x
Učitavanje

8.2 Primjena sukladnosti

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Na slici je knjiga Euklidovi elementi.

​Na slici je stranica iz Euklidovih Elemenata na kojoj je dokaz Pitagorina poučka. Euklid je sve tvrdnje (propozicije) dokazivao pomoću aksioma, definicija i prethodno dokazanih propozicija. U ovoj ćete jedinici na sličan način dokazivati tvrdnje o geometrijskim objektima.

Simetrala dužine

Na slici je simetrala dužine.

Na slici je simetrala dužine A B ¯ . Što je simetrala i kako bismo ju opisali?

Simetrala dužine jest pravac koji je okomit na dužinu i sadrži njezino polovište.


Simetrala dužine jest pravac koji sadrži polovište te dužine i okomit je na nju.

Istražite važno svojstvo simetrale dužine. U idućoj interakciji mijenjajte položaj točke T na simetrali dužine A B ¯ i promotrite udaljenost točke T od krajnjih točaka dužine A i B . Mijenjajte položaj točke Q koja nije na simetrali dužine i također promotrite udaljenosti. Što možete zaključiti? Na osnovi promatranja riješite sljedeći zadatak.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 1.

Označite točan odgovor.

  1. Točka T pripada simetrali dužine A B ¯ .

    null
    null
  2. Točka Q ne pripada simetrali dužine A B ¯ .

    null
    null

Zaključimo.

Svaka je točka simetrale dužine jednako udaljena od krajnjih točaka dužine.

Primjer 1.

Na slici je dužina i simetrala dužine. Označena je točka T na simetrali i udaljenosti točke T od krajnjih točaka dužine.

Dokažimo svojstvo simetrale dužine. Odaberimo neku točku T koja pripada simetrali dužine A B ¯ . Nacrtajmo dužine T A ¯ i T B ¯ . Treba dokazati da su jednakih duljina.

Uočavate li na slici trokute koji izgledaju sukladno? Promotrimo trokute T P A i T P B . U idućem zadatku sparite odgovarajuće elemente.

 

A T P   ​
B T P   ​
A P ¯
T B ¯
T P A  
T P B   ​
T P ¯
B P ¯
T A P  
T P ¯
T A ¯
T B P   ​
null
null

  1. Promotrite odgovarajuće elemente. Ako su trokuti T P A i T P B sukladni, svi su odgovarajući elementi sukladni. Potrebno je pronaći ona tri odgovarajuća elementa čiju sukladnost možemo argumentirati. Koristeći definiciju simetrale dužine, riješite sljedeći zadatak.

    Točka P je dužine A B ¯ .
    null
    null
  2. Dužine A P ¯ i B P ¯ su .
  3. Pravac T P   je na dužinu A B ¯ .

    null
    null
  4. Kutevi T P A   i T P B   su .

    Pomoć:

    Kutevi T P A i T P B  su pravi pa su im mjere jednake 90 ° .

     

Zadatak 2.

Na slici je skica dokaza svojstva simetrale dužine.

Zapišite sve korake dokaza sukladnosti trokuta T P A i T P B .

  1. Točka P jest polovište dužine A B ¯ pa je A P ¯ B P ¯ .
  2. Pravac T P okomit je na dužinu A B ¯ pa je T P A T P B .
  3. Stranica T P ¯ zajednička je.

Trokutima T P A i T P B sukladne su dvije stranice i kut među njima pa po S-K-S poučku o sukladnosti trokuta zaključujemo da je T P A T P B .


Dokazali smo da je T P A T P B . Ako su trokuti sukladni, svi su im odgovarajući elementi sukladni. Zaključujemo da je T A ¯ T B ¯ , što znači da su dužine T A ¯ i T B ¯ jednakih duljina. Točka T jednako je udaljena od krajnjih točaka dužine A i B .

Može se dokazati i obratno:

Ako je neka točka jednako udaljena od krajnjih točaka dužine, onda je ta točka na simetrali dužine.

Provedite dokaz.

Na slici je skica za obrat svojstva simetrale dužine.

Neka je točka P polovište dužine A B ¯ . Nacrtajmo pravac P T .

Treba dokazati da je taj pravac simetrala dužine A B ¯ . Budući da već sadrži polovište, treba još pokazati da je okomit na A B ¯ .

