x
Učitavanje

8.3 Karakteristične točke trokuta

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Na slici je trokut od papira s olovkom u težištu.

U građevinarstvu i arhitekturi jako je važno projektirati stabilne građevine ili dijelove građevina koje se neće urušiti. Stoga treba precizno odrediti težište ili središte ravnoteže objekta.

Praktična vježba

Izrežite trokut od kartona i pokušajte postaviti olovku u središte njegove ravnoteže.

U koju točku unutar trokuta treba postaviti olovku tako da trokut bude u ravnoteži?

Kako ćete precizno odrediti ili konstruirati težište, odnosno središte ravnoteže trokuta?

Je li ta točka jednako udaljena od svih vrhova trokuta ili od svih stranica trokuta ili nešto treće?

Istražimo.

Težište trokuta

  1. Podsjetimo se.
    Dužina koja spaja vrh trokuta s polovištem nasuprotne stranice naziva se
     

    Dužina koja spaja polovišta dviju stranica trokuta naziva se
     
     

    težišnica trokuta.
    srednjica trokuta.

    null
    null
  2. Ako je točka T   jednako udaljena od krakova nekog kuta, onda se točka T nalazi na

     
    
    neke dužine, onda se točka T nalazi na
     

    simetrali te dužine.
     simetrali tog kuta.

    null
    null
  3. Polupravac kojemu je početak u vrhu kuta i dijeli taj kut na dva sukladna dijela nazivamo 

     

    Pravac koji je okomit na dužinu i sadrži njezino polovište nazivamo
     

      simetrala dužine.
     simetrala kuta.

    null
    null

Nacrtajte proizvoljan trokut i konstruirajte njegove težišnice. Koliko zajedničkih točaka imaju težišnice? Vrijedi li to za bilo koji trokut?

Provjerite svoj zaključak koristeći GeoGebrin predložak.

Pomičite vrhove trokuta i promatrajte što se događa s težišnicama. Mjerite duljine dijelova težišnica.

Povećaj ili smanji interakciju

Što uočavate?

  1. Sve tri težišnice trokuta sijeku se u jednoj točki.

    null
    null
  2. Točka u kojoj se sijeku težišnice trokuta dijeli svaku od težišnica, računajući od vrha, u omjeru 

    null
    null

Zaključimo.

Na slici je trokut s nacrtanim težišnicama i težištem.

Težišnice trokuta sijeku se u jednoj točki koju nazivamo težište trokuta. Težište trokuta dijeli svaku od težišnica u omjeru 2 : 1 računajući od vrha.

Kutak za znatiželjne

Pokušajte samostalno ili uz pomoć videa koji slijedi dokazati poučak o težišnicama.

Zadatak 1.

Izračunajte duljine težišnica u pravokutnom trokutu kojemu su duljine kateta a = 4 cm i b = 6 cm .

Na slici je težište u pravokutnom trokutu.

U pravokutnom je trokutu duljina težišnice iz vrha pravog kuta jednaka polovici hipotenuze, odnosno polumjeru opisane kružnice tom trokutu. Stoga je t c = 13 .

Težišnice  t a i t b računamo po Pitagorinu poučku iz B C Q i P C A . t a = 2 10 cm , t b = 5 cm   

Primjer 1.

Konstruirajmo trokut A B C kojemu su zadane duljine stranica ​ A B = 7 , B C = 5 i duljina težišnice iz vrha ​ B , t b = 4 .


Središte trokutu upisane kružnice

Primjer 2.

Na slici je trokut od kariranog platna za stolnjak.

Krojačica želi iskoristiti ostatak platna trokutastog oblika kako bi napravila okrugli stolnjak što većeg promjera. Kako će krojačica skrojiti stolnjak?

Krojačica, ako želi što više platna iskoristiti i skrojiti okrugli stolnjak najvećeg mogućeg promjera, mora odrediti središte trokutu upisane kružnice.


Trokutu upisana kružnica.

Kružnica koja dira sve tri stranice trokuta naziva se upisana kružnica.

Simetrale unutarnjih kutova trokuta sijeku se u jednoj točki i ta je točka središte tom trokutu upisane kružnice.

  1. Dokažimo prethodnu tvrdnju.

    Povucimo simetrale kutova pri vrhovima A i B u trokutu A B C . Neka je U njihova zajednička točka ili točka presjeka.

    Na slici je trokut i dvije simetrale kutova u trokutu.

