Na početku ove jedinice pogledajte GeoGebru s košarkaškim i nogometnim loptama. Pokušajte uzračunati cijenu košarkaške i nogometne lopte, a odgovor upišite u predviđene kvadratiće.
Kako biste ovaj zadatak lakše riješili, pogledajte koliki bi ukupni iznos trebalo platiti za
košarkaške i
nogometne lopte. Podijelite iznos s
i dobit ćete iznos koji bi trebalo platiti za jednu košarkašku i jednu nogometnu loptu.
Prema prvom zapisu, iznos koji treba platiti za nogometnu loptu jednak je razlici iznosa koji treba platiti za sve tri lopte i iznosa koji treba platiti za nogometnu i košarkašku loptu.
Potom je iz sume iznosa koji treba platiti za nogometnu i košarkašku loptu jednostavno odgonetnuti cijenu košarkaške lopte.
Brojni životni problemi mogu se riješiti sustavom dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice. Jedan od njih je kupovina dvaju artikala, kao u prethodnoj interakciji. Možete li se sjetiti još neke životne situacije koja se može riješiti sustavom linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice?
Pri rješavanju svakodnevnih životnih situacija sustavom dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice potrebno je proći nekoliko koraka. Za početak, važno je razumjeti situaciju i kontekst problema. Zadatak treba pročitati s razumijevanjem, ako treba i nekoliko puta, kako biste odredili što se u zadatku traži. Odredite što je u zadatku poznato, kao i vezu poznatih podataka i nepoznatih veličina. Veza se prikazuje linearnim jednadžbama koje je moguće riješiti jednom od poznatih metoda. Važno je i provjeriti je li rješenje smisleno i napisati odgovor riječima.
Poredajte korake rješavanja svakodnevne situacije.
Pronađite parove.
1. korak | |
2. korak | |
3. korak | |
4. korak | |
5. korak | |
6. korak | |
7. korak |
Luna je kilograma višanja i kilograma kivija platila kunu. U drugoj kupovini Luna je kilograma višanja i kilograma kivija platila kune. Odredite cijenu jednog kilograma višanja i jednog kilograma kivija.
Pronađite parove.
Označavanje cijena s i | |
trešanja i kivija je | |
| |
Rješavanjem sustava dobije se i | |
Uvrštavanje rezultata u sustav linearnih jednadžbi. | |
Cijena višnja je a kivija |
Noa kupuje čarape. Paket od
pari bijelih čarapa i
pari plavih čarapa platit će
kuna. Paket od
pari bijelih čarapa i
pari plavih čarapa platit će
kuna. Koja je cijena jednog para bijelih i cijena jednog para plavih čarapa?
Pronađite sustav linearnih jednadžbi koji opisuje zadatak.
Pomoć:
Označimo s
bijele, a s
plave čarape. Prvi uvjet glasi:
Traži se
a to vrlo lako možemo dobiti ako prvu jednadžbu podijelimo s
Broj glava označava broj životinja. Ako s
označimo broj kokoši, a s
broj svinja, zbroj
i
jednak je broju glava, dakle
Kokoši imaju dvije noge, a svinje četiri. Ukupan broj kokošjih nogu je
a svinjskih
Zbroj tih dvaju brojeva je ukupan broj životinjskih nogu, dakle
Vidimo da vrijedi:
Kad riješimo sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice, primijetit ćemo da je na farmi
kokoši i
svinja.
Primjer 1.
kilograma mandarina i kilograma jabuka stoji kunu. kilograma mandarina i kilograma jabuka stoji kunu.
Koja je cijena kilograma mandarina, a koja kilograma jabuka?
Nepoznata je cijena jednog kilograma mandarina i cijena jednog kilograma jabuka.
Označimo s
cijenu jednog kilograma mandarina, a s
cijenu jednog kilograma jabuka.
Poznato je da je zbroj i jednak a i jednak što zapisano jednadžbama glasi:
Rješavajući sustav jednom od poznatih metoda (primjerice metodom suprotnih koeficijenata), kao rješenje dobivamo uređeni par .
