x
Učitavanje

8.8 Sličnost

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Mimikrija je sposobnost nekih vrsta životinja i biljaka da se izgledom prilagode okolini radi zaštite od prirodnih neprijatelja. Neke životinje po izgledu mogu imitirati druge životinje koje su lošeg okusa ili čak otrovne. Na primjer, Kraljevski leptir (slika lijevo) podsjeća na Vicekraljevskog leptira (slika desno) koji je neukusan. Takva se pojava naziva Müllerova mimikrija.

Za ova bismo dva leptira u svakodnevnom govoru rekli da su slična. Međutim, u matematici sličnost ne znači da su dva lika "gotovo ista", nego da su "istoga oblika".

Dva su lika slična ako se jedan od njih može homotetijom preslikati u lik sukladan drugome.

Zanimljivost

Na slici je Minimundus.

Minimundus je park minijaturnih građevina u Klagenfurtu u Austriji. Nalazi se na jezeru Wörthersee. Sadrži više od 150 modela arhitekture iz cijelog svijeta izrađenih u mjerilu 1 : 25 .

Zadatak 1.

Koji od prikazanih likova nije sličan ostalim dvama likovima?


  1. Na slici su pravokutnici A i B i kvadrat C.

    null
    null

  2. Na slici su pravokutni trokuti A i C i jednakokračni trokut B.

    null
    null

  3. Na slici je romb A i kvadrati B i C.

    null
    null

  4. Na slici su tri trapeza.

    null
    null

Primijetimo da su svake dvije dužine slične, svake su dvije kružnice slične i svaka su dva kvadrata također slična.

Sličnost trokuta

Primjer 1.

Na slici su slični trokuti.

Kada su dva trokuta slična, odnosno kada su istoga oblika?

Nacrtajmo dva slična trokuta.

Što možemo reći o njima? U čemu se ogleda njihov isti oblik?

Očito im se kutovi podudaraju.

Dva su trokuta A B C i A ' B ' C ' slična ako i samo ako se podudaraju u sva tri kuta, odnosno α = α ' , β = β ' , γ = γ ' .

Pišemo A B C A ' B ' C ' i čitamo: trokut A B C i A ' B ' C ' slični su.

Proučimo u interakciji još jedno svojstvo sličnih trokuta.

Povećaj ili smanji interakciju

Ako su dva trokuta slična, tada su im odgovarajuće stranice proporcionalne, odnosno

A B C A ' B ' C ' A ' B ' A B = B ' C ' B C = A ' C ' A C .

Omjer duljina odgovarajućih stranica sličnih trokuta naziva se koeficijent sličnosti.

Zadatak 2.

Na slici su prikazana dva slična trokuta. Izračunajte nepoznate duljine stranica.

  1. Na slici je trokut sa stranicama duljina 7, 4 i 6 i slični trokut sa stranicama a crtano, 6, c crtano.

    a ' =  , c ' =  
    null
    null
  2. Na slici je trokut s kutovima alfa, beta i gama nasuprot kojih su stranice duljina 15, 8, 10. Slični trokut ima stranicu duljine 2 nasuprot kutu gama.

    A ' C ' =  , B ' C ' =  
    null
    null
  3. Na slici je trokut s kutovima alfa, beta i gama nasuprot kojih su stranice duljina 9, 24, 21. Slični trokut ima stranicu duljine 12 nasuprot kutu alfa.

    b ' =  , c ' =  
    null
    null

Kada ćemo za neka dva trokuta moći zaključiti da su slični?

Poučci o sličnosti trokuta

Znamo u kakvu su međusobnom odnosu duljine stranica sličnih trokuta. Proučimo sada kakvi su trokuti kojima su duljine stranica proporcionalne.

Dva su trokuta slična ako i samo ako su im duljine odgovarajućih stranica proporcionalne. Ovaj poučak nazivamo S-S-S poučak o sličnosti trokuta.

Zadatak 3.

Provjerite.

