x
Učitavanje

4.6 Rješavanje sustava nejednadžbi

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Marko razgovara s prijateljem o kupovini soka od aronije. Ne može se sjetiti koliko stoji jedna boca, ali sjeća se da je prije dva mjeseca kupio tri boce soka i mikser. Zna da mikser stoji 230 kn i sjeća se da je platio novčanicom od 500 kn . Krajem je prošlog mjeseca kupio dvije boce soka od aronije i bocu soka od borovnice koja stoji 60 kn . Imao je novčanicu od 200 kn , ali to nije bilo dovoljno pa je platio karticom.

Ima li Marko dovoljno novca za planiranu kupnju? Hoće li moći uštedjeti? Ima li Markov prijatelj pravo?

Učenici razgovaraju o cijeni soka od aronije

Zadatak 1.

Čega se Marko ne sjeća, što mu je nepoznato? Ima li Marko dovoljno novca za planiranu kupnju?

Marku je nepoznata cijena boce soka od aronije. Označimo tu nepoznatu cijenu s​ x .

Marko je kupio tri boce soka i mikser. Zna da mikser stoji 230 kn i sjeća se da je platio novčanicom od 500 kn .

Kupio je 3 boce soka koje je platio 3 x i mikser koji je platio 230 kn . Ukupno je platio 3 x + 230 kn . Platio je novčanicom od 500 kn , što znači da je iznos računa bio manji od 500 kn ili jednak 500 kn . Tako smo dobili nejednadžbu:

3 x + 230 500 .

Riješimo nejednadžbu:

3 x 270

x 90 .

Zaključujemo da je cijena jedne boce soka od aronije najviše 90 kn . Za pet bi boca Marko potrošio najviše 450 kn pa ima dovoljno novca za planiranu kupnju.


Zadatak 2.

Može li Marko uštedjeti planirani iznos? Ima li Markov prijatelj pravo?

Do sada smo zaključili da je cijena jedne boce soka od aronije najviše 90 kn . Iz tog podatka možemo zaključiti koliko ćemo najviše platiti, ali ne i koliko će najmanje iznositi račun. Pogledajmo podatke koje do sada nismo upotrebljavali. Krajem je prošlog mjeseca Marko kupio dvije boce soka od aronije i jednu bocu soka od borovnice koja stoji 60 kn . Imao je novčanicu od 200 kn , ali to nije bilo dovoljno pa je platio karticom.

Kupio je dvije boce soka od aronije koje je platio 2 x i bocu soka od borovnice koju je platio 60 kn . Ukupno je platio 2 x + 60 kn . Nije mogao platiti novčanicom od 200 kn , što znači da je iznos računa bio veći od 200 kn . Tako smo dobili nejednadžbu:

2 x + 60 > 200 .

Riješimo nejednadžbu:

2 x > 140

x > 70 .

Zaključujemo da je cijena jedne boce aronije veća od 70 kn . Za pet bi boca Marko  potrošio više od 350 kn pa ne bi mogao uštedjeti planirani iznos od 200 kn . Prijatelj nema pravo jer, prema podatcima kojima raspolažemo, iznos računa za 5 boca soka od aronije može biti manji od 400 kn .


Sustav dviju linearnih nejednadžbi

Zadatak 3.

Odgovorite na pitanja.

  1. Ana je čula samo ovaj dio uvodnog primjera: „Marko je kupio tri boce soka od aronije i mikser. Zna da mikser stoji 230 kn i sjeća se da je platio novčanicom od 500 kn . Što Ana može zaključiti o mogućoj cijeni soka?

    75 kn

    Moguće cijene

    Nemoguće cijene

    Pomoć:

    Dobili smo nejednadžbu 3 x + 230 500 čije je rješenje x 90 .

    null
  2. Maja je čula samo ovaj dio uvodnog primjera: „Krajem je prošlog mjeseca kupio dvije boce soka od aronije i jednu bocu soka od borovnice koja stoji 60 kn . Imao je novčanicu od 200 kn , ali to nije bilo dovoljno pa je platio karticom. Što Maja može zaključiti o mogućoj cijeni soka od aronije?

