 5 .


Što algebarski znači i kako zapisati da tražimo „broj koji je od nule udaljen za 5 jedinica ?

Ako algebarski tražimo „broj koji je od nule udaljen za 5 jedinica ,rješit ćemo s apsolutnom vrijednosti: x = 5 . Njezina su brojevi ​ x = 5 i x = - 5 .
null
null

Osnovna jednadžba s apsolutnom vrijednosti je jednadžba oblika x = a , a R , a 0 .

U geometrijskom smislu tražimo brojeve x koji su od nule udaljeni za a .

Ilustracija svojstva apsolutne vrijednosti da je apsolutno jednako broju a ako i samo ako je unutra broj a ili -a.

Zadatak 1.

Riješite sljedeće jednadžbe s apsolutnom vrijednosti.

U zadatcima može biti više točnih odgovora.

  1. Koji su od ponuđenih odgovora rješenje jednadžbe​ x = 2 3 ?

    null
    null
  2. Koji su od ponuđenih brojeva rješenje jednadžbe x = 3 - 1 ?  

    null
    null
  3. Koji je od ponuđenih odgovora rješenje jednadžbe​ x = 0 ?

    null
    null
  4. Koji je od ponuđenih odgovora rješenje jednadžbe​ x = - 2 ?  

    null
    null

Rješenje jednadžbe ​ x = a , a R je:

x = a ili x = - a ako je a > 0 0 ako je a = 0 nema rješenja ako je a < 0

Primjer 2.

Na slici je prikazana oznaka za 16.km na nekoj cesti.

U žurbi je, da bi što prije krenuo na zasluženi godišnji odmor, Marin zaboravio natočiti gorivo u svoj automobil. Na putu prema odredištu morao je pozvati prijatelja upomoć i objasniti gdje se nalazi. Rekao je: „Nalazim se sto metara od oznake 16 . kilometra te ceste.”

Je li Marin bio precizan? Koji je njegov točan položaj?

Zamislimo cestu kao brojevni pravac, s oznakom za šesnaesti kilometar u broju 16 . Marin je od te oznake udaljen 100 metara, ali ne znamo je li 100 metara prema početku ili 100 metara prema kraju ceste (od početka do kraja brojenja kilometara te ceste).

Označimo Marinov položaj na brojevnom pravcu s x ​(kilometri od početka ceste). Udaljenost Marina od oznake 16. kilometra jednaka je 0.1 km . To znači da udaljenost broja x od broja 16 na brojevnom pravcu iznosi 0.1 .

Udaljenost 100 metara od 16. km je 16 km + 100 m ili 16 km - 100 m.

Sa slike vidimo da su točno dva takva broja, x = 15.9 i x = 16.1 . Prema tome, Marinov je položaj ili na 15.9 km ili na 16.1 km od početka ceste.

Za određivanje Marinova položaja intuitivno smo primijenili geometrijski prikaz. No znamo da to nije uvijek praktična i pouzdana metoda.

Kao što smo na početku ponovili, udaljenost je dvaju brojeva apsolutna vrijednost njihove razlike. Zato isti zadatak možemo zapisati i algebarski u obliku jednadžbe s apsolutnom vrijednosti:

x - 16 = 0.1.

Njezina su rješenja x = 16 + 0.1 = 16.1 i x = 16 - 0.1 = 15.9 .

Zadatak 2.

Povežite jednadžbu s apsolutnom vrijednosti i njezinu geometrijsku interpretaciju.

x + 2.5 = 3.8
Broj x je od broja 6 udaljen za 1 .
x - 6 = 15
Dvokratnik broja x je od broja 3 udaljen za 10 .
2 x - 3 = 10
Broj x je od broja 0.25 udaljen za 1.5 .
x - 1 4 = 3 2
Broj x je od broja - 2.5 udaljen za 3.8 .
null
null

Jednadžbe koje se svode na x = a , a R , a 0

Primjer 3.