Rješenje ima smisla, jer je cijena jednog kilograma mandarina od
i cijena jednog kilograma jabuka od
kune moguća. Pri tome je
kilograma mandarina
kuna, a
kilograma jabuka
kuna, pa bi pri toj kupovini trebalo platiti
kunu. Isto tako,
kilograma mandarina stoji
kuna, a
kilograma jabuka
kune, pa bi pri toj kupovini trebalo platiti
kunu.
Cijena jednog kilograma mandarina je
a cijena jednog kilograma jabuka je
Baka Katica na tržnici kupuje paprike i rajčice. Kupila je
kilograma rajčice i
kilograma paprike za
kunu. Djed Mijo je na istom štandu kupio
kilograma rajčice i
kilograma paprike za
kuna.
Koja je cijena paprike, a koja rajčice na štandu na kojem su baka Katica i djed Mijo kupovali?
Nepoznata je cijena jednog kilograma rajčice i cijena jednog kilograma paprike.
Označimo s
cijenu jednog kilograma rajčice, a s
cijenu jednog kilograma paprike.
Poznato je da je zbroj i jednak a i jednak što zapisano jednadžbama glasi:
Rješavajući sustav jednom od poznatih metoda (primjerice metodom suprotnih koeficijenata), kao rješenje dobivamo uređeni par .
Rješenje ima smisla, jer je cijena jednog kilograma rajčice od i cijena jednog kilograma paprike od kune moguća. Pri tome je kilograma rajčice kuna, a kilograma paprike kuna, pa bi pri toj kupovini trebalo platiti kunu. Isto tako, kilograma rajčice stoji kuna, a kilograma paprike kune, pa bi pri toj kupovini trebalo platiti kuna.
Cijena jednog kilograma rajčice je
a cijena jednog kilograma paprike je
Primjer 2.
Na filmskom setu bio je kostim za konje i ljude. Iza konja i ljudi ostalo je različitih tragova stopala i kopita.
Koliko je bilo konja, a koliko ljudi na filmskom setu?
Označimo s
broj ljudi, a s
broj konja. Ukupno je bio
kostim za konje i ljude, pa je i njih ukupno bilo
je različitih tragova stopala, od kojih svaki čovjek ima dva traga stopala, a konj
traga kopita.
Vrijedi:
Sustav riješimo jednom od poznatih metoda (metodom supstitucije ili metodom suprotnih koeficijenata).
Rješenje sustava je uređeni par
Provjerimo je li rješenje točno.
ljudi i konja zajedno nose kostim. Kako svaki čovjek ima traga stopala, ukupno ima ljudska traga stopala. Kako svaki konji ima traga kopita, to je tragova kopita. Ukupno je tragova i rješenje zaista ima smisla.
Na setu je bilo
ljudi i
konja.
Marko u kasici ima kovanice od i kuna. Skupio je kune. Koliko kovanica od kune, a koliko od kuna ima u kasici?
Pomoć:
Na jednom je parkiralištu
automobila i motocikala. Na njima je ukupno
kotača.
Koliko je automobila, a koliko motocikala na parkiralištu?
Pomoć:
je broj motocikala, a broj automobila.
Primjer 3.
Sestra je godina starija od brata. Ako im je zajedno godina, koliko je godina sestri, a koliko bratu?
Nepoznat je broj sestrinih i bratovih godina.
Označimo s broj sestrinih godina, a s broj bratovih godina.
Poznato je da je broj sestrinih godina jednak broju bratovih godina uvećanih za a suma sestrinih i bratovih godina je što zapisano jednadžbama glasi:
Rješavajući sustav jednom od poznatih metoda (primjerice metodom supstitucije), kao rješenje dobivamo uređeni par .
Rješenje ima smisla, jer i mogu biti nečije godine. Ako zbrojimo i dobivamo a je za veći od čime smo provjerili točnost rješenja.
Sestri su
godine, a bratu
godina.
Brat je stariji od sestre sedam godina. Za godinu dana omjer njihovih godina bit će
Koliko je godina bratu, a koliko sestri?
Nepoznat je broj sestrinih i bratovih godina.