Ponovno ćemo dokazivati sukladnost trokuta T P A i T P B , ali neki su argumenti drugačiji.

  1. T A ¯ T B ¯ jer je točka T jednako udaljena od krajnjih točaka dužine.
  2. Točka P polovište je dužine A B ¯ pa je A P ¯ B P ¯ .
  3. Stranica T P ¯ zajednička je.

Po S-S-S poučku o sukladnosti trokuta zaključujemo da je T P A T P B .

U sukladnim su trokutima svi odgovarajući elementi sukladni. Zaključujemo da je T P A T P B pa su im mjere jednake. Budući da zajedno čine ispruženi kut, oba su kuta prava pa je pravac P T okomit na A B ¯ .

Pravac P T simetrala je dužine pa je točka T na simetrali.


Simetrala kuta

Na slici je simetrala kuta.

Simetrala kuta jest polupravac s početkom u vrhu kuta koji dijeli kut na dva suk​ladna kuta.

Zadatak 3.

Na slici je pravac p i na njemu točke A, B, C, D, točka T izvan pravca i dužine TA, TB, TC, TD. Dužina TB okomita je na p.

Promatrat ćemo udaljenost točke na simetrali od krakova kuta. Što je udaljenost točke od pravca? Promotrite sliku pa označite točan odgovor.

 Udaljenost točke T od pravca p je duljina dužine

 

null

Udaljenost točke T od pravca p kojemu ne pripada je duljina dužine T P ¯ gdje je P sjecište pravca p i okomice iz točke T na pravac p .

Na slici je prikazana udaljenost točke od pravca.

Istražite važno svojstvo simetrale kuta. U sljedećoj interakciji mijenjajte položaj točke T na simetrali kuta i promotrite udaljenosti točke T od krakova kuta. Mijenjajte položaj točke Q koja nije na simetrali kuta i također promotrite udaljenosti. Što možete zaključiti? Na osnovi promatranja riješite sljedeći zadatak.

Povećaj ili smanji interakciju

  1. Točka na simetrali kuta jednako je udaljena od krakova kuta.

    null
    null
  2. Točka koja nije na simetrali kuta jednako je udaljena od krakova kuta.

    null
    null

Zaključimo.

Svaka je točka simetrale kuta jednako udaljena od krakova kuta.

Na slici je prikazano svojstvo simetrale kuta.

Dokažimo svojstvo simetrale kuta. Neka je točka T na simetrali kuta. Nacrtajmo okomice iz točke T na krakove kuta i označimo točke A i B kao na slici. Uočavate li sukladne trokute? Promotrimo trokute T V A i T V B . U idućem zadatku sparite odgovarajuće elemente.

 

V T A   ​
T B ¯   ​
T A V   ​
V T B   ​
A V T   ​
B V T   ​
T A ¯  
T B V   ​
A V ¯   ​
B V ¯   ​
T V ¯  
T V ¯   ​
null
null

Zadatak 4.

Na slici je skica dokaza svojstva simetrale kuta.

Promotrite odgovarajuće elemente. Ako su trokuti T V A i T V B sukladni, svi su odgovarajući elementi sukladni. Potrebno je pronaći ona tri odgovarajuća elementa čiju sukladnost možete argumentirati. Koristite definiciju simetrale kuta.

  1. V T ¯ je zajednička stranica.
  2. A V T B V T po definiciji simetrale kuta.
  3. T A V T B V jer su oba prava.

Ako su u dva trokuta dva para kutova sukladna, onda i treći par kutova mora biti sukladan.

Po K-S-K poučku o sukladnosti trokuta zaključujemo da je T V A T V B . U sukladnim su trokutima svi odgovarajući elementi sukladni.

Zaključujemo da je T A ¯ T B ¯ pa su im duljine jednake. Točka T jednako je udaljena od krakova kuta.


Vrijedi i obratno:

Ako je neka točka jednako udaljena od krakova kuta, onda ona pripada simetrali tog kuta.

Zadatak 5.

Na slici je skica za obrat svojstva simetrale kuta.

Neka je zadan kut i točka T jednako udaljena od krakova kuta. Dokažite da točka T pripada simetrali kuta.

Nacrtajmo polupravac V T . Treba dokazati da je to simetrala kuta, odnosno da su kutovi A V T i B V T sukladni. Dokažimo sukladnost trokuta T V A i T V B .