Riješimo jednadžbu x - 4.5 = 2.3 .

Primjer 4.

Algebarski pristup

Rješavamo kao i jednadžbu​ x = a , a R , a 0 ​. Zato vrijedi:

x - 4.5 = 2.3
x - 4.5 = - 2.3 x = 4.5 - 2.3 x = 2.2 ili x - 4.5 = 2.3 x = 4.5 + 2.3 x = 6.8 .

Taj je način rješavanja primjenjiv uvijek kad imamo sve članove izraza unutar jedne zagrade apsolutne vrijednosti na jednoj strani jednadžbe, a nenegativan realan broj na drugoj strani.

Zadatak 3.

Riješite jednadžbu​ x + 7 6 = 8 3 tako da povučete i složite sve korake prema redoslijedu njezina rješavanja.

  • x + 7 6 = 8 3 ili x + 7 6 = - 8 3   
  • x = - 7 + 16 6 ili x = - 7 - 16 6   ​
  • x = - 7 6 + 8 3 ili x = - 7 6 - 8 3  
  • x = 3 2 ili x = - 23 6   
null
null

Zadatak 4.

Riješite sljedeće jednadžbe gore opisanom algebarskom metodom.

  1. 3 x + 5 = 12
  2. 1 2 x - 4 = 6  
  3. 2 - x x - 3 = 3
  4. 2 x + 3 = 5
  1. x = 7 3 , x = - 17 3
  2. x = - 4 , x = 20
  3. x = 11 4 , x = 7 2  
  4. x = - 1 4 , x = 1

Primjer 5.

Kako riješiti jednadžbu​ 2 x - 3 = 3 x ?

Po čemu se ta jednadžba razlikuje od jednadžbe 2 x - 3 = 5 ?

Označite sve točne tvrdnje među ponuđenima.

Označite sve točne tvrdnje među ponuđenima.

null
null

Posljednja tvrdnja omogućuje rješavanje jednadžbe​ 2 x - 3 = 3 x na isti način kao i jednadžbe 2 x - 3 = 5 jer je varijabla x zamjena za bilo koji realan broj.

Međutim, kao što smo prije vidjeli, ovisno o tom broju jednadžba može imati različiti broj rješenja ili ih uopće ne imati.

Zato, ako nam je u jednadžbi apsolutna vrijednost jednaka algebarskom izrazu, jednadžba će imati rješenje samo ako je taj algebarski izraz nenegativan.

Taj ćemo uvjet postaviti na početku rješavanja jednadžbe i na kraju provjeriti je li ispunjen za dobivena rješenja. Pogledajmo.

Uvjet da jednadžba ima rješenje je 3 x 0 .

2 x - 3 = 3 x , 3 x 0
2 x - 3 = - 3 x 2 x + 3 x = 3 x = 3 5 3 · 3 5 > 0 ili 2 x - 3 = 3 x 2 x - 3 x = 3 x = - 3 3 · ( - 3 ) < 0

Rješenje x = - 3 ne zadovoljava uvjet pa je jedino rješenje početne jednadžbe x = 3 5 .

Zadatak 5.

Riješite jednadžbe s apsolutnom vrijednosti.

  1. 3 x - 1 = x + 3
  2. 2 x - 1 2 = - 2 x + 5 2
  3. 14 x 7 + 1 14 - 3 = 5 x
  4. 3 x - 1 - x = 4
  1. 3 x - 1 = x + 3 , x + 3 0
    3 x - 1 = x + 3 2 x = 4 x = 2 ili 3 x - 1 = - x - 3 4 x = - 2 x = - 1 2
  2. x = 1

  3. x = - 4 7

  4. x = - 1 .


Primjer 6.

Zadatak 6.

Riješite jednadžbe.