Označimo s broj bratovih godina, a s broj sestrinih godina.
Poznato je da je broj bratovih godina jednak broju sestrinih godina uvećanih za a jedna godina više od bratovih godina i jedna godina više od sestrinih godina odnose se kao što zapisano jednadžbama glasi:
Rješavajući sustav jednom od poznatih metoda (primjerice metodom supstitucije), kao rješenje dobivamo uređeni par
Rješenje ima smisla, jer i mogu biti nečije godine. Za godinu više brat i sestra imat će i godinu, a
Bratu je
a sestri
godina.
Prije godina majka je bila puta starija od kćeri, a za devet godina bit će dvostruko starija. Koliko je godina majci, a koliko kćeri?
Pomoć:
je broj majčinih godina,
broj kćerinih godina.
Primjer 4.
U jednoj osnovnoj školi tri puta je više učenika nego učenica. Pri tome je učenika za više nego učenica. Koliko učenika, a koliko učenica ima u toj školi?
Nepoznat je broj učenika i učenica jedne škole.
Označimo s broj učenika, a s broj učenica.
Poznato je da je puta veći od i je za veći od što zapisano jednadžbama glasi:
Rješavajući sustav jednom od poznatih metoda (primjerice metodom supstitucije), kao rješenje dobivamo uređeni par .
Rješenje ima smisla, jer i mogu biti brojevi učenika i učenica. Broj je puta veći od a uvećan za je čime smo provjerili točnost rješenja.
U školi ima
učenika i
učenice.
Elena je
puta mlađa od tete Anice. Za
godina zbroj njihovih godina bit će
Koliko je Eleni sada godina?
Pomoć:
je broj Eleninih godina, a broj godina tete Anice.
Jakov je pet puta mlađi od tetka Marka. Kad bi broju Jakovovih godina oduzeli
godina i dodali ih Markovim godinama, Marko bi od Jakova bio stariji
puta. Koliko je godina Jakovu, a koliko Marku?
Pomoć:
je broj Jakovovih godina, a broj tetkovih godina.
Primjer 5.
Jure i Žarko rade u prodavaonici namještaja. Ukupno su sastavili ormarića. Da je Jure sastavio ormarića manje, sastavio bi dvostruko više od Žarka.
Koliko ormarića je sastavio Jure, a koliko Žarko?
Nepoznat je broj ormarića koje je sastavio Jure i broj ormarića koje je sastavio Žarko.
Označimo s
broj ormarića koje je sastavio Jure, a s
broj ormarića koje je sastavio Žarko.
Poznato je da je zbroj i jednak a umanjen za jednak je uvećan dva puta, što zapisano jednadžbama glasi:
Rješavajući sustav jednom od poznatih metoda (primjerice metodom suprotnih koeficijenata), kao rješenje dobivamo uređeni par .
Rješenje ima smisla, jer radnici mogu sastaviti
i
ormarića. Zbroj
i
je
a ako od
oduzmemo
dobit ćemo
što je dvostruka vrijednost broja
Jure je sastavio
a Žarko
ormarića.
U prodavaonici namještaja rade i Tadija i Ante. Njih dvojica zajedno su sastavila
stolice. Da je Tadija sastavio
stolica manje, sastavio bi dvostruko više stolica nego Ante.
Koliko je stolica sastavio Tadija, a koliko Ante?
Pomoć:
je broj stolica koje je sastavio Ante, a
broj stolica koje je sastavio Tadija.
učenika 7. razreda krenula su na izlet. Na stajalištu je iz prvog autobusa u drugi prešlo
dječaka. Put su nastavili s jednakim brojem učenika u svakom autobusu.
Koliko je učenika bilo u prvom, a koliko u drugom autobusu na početku putovanja?
Nepoznat je broj učenika u prvom i drugom autobusu na početku putovanja.
Označimo s broj učenika u prvom autobusu, a s broj učenika u drugom autobusu.
Poznato je da je zbroj i jednak a umanjen za jednak je uvećan za što zapisano jednadžbama glasi:
Rješavajući sustav jednom od poznatih metoda (primjerice metodom suprotnih koeficijenata), kao rješenje dobivamo uređeni par .