    70 kn

    Moguće cijene

    Nemoguće cijene

    Pomoć:

    Dobili smo nejednadžbu 2 x + 60 > 200 čije je rješenje x > 70 .

    null
  3. Petra je pozorno slušala cijeli uvodni primjer. Što Petra može zaključiti o mogućoj cijeni soka od aronije?

    75 kn

    Moguće cijene

    Nemoguće cijene

    Pomoć:

    Dobili smo nejednadžbe 3 x + 230 500 2 x + 60 > 200 čija su rješenja x 90 x > 70 . Za moguće cijene moraju vrijediti obje nejednakosti.

    null

Primjer 1.

Zaključimo.

Rješenje nejednadžbe 3 x + 230 500 je x 90 pa je rješenje svaki realni broj iz intervala - , 90 .

Rješenje nejednadžbe 2 x + 60 > 200 je x > 70 pa je rješenje svaki realni broj iz intervala 70 , .

Tražimo zajedničko rješenje obiju nejednadžbi. To će biti svaki realni broj koji pripada intervalu - , 90 i intervalu 70 , . Koju ćemo skupovnu radnju napraviti? Zapišite na papir skup rješenja obiju nejednadžbi.

Tražili smo zajedničko rješenje dviju nejednadžbi. Kažemo da smo rješavali sustav nejednadžbi.

Rješenje sustava nejednadžbi

Tražimo zajedničke elemente pa ćemo odrediti presjek intervala. Skup je zajedničkih rješenja obiju nejednadžbi 70 , 90 .


Sustav dviju linearnih nejednadžbi s jednom nepoznanicom sastoji se od dviju linearnih nejednadžbi. Riješiti sustav nejednadžbi znači odrediti skup svih realnih brojeva koji su rješenja prve i druge nejednadžbe.

Rješavanje sustava nejednadžbi

Primjer 2.

rješenje sustava nejednadžbi

Riješimo sustav nejednadžbi:

3 x - 11 > 13 24 - 5 x - 31 .

Najprije riješimo svaku nejednadžbu zasebno.

Prva nejednadžba:

3 x - 11 > 13

3 x > 24

x > 8 .

Skup rješenja prve nejednadžbe je 8 , .

Druga nejednadžba:

24 - 5 x - 31

- 5 x - 55

x 11 .

Skup rješenja druge nejednadžbe je 11 , .

Tražimo zajednička rješenja, odnosno one realne brojeve koji su rješenje prve i rješenje druge nejednadžbe. Odredit ćemo presjek skupova rješenja.

Presjek je skup 11 , .

Zadatak 4.

Riješite sustave nejednadžbi. Označite skup rješenja.


  1. 2 - 4 x 5 3 x - 1 < 2

    null
    null

  2. x - 1 3 + x - 4 2 1 x + 2 3 - x - 2 2 1

    null
    null

  3. 2 x - 1 x + 3 - x 2 x - 1 3 x - 2 3 - x x + 1 + 2 x 1 - x 1 + x

    null
    null

Primjer 3.

Riješimo sustav 2 x + 3 > 1 2 x + 3 < 7 .

1. nejednadžba 2. nejednadžba
2 x + 3 > 1
2 x > - 2
x > - 1
2 x + 3 < 7
2 x < 4
x < 2
Oduzmimo objema stranama 3 .
Podijelimo obje strane s 2 .
Skup rješenja je - 1 , 2 .

Jesmo li mogli taj sustav brže riješiti?

  1. U sustavu se u objema nejednadžbama pojavljuje isti izraz. Zbog toga smo u objema nejednadžbama najprije

     
    , a zatim
     
    .

    Kako možemo pročitati nejednadžbe u tom sustavu? Izraz 2 x + 3 je
     
    1 i
     
    7 .

    podijelili s 2
    oduzeli 3
    veći od
    manji od

    null
    null
  2. Poredajte korake rješavanja sustava.