      Tada je točka U

    null
    null
  2. Zaključujemo da je točka U jednako udaljena od stranica A C ¯ i B C ¯ , pa se nalazi na simetrali kuta A C B .

    null
    null
  3. Slijedi da se simetrale unutarnjih kutova trokuta sijeku u jednoj točki.

    null
  4. Točka ​ U središte je kružnice koja prolazi točkama ​

    Pomoć:

      U D = U E = U F

    null
  5. Kružnica sa središtem u točki U dira stranice trokuta jer je

    null

Koristeći GeoGebrin predložak konstruirajte središte trokutu upisane kružnice i provjerite sve korake dokaza.

Povećaj ili smanji interakciju
Na slici je trokutu upisana kružnica.

Kutak za znatiželjne

U pravokutnom su trokutu duljine kateta  a , b te duljina hipotenuze c . Dokažite da za polumjer upisane kružnice r vrijedi r = a + b - c 2 .

Na slici je kružnica upisana pravokutnom trokutu.

Skica:

Iz sukladnosti L A U M A U , N B U M B U (poučak KSK) slijedi da je: A M = A L = b - r , B M = B N = a - r .

Tada je c = a - r + b - r r = a + b - c 2


Središte trokutu opisane kružnice

Na slici je opisana kružnica trokutu.

Trokutu opisana kružnica jest kružnica koja sadrži sve njegove vrhove.

Zadatak 2.

Kako ćemo odrediti središte trokutu opisane kružnice?

Koja je točka jednako udaljena od svih vrhova trokuta?

Gdje se nalazi točka jednako udaljena od vrhova A i B ?  

 
. Gdje se nalazi točka jednako udaljena od vrhova A i C ?
 
.
Ako je točka O točka presjeka simetrala stranica A B ¯ , A C ¯ , tada je
 
odakle zaključujemo da je 
 
.
Stoga se točka O nalazi i
 
.
 

O C = O B
Na simetrali stranice A C ¯
O A = O B i O A = O C
na simetrali stranice B C ¯
na simetrali stranice A B ¯

null
null

Zaključujemo.

Simetrale svih stranica nekog trokuta sijeku se u jednoj točki i ta je točka središte tom trokutu opisane kružnice.

Na slici je trokut i simetrale stranica. Simetrale stranica trokuta se sijeku u jednoj točki.

Zadatak 3.

Konstruirajte središte opisane kružnice koristeći GeoGebrin predložak.

Mijenjajući položaj vrhova trokuta, istražite o čemu ovisi položaj središta trokutu opisane kružnice.

Povećaj ili smanji interakciju

 Sparite vrstu trokuta i položaj središta trokutu opisane kružnice O .

Šiljastokutni trokut
O je unutar trokuta.
Pravokutni trokut
  O je izvan trokuta.
Tupokutni trokut
  O je na hipotenuzi.
null
null

Ortocentar

Prisjetimo se.

Neka je A B C proizvoljan trokut, a okomica iz vrha A na pravac B C siječe taj pravac u točki N . Za dužinu A N ¯ kažemo da je visina trokuta iz vrha A , a točka N je nožište te visine. Njezinu duljinu obično označavamo s v a .

Nacrtajte trokut, visine i pravce na kojima leže visine iz svih triju vrhova tog trokuta.

Možete koristiti GeoGebrin predložak.

Mijenjajte položaj vrhova trokuta i promatrajte što se događa s visinama i pravcima na kojima leže visine.

Povećaj ili smanji interakciju
Na slici je trokut i visine trokuta.

  1.   Visine trokuta A B C jesu

    null
    null
  2. Visine trokuta imaju uvijek jednu zajedničku točku.

    null
    null
  3. Pravci A N 1 , B N 2 , C N 3 , na kojima leže visine trokuta, sijeku se uvijek u jednoj točki.

    null
    null
  4. Hoće li uvijek sjecište pravaca na kojima leže visine trokuta biti unutar trokuta?

    null
    null

Možete li izreći poučak o ortocentru?

Pravci na kojima leže visine trokuta sijeku se u jednoj točki koju nazivamo ortocentar trokuta.

Zadatak 4.

Dokažite poučak o ortocentru.

Slika uz dokaz poučka o ortocentru.

Svakim vrhom zadanog trokuta A B C povucite paralelu s nasuprotnom stranicom. Vrhove novog trokuta označite s  A 1 B 1 C 1 .

Iz same je konstrukcije jasno da su četverokuti ​ A B A 1 C A B C B 1 paralelogrami.

