x
Učitavanje

4.8 Nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Na slici je termometar.

Dežurni je meteorolog uočio zanimljivu činjenicu o temperaturi zraka u proteklom tjednu. Temperatura se zraka protekli tjedan po noći spuštala ispod nule točno onoliko koliko se po danu penjala iznad nule, ali se nije penjala iznad 6 ° C , a isto će tako biti i sljedeći tjedan. Svoje je prognoze volio neobično iznositi. Pogledajmo na slici kako je to izveo ovaj put.

Na slici je meteorolog koji kaže da je apsolutna vrijednost temperature zraka manja ili jednaka 𝟔 °𝐂 ..
Meteorolog

Zadatak 1.

Je li meteorolog dobro opisao temperature zraka?

Što znači da je​ t 6 ?

Ako termometar zamislimo kao brojevni pravac, kako ćemo na brojevnom pravcu označiti temperature zraka? Kako označiti da temperatura zraka nije bila viša od 6 ° C i da je uvijek tijekom dana bila u plusu onoliko koliko je tijekom noći bila u minusu? ​

Zapišite na papir prikazani skup koristeći se intervalom.

Na slici je dio brojevnog pravca između brojeva -6 do 6. Brojevi -6 i 6 označeni su punom točkom.

Prikazani je skup zatvoreni interval - 6 , 6 .


Prikaz na brojevnom pravcu geometrijska je interpretacija nejednadžbe t 6 ?

Zapišimo to i riječima.

Tražimo sve brojeve t koji su od udaljeni za manje od ili jednako   .
null
null

Zadatak 2.

Prisjetimo se.

Koji sustav linearnih nejednadžbi opisuje gornji prikaz, odnosno interval realnih brojeva između​ - 6 i 6 ?

Označite sve točne odgovore.

null
null

Nejednadžba s apsolutnom vrijednosti, x a , a R

Zadatak 3.

Označite rješenja nejednadžbi.

  1. x 25

    null
    null
  2. x < 0.5

    null
    null
  3. x < - 4

    null
    null
  4. x 0

    null
    null
  5. x < 0  

    null
    null

Na osnovi prethodnih primjera i zadataka zaključujemo sljedeće.

  • Ako je a < 0 , nejednadžba x a , a R nema rješenja.
  • Ako je a = 0 , nejednadžba x a ima jedino rješenje x = 0 .
  • Ako je a > 0 , rješenje nejednadžbe x a zapisujemo na jedan od sljedećih načina:

    - a x a x - a i x a x - a , a .

U geometrijskom smislu to su svi brojevi x koji su od 0 udaljeni za manje od a ili jednako a .

Na slici je dio brojevnog pravca između -a i a. Brojevi -a i a označeni su punom točkom.

Prikaz na brojevnom pravcu.

Zadatak 4.

Kako glasi geometrijska interpretacija nejednadžbe​ x - 2 5 ?

Popunite brojevima koji nedostaju.

Odredimo sve realne brojeve x koji su od broja​ udaljeni za manje od ili jednako .

null
null
Na slici je prikaz nejednadžbe apsolutno od x – 2 manje ili jednako 5.

Kako to izgleda na brojevnom pravcu?

S brojevnog pravca vidimo da je rješenje nejednadžbe​ x - 2 5 interval - 3 , 7 .

Kao i kod jednadžbi s apsolutnom vrijednosti, katkad ćemo iz praktičnih razloga zadatak rješavati bez crtanja, samo algebarski. Tada ćemo postupati kao da rješavamo nejednadžbu​ t 5 .

Postupak je sljedeći.

Na slici je prikaz postupka rješavanja nejednadžbe apsolutno od nešto manje ili jednako 5.

Rješenje zadatka možemo pisati i na sljedeći način:

x - 2 5 - 5 x - 2 5 .

Ta dvostruka nejednakost je sustav nejednadžbi

x - 2 - 5 x - 2 5 , a njegovo je rješenje

x 2 - 5 x 2 + 5,

x - 3 x 7 , odnosno - 3 x 7  ili zapisano s pomoću intervala - 3 , 7 .

Zadatak 5.

Riješite nejednadžbu​ 1 4 x + 3 3 2 .

Povlačenjem složite postupak rješavanja dane nejednadžbe.

  • - 3 2 1 4 x + 3 3 2  
  • x - 18 , - 6   
  • 1 4 x - 9 2 i 1 4 x - 3 2   
  •  ​ x - 18 i x - 6  
  • 1 4 x + 3 - 3 2 i 1 4 x + 3 3 2   
  • 1 4 x + 3 3 2  
  • 1 4 x - 3 2 - 3 i 1 4 x 3 2 - 3   
null
null

Nejednadžba s apsolutnom vrijednosti, x a , a R

Zadatak 6.

Uparite nejednadžbu i njezinu geometrijsku interpretaciju.

x > 7
Svi realni brojevi x koji su od 0 udaljeni za više od 7 .
x 3
Svi realni brojevi x koji su od 2 udaljeni za više od 7 ili jednako 7 .
x - 2 7
Svi realni brojevi x koji su od 0 udaljeni za više od 3 ili jednako 3 .
null
null

Zadatak 7.