  1. 2 - x - 3 = 1
  2. 3 x - 5 - 5 = 5
  3. 10 - 2 x + 1 = 20
  4. x - 2 - 3 - 4 = 5
  1. Skup rješenja je ​ - 2 , 0 , 4 , 6 .
  2. Skup rješenja je - 5 3 , 5 3 , 5 .
  3. Skup rješenja je - 16 , 14 .
  4. Skup rješenja je - 10 , 14 .

Jednadžbe koje se svode na x = y

Primjer 7.

Ako je x = y , što možemo zaključiti o brojevima x i y ? Što to znači u geometrijskom smislu?

Ako je​ x = y , tada su brojevi x i y jednako udaljeni od na brojevnom pravcu.
To je moguće samo ako su brojevi ​ x i y brojevi ili ako su to brojevi.
null
null

Zadatak 7.

Za koje od sljedećih parova brojeva vrijedi​ x = y ?

 Više je mogućih odgovora.

null
null

x = y x = y ili x = - y  

Primijenimo istaknuto svojstvo u rješavanju sljedećih jednadžbi s apsolutnom vrijednosti.

Zadatak 8.

a. Riješite jednadžbu​ x = 2 x - 7 .

Povlačenjem složite elemente prema redoslijedu rješavanja dane jednadžbe.

  • x = 2 x - 7 ili x = - ( 2 x - 7 )   
  • x = 7 ili x = 7 3   
  • x - 2 x = - 7 ili x + 2 x = 7  
     
  • - x = - 7 ili 3 x = 7  
null
null

b. Riješite jednadžbu​ 3 x + 8 = 4 x - 1 .

Povlačenjem složite elemente prema redoslijedu rješavanja dane jednadžbe.

  • 3 x + 8 = 4 x - 1 ili 3 x + 8 = - ( 4 x - 1 )   ​
  • 3 x - 4 x = - 8 - 1 ili 3 x + 4 x = - 8 + 1   ​
  • - x = - 9 ili 7 x = - 7   ​
  • x = 9 ili x = - 1   
null
null

Kutak za znatiželjne

Kako riješiti jednadžbu x 2 = 9 ?

Znamo da postoje dva broja koja kvadrirana daju broj 9 . To su brojevi 3 i - 3 .

Vidjeli smo na početku ove jedinice da ta ista rješenja ima i jednadžba x = 3 .

Kažemo da su te dvije jednadžbe ekvivalentne jer imaju isti skup rješenja.

Ta tvrdnja vrijedi i općenito. Zapišimo to.

x 2 = a , a 0 x = a

Rješenja jednadžbe x 2 = 9 jednostavno smo odredili napamet, ali zašto baš ima dva rješenja? Pogledajmo sljedeći postupak.

x 2 = 9 x 2 - 9 = 0 x + 3 x - 3 = 0
x + 3 = 0 x = - 3 ili x - 3 = 0 x = 3

Koristili smo se činjenicom da je umnožak dvaju brojeva jednak 0 ako i samo ako je jedan od faktora jednak 0 .

Nekad želimo izbjeći taj postupak pa zadatak svodimo na jednadžbu s apsolutnom vrijednosti primjenjujući gore istaknuto svojstvo.

Zadatak 9.

Riješimo jednadžbu​ 5 x - 1 2 = 16 .

U sljedećoj tablici povlačenjem složite elemente (koji se nalaze ispod tablice) prema redoslijedu rješavanja dane jednadžbe – u prvom stupcu rastavljanjem na faktore, a u drugom stupcu svođenjem na jednadžbu s apsolutnom vrijednošću.

Tablica sa zadacima u prvom stupcu rastavljanjem na faktore, a u drugom stupcu svođenjem na jednadžbu s apsolutnom vrijednošću.

5 x - 1 2 - 16 = 0

5 x - 5 5 x + 3 = 0

5 x - 1 = 4 ili 5 x - 1 = - 4

5 x - 1 = 16

5 x - 1 - 4 5 x - 1 + 4 = 0

5 x - 1 = 4

5 x = 1 + 4 ili 5 x = 1 - 4

5 x - 5 = 0 ili 5 x + 3 = 0

null
null

Odaberite metodu

Na slici su strelice poredane u krug.