  1. Ako duljine stranica jednoga trokuta iznose 13 cm , 16 cm i 20 cm , a drugoga trokuta 19.5 cm , 24 cm i 30 cm , ta su dva trokuta slična.

    null
    null
  2. Ako duljine stranica jednoga trokuta iznose 6 cm , 8 cm i 12 cm , a drugoga trokuta 9.8 cm , 12.8 cm i 19.8 cm , ta su dva trokuta slična.

    null
    null
  3. Ako duljine stranica jednoga trokuta iznose 20 cm , 35 cm i 48 cm , a drugoga trokuta 10.5 cm , 6 cm i 14.4 cm , ta su dva trokuta slična.

    null
    null
  4. Ako duljine stranica jednoga trokuta iznose 5.5 m , 2.4 m i 3.2 m , a drugoga trokuta 3.3 cm , 1.92 cm i 1.44 cm , ta su dva trokuta slična.

    null
    null

Primjer 2.

Za dva slična trokuta A B C i A ' B ' C ' vrijedi a ' a = b ' b = c ' c = k . Možemo li reći u kakvu su odnosu opsezi tih trokuta?

Proučimo u interakciji.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 4.

Dokažite dobivenu tvrdnju.

Iz proporcionalnosti duljina stranica možemo zapisati a ' = k a , b ' = k b , c ' = k c .

Tada je opseg sličnog trokuta o ' = a ' + b ' + c ' = k a + k b + k c = k ( a + b + c ) = k · o .

Možemo zapisati o ' o = k , odnosno opsezi sličnih trokuta također su proporcionalni.


Neka su A B C i A ' B ' C ' slični trokuti s koeficijentom sličnosti k . Tada je o ' o = k , tj. opsezi sličnih trokuta odnose se kao omjeri odgovarajućih stranica trokuta.

Zadatak 5.

Duljine stranica jednoga trokuta iznose 6 cm , 18 cm i 21 cm , a najkraća stranica njemu sličnog trokuta iznosi 4 cm . Izračunajte opseg drugoga trokuta.

Opseg prvoga trokuta iznosi 45 cm , a koeficijent sličnosti jest k = 2 3 pa je opseg drugoga trokuta jednak 30 cm .


Dva su trokuta slična ako i samo ako su im dva kuta sukladna. Ovaj poučak nazivamo K-K poučak o sličnosti trokuta.

  1. Na slici su prikazana dva trokuta s duljinama nekih stranica i označenim sukladnim kutovima.

    Poredajte korake dokaza sličnosti tih dvaju trokuta.

    Na slici su trokuti ABC i DEF. Kutovi pri vrhovima A i D su sukladni. Kutovi pri vrhovima B i E su sukladni. Duljina stranice BC je 20, stranice DE je 50, stranice EF je 70.

    • A B C D E F   ​
    • B A C E D F i   ​
    • C B A F E D   ​
    null
    null
  2. Koliki je koeficijent sličnosti?

    null
    null
  3. Duljina stranice A B ¯ jednaka je
    null
    null

S-K-S poučak o sličnosti trokutaDva su trokuta slična ako i samo ako im je jedan kut sukladan, a stranice uz taj kut proporcionalne. Ovaj poučak nazivamo S-K-S poučak o sličnosti trokuta.

Na slici je ilustracija S-K-S poučka o sličnosti trokuta.

 Neka su dana dva trokuta A B C i A ' B ' C ' takva da je B A C B ' A ' C ' i A ' B ' A B = A ' C ' A C .

Budući da su kutovi u vrhu A i A ' sukladni, trokute možemo preklopiti na sljedeći način.

Na slici je skica dokaza S-K-S poučka o sličnosti trokuta.

Prema obratu Talesova poučka, stranice B C ¯ i B ' C ' ¯ paralelne su. Iz toga slijedi da su i ostala dva kuta trokuta sukladna pa su trokuti slični.

Zadatak 6.

Na stranicama A C ¯ i B C ¯ trokuta A B C nalaze se točke D i E takve da je A D = 27 , B E = 7 , C D = 6 , C E = 11 . Dokažite da je A B C E D C .

Na slici je skica zadatka.

Kut u vrhu C zajednički je. Dokažimo još proporcionalnost stranica.