Rješenje ima smisla, jer i mogu biti brojevi učenika u autobusu (uzmimo u obzir da autobusi mogu biti i na kat). Zbroj i je a ako od oduzmemo dobit ćemo baš kao i da smo broju dodali čime smo provjerili točnost rješenja.
U prvom autobusu bilo je a u drugome učenika.
Podijelite se u parove. Osmislite sami problemske zadatke.
Počnite od dva poznata broja koji će biti rješenje. Kad osmislite rješenja, zamijenite se. Partner neka napiše zadatak za vaše rješenje. Zamislite ukupan broj elemenata koji će se pojavljivati u zadatku (primjerice broj učenika i učenica, količina dviju namirnica...).
Namjestite brojeve koji će pri svakom koraku dati prirodne brojeve kao rezultat.
U slastičarnici je u jednom danu izrađeno čokoladnih pralina. Izrađene su dvije vrste pralina: jedne imaju punjenje s višnjama, a druge s lješnjacima. Drugi dan izrađeno je više pralina s punjenjem od višanja i više pralina s punjenjem od lješnjaka, ukupno pralina. Koliko je pralina s punjenjem od višanja, a koliko s punjenjem od lješnjaka izrađeno prvoga dana?
Nepoznat je broj pralina s punjenjem od višanja i broj pralina s punjenjem od lješnjaka izrađenih prvoga dana.
Označimo s
broj pralina s punjenjem od višanja, a s
broj pralina s punjenjem od lješnjaka.
Poznato je da je zbroj
i
jednak
a suma
uvećanog za
Rješavajući sustav jednom od poznatih metoda (primjerice metodom suprotnih koeficijenata), kao rješenje dobivamo uređeni par .
Rješenje ima smisla, jer je moguće napraviti
pralina s punjenjem od višanja i
pralina s punjenjem od lješnjaka. Zbroj
i
je
Ako
uvećamo za
odnosno
dobit ćemo
Ako
uvećamo za
dobit ćemo
Zbroj
i
je
Prvoga dana izrađeno je
pralina s punjenjem od višanja i
pralina s punjenjem od lješnjaka.
Marta je na ispitu postigla bodova. Ispit se sastojao od zadataka, od kojih se za svaki točan odgovor dobivalo a za svaki netočan odgovor gubilo bodova. Marta je odgovorila na sve zadatke. Koliko je točnih odgovora imala Marta?
Pomoć:
je broj točno riješenih zadataka, a
broj netočno riješenih zadataka.
U jednom je teniskom klubu polaznika i polaznica. Odnos broja polaznika i broja polaznica je Koliko je polaznica u tome klubu?
Pomoć:
je broj polaznika, a
broj polaznica u klubu.
U tvornici parfema u jednom je danu napunjeno muških i ženskih parfema. Drugi dan napunjen je jednak broj ženskih i muških parfema, gdje je manje ženskih i jedna četvrtina više muških parfema nego prvoga dana. Koliko je ženskih, a koliko muških parfema napunjeno prvoga dana?
Nepoznat je broj muških i ženskih parfema napunjenih prvoga dana.
Označimo s
broj ženskih parfema, a s
broj muških parfema.
Poznato je da je zbroj
i
jednak
a
umanjen za
jednak je
Rješavajući sustav jednom od poznatih metoda (primjerice metodom suprotnih koeficijenata), kao rješenje dobivamo uređeni par .
Rješenje ima smisla, jer je moguće napuniti
ženskih i
muških parfema. Zbroj
i
je
Ako
umanjimo za
dobit ćemo
kao i kad
uvećamo za
što je četvrtina od
Prvoga dana napunjeno je
ženskih i
muških parfema.
Turistički brodić plovi rijekom
Kad ide uzvodno, treba mu
sati, a kad ide nizvodno, trebaju mu
sata. Kolika je brzina brodića, a kolika rijeke?
Nepoznata je brzina brodića i brzina rijeke. Označimo s
brzinu brodića, a s
brzinu rijeke.