    • - 2 < 2 x < 4   
    • 1 < 2 x + 3 < 7  
    • - 1 < x < 2   ​
    • Skup rješenja je - 1 , 2
    • - 2 2 < 2 x 2 < 4 2   
    • 1 - 3 < 2 x + 3 - 3 < 7 - 3  
    null
    null

Zadatak 5.

Riješite sustav - 5 < 3 x - 1 6 .

- 4 3 , 7 3


Sustav triju linearnih nejednadžbi

Sustave s više od dviju nejednadžbi rješavamo na isti način. Tražimo realne brojeve koji su rješenja svih nejednadžbi. To znači da treba odrediti presjek skupova rješenja pojedinih nejednadžbi u sustavu.

Zadatak 6.

Riješite sustav nejednadžbi

4 x - 3 > 5 10 - 2 x 2 5 + 3 x > 14 .

rješenje sustava nejednadžbi

x > 2 x 4 x > 3  

Skupove rješenja nejednadžbi prikažimo grafički i odredimo presjek. Skup rješenja je 3 , 4 .


Zadatak 7.

Prikažite na brojevnom pravcu, koji ste nacrtali na papiru, skup rješenja sustava nejednadžbi

0.5 x - 2 - 1 4 - 3 x < 1 3 x - 2 < 2 x + 3 .

rješenje sustava nejednadžbi

Zadatak 8.

Prikažite na brojevnom pravcu, koji ste nacrtali na papiru, skup rješenja sustava nejednadžbi

2 - x > 3 1 - 2 x 5 2 3 - x 6 > 1 - x 3 4 x - 1 4 x - 2 12 + 4 x + 1 6 .

rješenje sustava nejednadžbi

Zadatak 9.

Prikažite na brojevnom pravcu, koji ste nacrtali na papiru, skup rješenja sustava nejednadžbi

x + 1 2 - x + 2 3 0 1 - x 3 - 1 - x 2 < 1 6 x + 1 3 - x 5 1 .

rješenje sustava nejednadžbi

Svođenje složenijih nejednadžbi na sustave nejednadžbi

Zadatak 10.

Zadana je nejednadžba​ x - 2 x - 3 > 0 . Je li ta nejednadžba linearna? Što bismo dobili kad bismo pomnožili zagrade?

Nejednadžba nije linearna. Množenjem zagrada dobili bismo nejednadžbu x 2 - 5 x + 6 > 0 koju ne znamo riješiti. Možemo li ipak riješiti početnu nejednadžbu? Pogledajmo. U nejednadžbi se pojavljuje umnožak. Prisjetimo se najprije kako određujemo predznak umnoška. Odaberite odgovor.

  1. Umnožak je dvaju pozitivnih brojeva .

     

    null
  2. Umnožak je pozitivnoga i negativnoga broja .

    null
    null
  3. Umnožak je dvaju negativnih brojeva .

    null
    null
  4. Ako je umnožak a · b negativan, onda su
    a · b negativan.
     Ako je a · b < 0 , onda je
    a i b različitih predznaka: a pozitivan i b negativan ili a negativan i b pozitivan.
    Ako je umnožak a · b pozitivan, onda su
     a i b  pozitivni ili a i b negativni.
    Ako je ​ a · b > 0 , onda je
    a · b pozitivan.
    null
    null

Primjer 4.

Riješimo nejednadžbu​ x - 2 x - 3 > 0 .

Što možemo zaključiti iz zapisa jednadžbe? Umnožak zagrada mora biti veći od nule. To znači da umnožak zagrada mora biti pozitivan. Umnožak je pozitivan ako su oba faktora pozitivna ili oba faktora negativna. To ćemo iskoristiti u rješavanju nejednadžbe. Pogledajte animaciju.

Zadatak 11.

Zadana je nejednadžba ​ x + 5 x - 4 < 0 . Odaberite riječi tako da dobijete istinite rečenice povezane s tom nejednadžbom.