Tada je ​ A B = C A 1 i A B = C B 1 , a odatle slijedi i C A 1 = C B 1 , pa je vrh C polovište stranice A 1 B 1 . Analogno se pokaže da su i točke A , B polovišta stranica B 1 C 1 ¯ i A 1 C 1 ¯ .

Stoga su pravci na kojima leže visine trokuta A B C ujedno simetrale stranica trokuta A 1 B 1 C 1 . Ranije smo pokazali da se simetrale stranica trokuta sijeku u jednoj točki, što znači da se i pravci na kojima leže visine trokuta A B C sijeku u jednoj točki.


Zadatak 5.

Istražite o čemu ovisi položaj ortocentra.

Povećaj ili smanji interakciju

 

Ortocentar je unutar trokuta ako je trokut
Ortocentar je izvan trokuta ako je trokut
Ortocentar je u vrhu trokuta ako je trokut
null
null

Četiri karakteristične ili istaknute točke trokuta jesu:

  • težište ( T )
  • središte trokutu upisane kružnice ( U )
  • središte trokutu opisane kružnice  ( O )  
  • ortocentar ( H ) .

Zadatak 6.

Nacrtajte proizvoljan trokut i konstruirajte mu četiri karakteristične točke: T , U , O , H . Sakrijte sve osim tih točaka. Mijenjajte položaj vrhova trokuta i promatrajte međusobni položaj i udaljenost karakterističnih točaka.

Povećaj ili smanji interakciju
Na slici je Eulerov pravac.

Skica.


  1. Koje su od sljedećih tvrdnji točne uvijek, nikad ili ponekad?

    Sve četiri karakteristične točke leže na istom pravcu.

    null
    null
  2. Kod jednakokračnog trokuta sve se četiri karakteristične točke nalaze unutar trokuta.

    null
    null
  3. Težište trokuta nalazi se između ortocentra i središta trokutu opisane kružnice.

    null
    null
  4. U jednakostraničnom trokutu sve su karakteristične točke u jednoj točki.

    null
    null
  5. Barem dvije karakteristične točke pravokutnog trokuta pripadaju hipotenuzi.

    null
    null
  6. Težište je od ortocentra udaljeno dva puta više nego od središta trokutu opisane kružnice.

    null
    null

Težište, ortocentar i središte trokutu opisane kružnice leže na istom pravcu koji se naziva Eulerov pravac.

Zanimljivost

Na slici je Euler.
Leonhard Euler

Leonhard Euler (1707. - 1783.) švicarski je matematičar, fizičar i astronom koji je dokazao da se težište, ortocentar i središte trokutu opisane kružnice nalaze na istom pravcu.

Rođen je u Baselu u svećeničkoj obitelji, ali je svoj znanstveni rad razvio u Berlinu i Petrogradu gdje je držao katedru za fiziku i matematiku. 1738. godine oslijepio je na desno oko, ali i dalje se intenzivno bavio znanošću tako da je diktirao svoje radove. Nakon gubitka vida Euler je stvorio gotovo pola svojeg znanstvenog opusa. Napisao je ukupno 900 radova.

U svoje je doba napisao mnoge matematičke knjige za školu, sudjelovao u reformiranju mjera i utega, kovanju novca, projektiranju...

Konstruirajte...

U sljedećim ćemo zadatcima koristiti standardne oznake za elemente trokuta.

Stranice nasuprot vrhova A , B , C označit ćemo redom s a , b , c , kutove pri vrhovima A , B , C redom s α , β , γ .

Duljine visina označit ćemo s v a , v b , v c , s tim da je  v a visina povučena iz vrha A  na stranicu  a . Analogno i za težišnice ​ t a , t b , t c .

Za simetrale stranica koristit ćemo oznake ​ s a , s b , s c , s tim da je ​ s a oznaka za duljinu onog dijela simetrale stranice a koji se nalazi unutar trokuta.

Simetrale kutova α , β , γ označit ćemo redom sa s α , s β , s γ , s tim da je ​ s α oznaka za duljinu onog dijela simetrale kuta α koji se nalazi unutar trokuta.

Polumjer upisane kružnice označit ćemo s  r , a opisane s R .

Zadatak 7.

Konstruirajte trokut kojemu su zadane duljine dviju stranica i polumjer opisane kružnice: ​ a = 6 cm , b = 7 cm i R = 4 cm .

Na slici je konstrukcija i skica.
  • Prvi korak: na pravcu konstruiramo točke B i C tako da je B C = a .