Koji je skup realnih brojeva prikazan na brojevnom pravcu? Označite sve algebarske prikaze tog skupa.

Na slici su dijelovi brojevnog pravca lijevo od broja minus 3 i desno od broja 3. Brojevi -3 i 3 označeni su punom točkom.

null
null

Zadatak 8.

Označite rješenje sljedećih nejednadžbi s apsolutnim vrijednostima.

  1. x 5 9  

    null
    null
  2. x - 4

    null
    null
  3. x 0  

    null
    null
  4. x > 0

    null
    null

Na osnovi prethodnih primjera i zadataka zaključujemo sljedeće.

  • Ako je a 0 , rješenje nejednadžbe x a su svi realni brojevi x .
  • Ako je a > 0 , rješenje nejednadžbe x a zapisujemo na jedan od sljedećih načina:

    x - a ili x a x - , - a a , .

U geometrijskom su smislu to svi brojevi x koji su od 0 udaljeni za više od a ili jednako a .

Na slici je Poluzatvoreni interval do-a unija poluzatvoreno od a na dalje

Prikaz na brojevnom pravcu.

Zadatak 9.

Kako glasi geometrijska interpretacija nejednadžbe​ x - 2 5 ?

Popunite brojevima koji nedostaju.

Odredite sve realne brojeve x koji su od udaljeni za više od ili jednako .
null
null
Na slici je rješenje na brojevnom pravcu nejednadžbe apsolutno od x - 2 je veće ili jednako 5.

Kako to izgleda na brojevnom pravcu?

S brojevnog pravca vidimo da je rješenje nejednadžbe x - 2 5 unija intervala - , - 3 7 , .

Ako zadatak rješavamo bez crtanja, postupat ćemo kao da rješavamo nejednadžbu​ t 5 .

Na slici je prikaz postupka rješavanja nejednadžbe apsolutno od nešto veće ili jednako 5.

Zadatak 10.

Riješite nejednadžbu​ 5 - 3 x 7 .

Poredajte elemente prema redoslijedu rješavanja nejednadžbe.

  • - 3 x - 12 ili - 3 x 2   
  • x - , - 2 3 4 ,   ​
  • x - 2 3 ili x 4   
  • 5 - 3 x - 7  ili 5 - 3 x 7
null
null

Zadatak 11.

Riješite nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima.

Svaki element predstavlja jedan oblik rješenja neke od zadanih nejednadžbi. Razvrstajte elemente prema tome kojoj nejednadžbi pripadaju.

x < - 11 4 ili x > 13 4   

- x + 1 4 < 3   

- x + 1 4 > 3   

2 5 x + 1 0.1   

2 5 x - 1 > 0.1   

null
null

Zadatak 12.

Riješite nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 13.

Riješite nejednadžbe i rješenje zapišite s pomoću intervala.

Uparite nejednadžbu i njezino rješenje.

0.1 x + 3 5 < 0   
x   
5 3 - x - 2 < 0  
13 5 , 17 5
2 x - 3 5 3 x + 4 5  
- , 3 5 7 5 ,
1 - x - 2 5 - 1 5   
- 4 5 , 8 5
2 x - 1 5   
- ,
null
null

Zadatak 14.

U sljedećoj interakciji pokušajte prema prikazanom rješenju napisati nejednadžbu čije je to rješenje.

Povećaj ili smanji interakciju

Malo složenije...

Primjer 1.

Riješimo nejednadžbu​ 1 x < 7 . Nacrtajte brojevni pravac na papiru. Rješenje prikažimo na brojevnom pravcu.

Dvostruka nejednakost je skraćeni zapis sustava nejednadžbi:

x 1 x < 7 .

Riješimo prvo jednu pa drugu nejednadžbu.

x 1 x - 1 ili x 1 x - , - 1 1 , i

x < 7 x > - 7 i x < 7 x - 7 , 7

Konačno je rješenje presjek dobivenih skupova rješenja, odnosno:

- , - 1 1 , - 7 , 7 .

Skicirajmo to na brojevnom pravcu.

Na slici je rješenje na brojevnom pravcu nejednadžbe apsolutno od x je između 1 i 7.

Rješenje dane nejednadžbe je unija intervala​ - 7 , - 1 1 , 7 . Pogledajmo sad kako bismo geometrijski interpretirali nejednadžbu​ 1 x < 7 .

Odredimo sve realne brojeve​ x koji su od udaljeni za više od ili jednako , a manje od .
null
null
Na slici je rješenje na brojevnom pravcu opće nejednadžbe apsolutno od x je između neka dva broja a i b.

S obzirom na geometrijsku interpretaciju i prikaz rješenja na brojevnom pravcu, možemo zaključiti da se takve nejednadžbe jednostavnije rješavaju primjenom geometrijskog prikaza, odnosno možemo općenito pisati

a x b , a < b - b x - a ili a x b .

Zadatak 15.

Riješite nejednadžbe.