  1. V T ¯ je zajednička stranica.
  2. T A ¯ T B ¯ jer je točka T jednako udaljena od krakova kuta.
  3. T A V T B V jer su oba prava.

Po S-S-K > poučku o sukladnosti trokuta zaključujemo da je T V A T V B . U sukladnim su trokutima svi odgovarajući elementi sukladni.

Zaključujemo da je A V T B V T pa je V T simetrala kuta, odnosno točka T pripada simetrali kuta.


Jednakokračni trokut

Na slici je Jednakokračni trokut.

U osnovnoj školi govorili ste o vrstama trokuta. Ponovimo. Trokut s obzirom na stranice može biti jednakostranični, jednakokračni ili raznostranični. S obzirom na kutove može biti šiljastokutni, pravokutni ili tupokutni.

Promotrimo jednakokračni trokut. Kako bismo ga definirali?

Trokut je jednakokračan ako su dvije njegove stranice jednakih duljina.

Dokažimo još neka svojstva jednakokračnog trokuta.

Dva su kuta jednakokračnog trokuta jednakih mjera.

Primjer 2.

Na slici je skica dokaza svojstva jednakokračnog trokuta.

Dokažimo tvrdnju.

Neka je A B C jednakokračan s krakovima A B ¯ i A C ¯ . Nacrtajmo okomicu točkom A na osnovicu B C ¯ . Označimo sjecište okomice i osnovice s D . Okomica je podijelila trokut A B C na dva trokuta: A D B i A D C .

Dokažimo da su sukladni.

  1. Stranica ​ A D ¯ je zajednička.
  2. A B ¯ A C ¯ jer je trokut jednakokračan.
  3. A D B A D C jer su oba prava.

Po S-S-K > poučku o sukladnosti trokuta zaključujemo da je A B D A C D . U sukladnim su trokutima svi odgovarajući elementi sukladni. Zaključujemo da je A B D A C D pa su jednakih mjera.

Zadatak 6.

Vrijedi i obratno:

Ako su u nekom trokutu dva kuta jednakih mjera, taj je trokut jednakokračan. Dokažite.

Zadatak 7.

Na slici je skica koja ilustrira grešku u "dokazu".

Ponađite grešku u "dokazu".

Neka je A B C jednakokračan s krakovima A B ¯ i A C ¯ . Nacrtajmo točku D na osnovici B C ¯ . Nacrtajmo dužinu A D ¯ . Dužina je podijelila trokut A B C na dva trokuta: A D B i A D C . Dokažimo da su sukladni.

  1. Stranica ​ A D ¯  je zajednička.
  2. A B ¯ A C ¯ jer je trokut jednakokračan.
  3. A B D A C D jer su to kutovi uz osnovicu jednakokračnog trokuta.

Po S-S-K > poučku o sukladnosti trokuta zaključujemo da je A B D A C D .

Kut je nasuprot kraćoj stranici.


Kutak za znatiželjne

Na slici je propozicija 5 iz Euklidovih elemenata.

U prvoj knjizi Euklidovih Elemenata propozicija 5 glasi:

Kod jednakokračnih su trokuta kutovi uz osnovicu jednaki, a ako se produže jednake stranice, i kutovi pod osnovicom su jednaki.

Dokaz propozicije 5 naziva se Pons asinorum (“magareći most”). Smatralo se da učenik koji savlada taj dokaz može prijeći "most" i započeti s ozbiljnijim dokazima i zadatcima. Dokaz je na prvi pogled nepotrebno složen, možemo pomisliti da postoje jednostavniji dokazi. Ali Euklid je pisao Elemente tako da svaku novu propoziciju dokazuje samo pomoću definicija, aksioma i prethodno dokazanih propozicija. Kako je ova propozicija tek peta u prvoj knjizi, nema mnogo činjenica na koje se Euklid pri dokazu mogao pozivati. Zato je dokaz nešto složeniji.

Na slici je stranica iz izdanja Elemenata u kojem su simboli zamijenjeni slikama. Dokaz nije na ovoj stranici dovršen. Dovršite dokaz i zapišite ga pomoću simbola. 

Paralelogram

Na slici je paralelogram.

Po kojem je svojstvu paralelogram dobio ime?

Kako biste definirali paralelogram?

Paralelogram je četverokut kojemu su nasuprotne stranice usporedne.