  • Drugi korak: konstrukcija središta trokutu opisane kružnice kao presjek dviju kružnica polumjera R sa središtima u B i C . Opišemo kružnicu polumjera R sa središtem u dobivenom presjeku.

  • Treći korak: opišemo kružnicu polumjera b sa središtem u C . Vrh A presjek je ove kružnice i trokutu opisane kružnice dobivene u prethodnom koraku.


Zadatak 8.

Konstruirajte trokut kojemu su zadane duljine dviju stranica i visina na jednu od njih: a = 7 cm , b = 5 cm i v b = 4 cm .

Na slici je konstrukcija trokuta zadanog s dvije stranice i visinom na jednu od tih stranica.
  • Prvi korak: na pravcu konstruiramo točke A i C tako da je A C = b .  
  • Drugi korak: konstrukcija okomice na pravac  A C u njegovoj proizvoljnoj točki i paralele s pravcem  A C na udaljenosti v b . Opišemo kružnicu polumjera  a sa središtem u  C .
  • Treći korak:  vrh B presjek je ove kružnice i konstruirane paralele iz prethodnog koraka.


Zadatak 9.

Konstruirajte trokut kojemu je zadana duljina jedne stranice, jedan kut i odsječak simetrale tog kuta koji je unutar trokuta: ​ a = 5 cm , β = 30 ° i s β = 6 cm .

Na slici je prikaz konstrukcije trokuta zadanog sa stranicom a, kutem beta i simetralom tog kuta.
  • Prvi korak: na pravcu konstruiramo točke B i C   tako da je B C = a .
  • Drugi korak: zarotiramo pravac B C oko vrha B za zadani kut i konstruiramo njegovu simetralu.
  • Treći korak: oko vrha B opišemo kružnicu polumjera s β . Vrh A presjek je pravca dobivenog rotacijom u prethodnom koraku i pravca kroz točku presjeka konstruirane kružnice i simetrale i točku C .


Zadatak 10.

Konstruirajte trokut kojemu je zadana duljina jedne stranice, kut i polumjer upisane kružnice: ​ b = 6 cm , γ = 30 ° i r = 2 cm .

Na slici je Konstrukcija trokuta kojemu je zadana stranica b, kut gama i polumjer upisane kružnice.
Pokušajte sami otkriti korake konstrukcije.

...i na kraju

Napravite poster na kojem ćete prikazati sve važne činjenice o četirima karakterističnim točkama trokuta. Primjerice, kao tablica:

Težište Definicija Svojstvo
Položaj
Težište trokuta.
Težište je točka u kojoj se sijeku težišnice, dužine koje spajaju vrh trokuta i polovište nasuprotne stranice.
Težište dijeli težišnicu u omjeru...
Težište bilo kojeg trokuta nalazi se...
PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Kružnica koja dodiruje sve stranice trokuta jest trokutu .

null
null
2

Kružnica koja prolazi svim vrhovima trokuta jest trokutu

null
null
3

Sparite karakterističnu točku trokuta i opis njezine konstrukcije.

Težište
 Sjecište težišnica
Središte trokutu upisane kružnice
Sjecište simetrala kutova
Središte trokutu opisane kružnice 
Sjecište simetrala stranica 
Ortocentar
Sjecište pravaca na kojima leže visine trokuta
null
null
4

Poučak o središtu trokutu upisane kružnice dokazujemo koristeći poučak o

null
null
5

Poučak o središtu trokutu opisane kružnice dokazujemo koristeći poučak o

null
null
6
Težište dijeli težišnicu u omjeru : računajući od vrha trokuta.
null
null
7

Razvrstajte prema vrsti trokuta položaj karakterističnih točaka: T (težište), U (središte trokutu upisane kružnice), O (središte trokutu opisane kružnice), H (ortocentar).

Točka H u vrhu je trokuta.

Tupokutni trokut

Šiljastokutni trokut

Pravokutni trokut

null
null
8

Stolaru je prilikom izrade namještaja ostalo nekoliko drvenih ploha u obliku pravokutnog trokuta. Odlučio je napraviti stoliće s jednom nogom. Dvije okomite stranice drvenog trokuta imaju duljine 54 cm i 36 cm . Gdje treba postaviti nogu ako je skica stolića kao na slici?

Stolić u obliku pravokutnog trokuta s katetama duljina 36 cm i 54 cm. .

null
null
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

8.4 Formule za površinu trokuta