  1. Umnožak dviju zagrada mora biti .

    To znači da faktori moraju biti predznaka.

    null
    null
  2. Postoje  slučaja. Ako je faktor x + 5 pozitivan, onda je faktor x - 4 .

    null
    null
  3. Ako je faktor x + 5 negativan, onda je faktor x - 4 .

    null
    null
  4. Nejednadžbe​ x + 5 > 0 , x - 4 < 0 povezujemo veznikom .

    null
    null
  5. Nejednadžbe x + 5 < 0 , x - 4 > povezujemo veznikom .

    null
    null
  6. Dva slučaja povezujemo veznikom  .

    null
    null
  7. Uparite veznike i skupovne radnje.

    Unija
    Presjek
    null
    null

Primjer 5.

Riješimo nejednadžbu​ x + 5 x - 4 < 0 . Moguća su dva slučaja.

Prvi slučaj: x + 5 > 0 i x - 4 < 0 ili

Drugi slučaj:​ x + 5 < 0 i x - 4 > 0 .

rješenje sustava nejednadžbi

Riješimo prvi slučaj: x > - 5 i x < 4 , skup rješenja je presjek intervala - 5 , i - , 4 pa je skup rješenja prvog slučaja - 5 , 4 .

ili

rješenje sustava nejednadžbi

Riješimo drugi slučaj: x < - 5 i x > 4 , skup rješenja je presjek intervala - , - 5 i 4 , pa je skup rješenja .

Konačno je rješenje unija skupova rješenja prvoga i drugoga slučaja: - 5 , 4 = - 5 , 4 .

Zadatak 12.

Riješite nejednadžbe.

  1. 4 x - 5 x + 7 0
  2. 4 - 3 x 2 - 5 x 0

Pritom pazite da riješite dva slučaja te vodite računa o veznicima i o tome kada treba računati uniju, a kada presjek skupova.

  1. - , - 7 5 4 ,
  2. 2 5 , 4 3

Pogodite broj

Kutak za znatiželjne

Odigrajte u paru ovu igru.

Jedan igrač zamisli neki prirodni broj manji od nekoga dogovorenoga maksimalnoga broja. Drugi igrač pokušava pogoditi zamišljeni broj. Nakon svakog pokušaja dobiva informaciju je li zamišljeni broj veći ili manji od predloženog. Nakon što igrač pogodi broj, zamijene se uloge. Pobjednik je igrač koji je pogodio broj u manjem broju pokušaja.

Opišite strategiju koja će vas u što manjem broju pokušaja dovesti do rješenja. Opišite vezu između broja pokušaja koji uz dobru strategiju dovode do rješenja i maksimalnoga broja.

...i na kraju

Riješili smo nejednadžbu čija je lijeva strana umnožak dviju zagrada, a desna je 0 . Možemo li na sličan način riješiti nejednadžbu u kojoj se pojavljuje umnožak triju zagrada?

Pokušajte na ovom primjeru: x - 1 x - 2 x - 3 > 0 .

Što mislite o zadatku u kojem bi se pojavio još veći broj faktora? U čemu je problem?

1 , 2 3 ,


PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

 Ako je x - 4 0   i x - 1 > 0 , onda je x  element unije skupova - , 4 i 1 , .

null
2

 Ako je x + 2 < 0  ili x - 6 > 0 , onda je x  element unije skupova - , - 2  i 6 , .

null
null
3


Svako je rješenje sustava 0.2 x + 3 1.5 2 - 0.5 x > 3.2 - 7.5 i - 2.4 .

null
null
4

Skup rješenja sustava nejednadžbi ​

2 + 3 x 4 - 5 x + 1 6 1 2 x - 1 3 + x - 2 5 > 1

je

null
null
5

Odaberite rješenje sustava nejednadžbi​ 2 x - 6 < 4 3 + x 1 . Više odgovora može biti točno.

Na slici je dio brojevnog pravca između brojeva minus 2 i 5. Broj minus 2 označen je punim kružićem, a broj 5 praznim.

Na slici je dio brojevnog pravca između brojeva minus 2 i 5. Brojevi minus 2 i 5 označeni su praznim kružićem.

Na slici je dio brojevnog pravca desno od broja minus 2. Broj minus 2 označen je punim kružićem.

null
null
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

4.7 Rješavanje složenih nejednadžbi