U sljedećim zadatcima odaberite pogodnu metodu i riješite jednadžbu s apsolutnom vrijednosti.

Zadatak 10.

  1. 4 - x - 3 =1
  2. 4 3 2 - 2 x - 5 x - 1 = 0
  3. - 2 x + 1 = x - 1
  4. 1 2 x - 4 = - 2 x + 1
  5. 1 x - 2 = 2 x + 2
  6. x - 3 4 = 2
  7. 1 - 2 x + 1 = 1 2
  8. x 2 - 5 = 4
  1. x = 0 ili x = 8
  2. x = 11 13 ili x = 1 3
  3. nema rješenja, brojevi 0 i 2 3 ne zadovoljavaju uvjet x - 1 0
  4. x = - 2 ili x = 2
  5. x = 2 3 ili x = 6
  6. x = - 11 4 ili x = 11 4
  7. x - 7 4 , - 5 4 , - 3 4 , - 1 4
  8. x - 3 , - 1 , 1 , 3

...i na kraju

Na ilustraciji je prikazana diskusija.

Malo rasprave!

Zadatak 11.

  1. Odredite realni broj​ a tako da rješenje jednadžbe x - a = 6 a bude jednako - 4 .
  2. Odredite realni broj a tako da apsolutna vrijednost rješenja jednadžbe 2 x - a = 4 x - 1 bude jednaka 1 .
  1. Može se uvrstiti x = - 4 u danu jednadžbu.

    Tada je a = - 4 7 ili a = 4 5 , ali dana će jednadžba imati rješenje ako je ispunjen uvjet 6 a 0 . Zato je rješenje samo broj a = 4 5 .

  2. Rješenje je zadane jednadžbe broj ​ x = - 2 a + 1 2 .

    Njegova je apsolutna vrijednost jednaka 1 , a to zapisujemo kao ​ - 2 a + 1 2 = 1 . Rješenje su te jednadžbe brojevi ​ - 1 2 i 3 2 .


Zadatak 12.

U sljedećim zadatcima može biti više točnih odgovora.

  1. Odaberite sve realne brojeve x koji su rješenje jednadžbe x - 2.5 = 2.5 - x .  

    null
    null
  2. Koji od sljedećih brojeva nije rješenje jednadžbe x - 5 = x - 3 ?  

    null
    null
  3. Odaberite sve realne brojeve​ a za koje jednadžba x - a = a ima točno jedno rješenje.

    null
    null
PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Jednadžba x = n , n N ima rješenje: ​

null
null
2

Jednadžba​ x = - m , m N ima rješenje:

null
null
3

Jednadžba​ x - 4 = - m , m Z ima rješenje:

null
null
4

Razvrstajte jednadžbe s apsolutnim vrijednostima u skupine prema dobivenom rješenju.

2 3 x - 1 = 7 3   

- 2 , 5

- 10 , 4

null
null
5

Uparite jednadžbu s apsolutnom vrijednosti s jednadžbom koja ima / jednadžbama koje imaju isti skup rješenja.

x - 1 3 x = x x + 1   
x 2 - x + 2 5 = x 10   
3 x - 1 - x = 2 x - 5  
x 2 = 4.5 - x ili - x = 6
x - 7.5 = 2 x - 1.5
2 x - 1 2 x + 1 = 0   
null
null
6
Najveće rješenje jednadžbe 10 x - 9 = 8 x - 7 je broj .
null
null
7
Najmanje rješenje jednadžbe x - 3 2 - x = 4 3 je broj .
null
null
8
Jedno od rješenja jednadžbe 1 - 2 1 - x = 1 je .
null
null
9
Jedno rješenje jednadžbe x x - 6 = - 1 2 je .
null
null
10
Zbroj rješenja jednadžbe x - 2 2 - 1 = 0 je .
null
null
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

4.3 Primjena jednadžbi