Dokažimo još neka svojstva paralelograma.

Zadatak 8.

Na slici je skica koja ilustrira karakterijzaciju paralelograma.

Četverokut kojemu su nasuprotne stranice jednake duljine jest paralelogram.

Dokažite pa poredajte korake dokaza.

 

  • C A B A C D   ​
  • A B ¯ D C ¯ , A D ¯ B C ¯ , A C ¯ zajednička  
  • A B C D   ​
  •  Četverokut je paralelogram.
  • Analogno A D B C  

  • A B C C D A   ​
null
null

Zadatak 9.

Na slici je skica koja ilustrira karakterizaciju paralelograma.

 Četverokut kojemu se dijagonale raspolavljaju jest paralelogram. Dokažite.

  1. A S ¯ S C ¯
  2. B S ¯ S D ¯
  3. A S B C S D jer su to vršni kutovi.

Zaključak: A S B C S D pa je B A S D C S , iz čega slijedi A B C D . Analogno se dokazuje B C A D .


Zadatak 10.

Dokažite obrate tvrdnji iz prethodna dva zadatka:

  1. Nasuprotne stranice paralelograma jednakih su duljina.
  2. Dijagonale paralelograma se raspolavljaju.

Zaključimo:

Četverokut je paralelogram ako i samo ako su njegove nasuprotne stranice jednakih duljina.

Četverokut je paralelogram ako i samo ako se njegove dijagonale raspolavljaju.

Srednjica trokuta

Praktična vježba

Nacrtajte trokut. Odredite polovišta dviju stranica trokuta. Dužina čije su krajnje točke polovišta stranica naziva se srednjica trokuta. Izmjerite duljinu srednjice i duljinu treće stranice trokuta. Uočavate li neku pravilnost? Provjerite svoje zaključke u interakciji. Mijenjajte položaj vrhova. Vrijede li za nove trokute isti zaključci?

Povećaj ili smanji interakciju

Srednjica trokuta je s trećom stranicom trokuta.

null
null

Srednjica je od treće stranice trokuta

null
null

Zaključimo:

Na slici je trokut i srednjica trokuta.

Srednjica trokuta jest spojnica polovišta dviju stranica trokuta.

Srednjica trokuta usporedna je s preostalom stranicom trokuta i od nje je dvostruko kraća.

Kutak za znatiželjne

  1. Dokažite poučak o srednjici trokuta. Neka je trokut A B C sa srednjicom P 1 P 2 ¯ kao na slici 1. Produžite srednjicu preko točke P 2 za njezinu duljinu kao na slici 2.
  2. Dokažite da je četverokut B D C P 1 paralelogram.
  3. Dokažite da je četverokut A B D P 1 paralelogram.
  4. Možete li zaključiti da je srednjica usporedna s trećom stranicom i od nje dvostruko kraća?

Sukladni trokuti, duljine stranica, mjere kutova

Zadatak 11.

Primijenite sukladnost trokuta pa odredite nepoznate duljine stranica i mjere kutova.

  1. Na slici su dva trokuta. Prvi ima stranice duljina 4, 5 i 8. Kut nasuprot stranice duljine 8 je y, a nasuprot stranice duljine 5 je 50 stupnjeva. Duljine stranica drugog trokuta su 4, 8 i x. Kut nasuprot stranice duljine x je 50, a nasuprot stranice duljine 4 je 30 stupnjeva.
    x = y =  .
    null
    null
  2. Uz oznake kao na slici V A = V B i C A = D B . Trokuti V A D i V B C sukladni su, što možemo zaključiti po poučku

    Na slici je kut AVB. Između točaka A i V je točka C, između točaka B i V je točka D. Dužine AD i BC sijeku se u točki T.

     

    null
  3. Slika prikazuje poligon sa podatcima.
    Uz oznake kao na slici V A = V B i C A = D B . x = y =   ​ z =   ​ t =    .
    null

...i na kraju

U Euklidovim Elementima u Propoziciji 47 dokazuje se Pitagorin poučak:

U svakom pravokutnom trokutu kvadrat nad stranicom nasuprot pravog kuta jednak je zbroju kvadrata nad stranicama uz pravi kut.

U sljedećoj animaciji promotrite dokaz ove propozicije.

Idemo na sljedeću jedinicu

8.3 Karakteristične točke trokuta