  1. 2 < x + 2 < 5
  2. 2 5 2 x + 1 5 < 1
  3. 25 < x - 13 37  
  1. - 7 , - 4 0 , 3
  2. - 3 5 , - 3 10 1 10 , 2 5
  3. - 24 , - 12 38 , 50

Zadatak 16.

Riješite nejednadžbe.

  1. 3 x - 1 > 1 2
  2. x x - 2 1
  3. x - 1 - 2 < 3
  1. Nejednadžbu možemo riješiti prema osnovnom svojstvu 3 x - 1 < - 1 2 ili 3 x - 1 > 1 2 , a dalje kao složeniju nejednadžbu.

    Drugi je način da pomnožimo na početku sa zajedničkim nazivnikom, što možemo jer je nazivnik uvijek pozitivan. Jedini je uvjet da nazivnik mora biti različit od nule.

    Tada se zadatak svodi na rješavanje nejednadžbe x - 1 < 6 , x 1 .

    Rješenje je - 5 , 7 \ 1 .

  2. - 1 x x - 2 1 2 x - 2 x - 2 0 i 2 x - 2 0 x - , 1

  3. - 4 , 6


Kutak za znatiželjne

Riješimo nejednadžbu x 2 9 .

  1. Rješenje je nejednadžbe x 2 9 :

    null
    null
  2. Složite postupak rješavanja nejednadžbe x 2 9 povlačenjem elemenata.​

    • - 3 x 3
    • x - 3 x + 3 0
    • - 3 x 3 ili x
    • x - 3 0 x + 3 0 ili x - 3 0 x + 3 0
    • x 2 - 9 0
    null
    null

Očito su skupovi rješenja nejednadžbi x 2 9 i x 3 jednaki.

Slično kao i kod jednadžbi s apsolutnom vrijednosti, tom se činjenicom možemo koristiti kako bismo pojednostavnili ili ubrzali rješavanje nekih nejednadžbi. 

Zadatak 17.

Uparite tako da dobijete istinite tvrdnje.

x 2 a , a R , a 0
x = a x = ± a
x 2 = a , a R , a 0
x a x - a ili x a
x 2 a , a R , a 0
x a - a x a
null
null

Zadatak 18.

Riješite nejednadžbe.

  1. 4 x 2 1
  2. 9 x 2 > 16
  3. x - 1 2 4
  4. 2 x + 1 2 - 9 0
  1. - 1 2 , 1 2
  2. R \ - 4 3 , 4 3
  3. - 1 , 3
  4. - , - 2 1 ,  

...i na kraju

Za koje realne brojeve ​ m jednadžba x - 3 = m - 1 :

  1. nema rješenja
  2. ima jedno rješenje
  3. ima dva rješenja?

Uparite.

Nema rješenja ako je
m = 1 .  
Ima jedno rješenje ako je
m > 1 .  
Ima dva rješenja ako je
m < 1 .  

Pomoć:

Promatrajte kada je izraz na desnoj strani manji, jednak ili veći od nula.

 

Zadatak 19.

Za koje realne brojeve ​ m nejednadžba 4 x + 3 2 m - 1 - 3 m + 2 ima rješenje skup svih realnih brojeva?

2 m - 1 - 3 m + 2 0 m - 8


PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Broj​ n je od nule udaljen za manje od 5.5 jedinica na brojevnom pravcu. Jednu od sljedećih nejednadžbi zadovoljavaju svi takvi brojevi. Koju?

null
null
2

Rješenje je nejednadžbe​ x - 4 > 5 realni broj x koji je:

null
null
3

Koji je skup rješenje nejednadžbe​ 2 x - 5 2 0.5 ?

null
null
4

Razvrstajte nejednadžbe u skupine prema njihovim rješenjima.

x - 0.5 < 2.5

- 2 , 3

1 , 2

1 2 , 5 2

- , - 1 2 ,

null
null
5

Ako je x 0 ili x 6 , onda je

 
.
Ako je​ x 0 i x 6 , onda je ​
 
.
Ako je x < - 2.3 ili x > 9.5 , onda je
 
.
Ako je x > - 3.6 i x < 7.8 , onda je
 
.

x - 3.6 > 5.9
x - 3 3
x - 2.1 < 5.7 
x - 3 3

null
null
6

Uparite nejednadžbu i njezin skup rješenja.

1 2 < 3 x 4 3  
- 2 , 0 0 , 2 3
2 3 x - 1 < 3   
- 2 3 , - 1 3 1 , 4 3
2 - x x 2  
- 4 , - 2 3 2 3 , 4
null
null
7
Koliko ima cijelih brojeva m za koje nejednadžba 3 x + 7 m m + 2 nema rješenje?  

Pomoć:

m m + 2 < 0 m - 2 , 0

null
8
Skup je rješenja sustava 6 - x 2 2 x - 12 6 zatvoreni interval od do unija zatvoreni interval od do .

Pomoć:

Rješenje zapišite prema poretku kojim se rubne točke intervala pojavljuju na brojevnom pravcu– slijeva nadesno.

null
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

4.9 Primjena nejednadžbi