Pojmovnik

Četiri karakteristične ili istaknute točke trokuta jesu:

• težište $\left(T\right)$
  
• središte trokutu upisane kružnice $\left(U\right)$
  
• središte trokutu opisane kružnice  $\left(O\right)$ 
  
• ortocentar $\left(H\right)$.
  

Neka su $a$ i $b$ katete, a $c$ hipotenuza pravokutnog trokuta $ABC$ i neka je $D$ nožište visine $v$ spuštene iz vrha $C$ na hipotenuzu. Neka su $p=\left|DB\right|$ i $q=\left|AD\right|$ duljine ortogonalnih projekcija kateta na hipotenuzu. Tada vrijedi:

• $a=\sqrt{cp}$
• $b=\sqrt{cq}$
• $v=\sqrt{pq}$.

Težište, ortocentar i središte trokutu opisane kružnice leže na istom pravcu koji se naziva Eulerov pravac.

Neka su $a,b,g$ pozitivni realni brojevi. Broj $g$ jest geometrijska sredina brojeva $a$ i $b$ ako i samo ako vrijedi $\frac{a}{g}=\frac{g}{b}$.

To još drugačije zapisujemo $g=\sqrt{ab}$.

Neka je​ $S$ točka u ravnini i realni broj $k\ne 0$. Homotetija je preslikavanje koje svakoj točki ravnine $T$ pridružuje točku $T\text{'}$ te iste ravnine tako da vrijedi:

1. $S,T,T\text{'}$ su kolinearne točke
2. za ​ $k>0$ točke $T$ i $T\text{'}$ nalaze se s iste strane točke $S$
3. za ​ $k<0$ točke $T$ i $T\text{'}$ nalaze se s različitih strana točke $S$
4. $\left|ST\text{'}\right|=\left|k\right|·\left|ST\right|$.

Točka $S$ naziva se središte homotetije, a realni broj $k\ne 0$ naziva se koeficijent homotetije.

Trokut je jednakokračan ako su dvije njegove stranice jednakih duljina.

Dva su trokuta slična ako i samo ako su im dva kuta sukladna. Ovaj poučak nazivamo K-K poučak o sličnosti trokuta.

Ako su veličine $a$ i $b$ proporcionalne, njihov je omjer stalan i nazivamo ga koeficijent proporcionalnosti.

Ako su dva trokuta slična, tada su im odgovarajuće stranice proporcionalne, odnosno

$△ABC\sim △A\text{'}B\text{'}C\text{'}\Rightarrow \frac{\left|A\text{'}B\text{'}\right|}{\left|AB\right|}=\frac{\left|B\text{'}C\text{'}\right|}{\left|BC\right|}=\frac{\left|A\text{'}C\text{'}\right|}{\left|AC\right|}$.

Omjer duljina odgovarajućih stranica sličnih trokuta naziva se koeficijent sličnosti.

Dva su trokuta sukladna ako i samo ako su im sukladne jedna stranica i dva kuta uz tu stranicu. Ovaj poučak nazivamo K-S-K poučak o sukladnosti trokuta.

Ako dva pravca odsijecaju na krakovima kuta proporcionalne dužine, onda su ti pravci paralelni. Ovu tvrdnju nazivamo Obrat Talesova poučka o proporcionalnosti.

Paralelogram je četverokut kojemu su nasuprotne stranice usporedne.

Pravci na kojima leže visine trokuta sijeku se u jednoj točki koju nazivamo ortocentar trokuta.

Simetrala kuta u trokutu dijeli njemu nasuprotnu stranicu u omjeru preostalih stranica. Ovu tvrdnju nazivamo Poučak o simetrali kuta u trokutu.

Srednjica trokuta usporedna je s preostalom stranicom trokuta i od nje je dvostruko kraća.

Težišnice trokuta sijeku se u jednoj točki koju nazivamo težište trokuta. Težište trokuta dijeli svaku od težišnica u omjeru $2:1$ računajući od vrha.

Površina pravokutnika kojemu su duljine stranica $a$ i $b$ računa se po formuli $p=ab$.

Površina pravokutnog trokuta kojemu su duljine kateta $a$ i $b$ računa se po formuli $p=\frac{ab}{2}$.

Površina trokuta sa stranicom $a$ i visinom na tu stranicu $v$ računa se po formuli $p=\frac{av}{2}$.

Neka je $r$ polumjer trokutu upisane kružnice, a $s=\frac{1}{2}o=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)$ poluopseg. Površina trokuta računa se po formuli $p=\frac{ro}{2}=rs$.