Izračunajmo duljine stranica trokuta A B C koje odgovaraju stranicama E C ¯ i B D ¯ . To su A C = 33 , B C = 18 .

Provjerimo omjere A C E C = 33 11 = 3 , B C B D = 18 6 = 3 , što znači da su duljine odgovarajućih stranica proporcionalne pa su trokuti slični.


Računanje trokuta koristeći sličnost

Uočili smo već da su opsezi sličnih trokuta također proporcionalni. Što je s ostalim mjerivim elementima trokuta kao što su visina, težišnica, površina?

Zadatak 7.

Dokažite da su visine sličnih trokuta proporcionalne.

Proporcionalnost visina

Poredajte korake dokaza.

  • po K-K poučku ​ A N C A ' N ' C '  
  • B A C B ' A ' C ' i  
  • v ' v = A ' C ' A C = k   
  • C N A C ' N ' A '




null
null

Analogno se dokaže za ostale visine u trokutu.

Neka su A B C i A ' B ' C ' slični trokuti s koeficijentom sličnosti k . Tada je v a ' v a = v b ' v b = v c ' v c = k , tj. visine sličnih trokuta odnose se kao omjeri odgovarajućih stranica trokuta.

Kutak za znatiželjne

Dokažite sami slične tvrdnje za težišnice i simetrale kutova sličnih trokuta.

Možemo li isto tvrditi za površine sličnih trokuta? Pogledajmo u interakciji.

Povećaj ili smanji interakciju

Što smo zaključili?

Neka su A B C i A ' B ' C ' slični trokuti s koeficijentom sličnosti k . Tada je p ' p = k 2 , tj. površine sličnih trokuta odnose se kao kvadrati omjera odgovarajućih stranica trokuta.

Zadatak 8.

Dokažite ovu tvrdnju.

Neka su​ p i p ' površine sličnih trokuta. Tada je

p ' p = 1 2 a ' · v a ' 1 2 a · v a = a ' a · v a ' v a = k · k = k 2 .


Zadatak 9.

Riješite sljedeće zadatke.

Zadane su duljine kateta pravokutnog trokuta a = 10 , b = 14 . Površina toga trokuta jest cm 2 .
Duljina kraće katete njemu sličnoga trokuta jest a ' = 6 cm . Koeficijent sličnosti jest a ' a =  . Površina sličnog trokuta iznosi cm 2
null
null

...i na kraju

 Sparite poučak o sličnosti trokuta s nazivom.

Dva su trokuta slična ako...

su im duljine odgovarajućih stranica proporcionalne.
su im dva kuta sukladna.
im je jedan kut sukladan, a stranice uz taj kut proporcionalne.  
null
null
PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Dva su trokuta  ako su im kutovi .

null
null
2
Na slici su trokuti.

​Koji su parovi sličnih trokuta?

A
B
 D
null
null
3

Dva su trokuta slična ako su im duljine dviju stranica proporcionalne.

null
null
4

Dva su trokuta slična ako i samo ako su im odgovarajuće duljine stranica proporcionalne.

null
null
5
Na slici su slični trokuti.

Koliko iznosi duljina stranice x u trokutu na slici?

null
null
6
Na slici su dva slična pravokutna trokuta.

 ​ Ako je u trokutu na slici A B = 20 , tada je duljina stranice x   jednaka .
null
null
7

Duljine stranica trokuta odnose se kao 2 : 5 : 7 . Kolika je duljina najkraće stranice toga trokuta ako je razlika duljina najdulje i najkraće stranice trokuta 15 cm ?

null
null
8
Dva su trokuta slična s koeficijentom sličnosti k = 5 . Opseg kružnice opisane manjem trokutu jest 11.2 cm . Opseg kružnice opisane većem trokutu jest cm .
null
null
9

Duljine stranica trokuta iznose 6.5 cm , 10 cm i 10.5 cm . Površina njemu sličnog trokuta iznosi 126 cm 2 . Kolike su duljine stranica sličnog trokuta?

null
null
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

8.9 Euklidov poučak