Dužine $\overline{AB}$  i $\overline{CD}$ proporcionalne su dužinama $\overline{A\text{'}B\text{'}}$ i $\overline{C\text{'}D\text{'}}$ ako vrijedi:

$\frac{\left|AB\right|}{\left|CD\right|}=\frac{\left|A\text{'}B\text{'}\right|}{\left|C\text{'}D\text{'}\right|}$

Veličine za koje vrijedi da iz povećanja/smanjenja vrijednosti jedne veličine određeni broj puta slijedi povećanje/smanjenje vrijednosti druge veličine isti broj puta nazivamo proporcionalne veličine. Takvu ovisnost među veličinama nazivamo proporcionalnost.

Romb je četverokut kojemu su dijagonale međusobno okomite i raspolavljaju se.

Simetrala dužine jest pravac koji sadrži polovište te dužine i okomit je na nju.

Simetrala kuta jest polupravac s početkom u vrhu kuta koji dijeli kut na dva suk​ladna kuta.

Dva su trokuta slična ako i samo ako im je jedan kut sukladan, a stranice uz taj kut proporcionalne. Ovaj poučak nazivamo S-K-S poučak o sličnosti trokuta.

Dva su trokuta sukladna ako i samo ako su im sukladne dvije stranice i kut među njima. Ovaj poučak nazivamo S-K-S poučak o sukladnosti trokuta.

Dva su lika slična ako se jedan od njih može homotetijom preslikati u lik sukladan drugome.

Dva su trokuta $ABC$ i $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ slična ako i samo ako se podudaraju u sva tri kuta, odnosno $\alpha =\alpha \text{'},\beta =\beta \text{'},\gamma =\gamma \text{'}$.

Pišemo $△ABC\sim △A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ i čitamo: trokut $ABC$ i $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ slični su. $$

Simetrale svih stranica nekog trokuta sijeku se u jednoj točki i ta je točka središte tom trokutu opisane kružnice.

Simetrale unutarnjih kutova trokuta sijeku se u jednoj točki i ta je točka središte tom trokutu upisane kružnice.

Srednjica trokuta jest spojnica polovišta dviju stranica trokuta.

Dva su trokuta sukladna ako i samo ako su im sukladne dvije stranice i kut nasuprot većoj stranici. Ovaj poučak nazivamo S-S-K poučak o sukladnosti trokuta.

Dva su trokuta slična ako i samo ako su im duljine odgovarajućih stranica proporcionalne. Ovaj poučak nazivamo S-S-S poučak o sličnosti trokuta.

Dva su trokuta sukladna ako i samo ako su im sukladne sve tri stranice. Ovaj poučak nazivamo S-S-S poučak o sukladnosti trokuta.

Dužine $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ sukladne su ako i samo ako su im duljine jednake. Pišemo $\overline{AB}\cong \overline{CD}$ i čitamo: dužine $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ sukladne su.

Kutovi su sukladni ako i samo ako su im mjere jednake. Pišemo $\angle aPb\cong \angle cQd$ i čitamo: kutovi $\angle aPb$ i $\angle cQd$ sukladni su.

Dva su geometrijska lika sukladna ako ih možemo dovesti u položaj u kojem se potpuno podudaraju.

Trokuti $ABC$ i $DEF$ sukladni su ako i samo ako su im sukladne odgovarajuće stranice i odgovarajući kutovi. Pišemo $△ABC\cong △DEF$ i čitamo: trokuti $ABC$ i $DEF$ sukladni su.

Svaka je točka simetrale dužine jednako udaljena od krajnjih točaka dužine.

Svaka je točka simetrale kuta jednako udaljena od krakova kuta.

Ako krakove nekog kuta presiječemo s dva paralelna pravca, onda su dužine koje ti pravci odsijecaju na jednom kraku proporcionalne dužinama koje ti pravci odsijecaju na drugom kraku. Ovu tvrdnju nazivamo Talesov poučak.

Pišemo $\frac{\left|VA\right|}{\left|VB\right|}=\frac{\left|V{A}_1\right|}{\left|V{B}_1\right|}\mathrm{i}\frac{\left|AB\right|}{\left|VA\right|}=\frac{\left|A_1{B}_1\right|}{\left|V{A}_1\right|}$

Trokutu opisana kružnica jest kružnica koja sadrži sve njegove vrhove.

Udaljenost točke $T$ od pravca $p$ kojemu ne pripada je duljina dužine $\overline{TP}$ gdje je $P$ sjecište pravca $p$ i okomice iz točke $T$ na pravac $p$.

Kružnica koja dira sve tri stranice trokuta naziva se upisana kružnica.