Razlika brzine brodića i brzine rijeke predstavlja uzvodnu brzinu brodića, a zbroj brzine brodića i brzine rijeke predstavlja nizvodnu brzinu brodića. Brzina je duljina puta (broj kilometara) podijeljena s vremenom (brojem sati).
Vrijedi:
Rješavajući sustav jednom od poznatih metoda (primjerice metodom suprotnih koeficijenata), kao rješenje dobivamo
Brzina brodića je
a brzina rijeke
Vozač cisterne vozi lokalnom cestom brzinom od Ako bi išao cestom na kojoj je dopušteno stigao bi sata ranije na istovar. Koliko je dug vozačev put i koliko mu vremena treba ako ide bržom cestom?
Nepoznato je vrijeme vožnje bržom cestom i duljina puta. Označimo s
vrijeme vožnje, a s
duljinu puta.
Duljina puta je brzina vožnje pomnožena s vremenom provedenim u vožnji. Vrijedi:
Rješavajući sustav jednom od poznatih metoda (primjerice metodom supstitucije), kao rješenje dobivamo
sati,
Vozačev put dug je a ako ide bržom cestom, trebat će mu sati.
Lokalni autobus prema voznom redu ima određeni vremenski razmak od jedne do druge vožnje s istog kolodvora. Ako vozi brzinom od stići će na kolodvor minuta ranije, a ako vozi stići će minuta ranije. Izračunajte duljinu puta tog autobusa i dopušteni vremenski razmak između dviju vožnji.
Nepoznata je duljina puta autobusa i dopušteni vremenski razmak između dviju vožnji. Označimo s
duljinu puta, a s
vremenski razmak.
Duljina puta je umnožak brzine i vremena vožnje. Pri računanju, vrijeme koje je izraženo u minutama treba pretvoriti u sate, gdje je
minuta
sata, a
minuta je
sata.
Vrijedi:
Rješavajući sustav jednom od poznatih metoda (primjerice metodom supstitucije), kao rješenje dobivamo sat,
Duljina puta je a vremenski razmak između dviju vožnji je sat.
Suvremena je nastava teško zamisliva bez tehnologije, pa tako i učenje sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.
Sustave dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice moguće je riješiti uz pomoć suvremenijih kalkulatora, ali i uz pomoć računala. Dovoljno je upisati sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice u OneNote, jer OneNote ponudi rješenje uz popratni postupak. Isto tako, na internetu su dostupni i razni alati za računanje rješenja dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice. Jedan takav alat dostupan je ovdje. Sustave dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice moguće je riješiti i uz pomoć alata dinamičke geometrije, primjerice uz pomoć GeoGebre, gdje se tome problemu može prići i s algebarske, ali i s geometrijske strane.
Sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice moguće je riješiti fotografiranjem sustava dviju linearnih jednadžbi s pomoću alata PhotoMath. Alat prepoznaje sustav dviju linearnih jednadžbi te nudi rješenje, a ako je potrebno - i postupak.
Ipak, nije otkriven ni jedan alat koji će umjesto vas pročitati zadatak, uvidjeti njegov smisao i potom prionuti na rješavanje.
Savjetujemo da pozorno pročitate zadatak, odgonetnete nepoznanice i pronađete njihovu vezu s poznatim elementima. Ispišite sustave linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice, pokušajte ih samostalno riješiti, a potom rješenja provjerite s pomoću sugeriranih alata.
Za kraj ove jedinice pripremili smo vam GeoGebrinu interakciju u kojem trebate riješiti 9 sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice u nestandardnom obliku kako biste otkrili zanimljivu sliku. Klikom na kvadratić pokraj zadatka odabirete zadatak.
Nakon što svedete sustav na standardni oblik, izaberite metodu kojom ćete ga riješiti. Odaberite metodu koja vam se čini pogodnija i brža za rješavanje dobivenog sustava u standardnom obliku.
Rješenja upišite u za to predviđene kvadratiće koji će se pojaviti ispod svakog sustava.
Podijelite se u skupine. Odaberite jedan problemski zadatak i riješite ga na zabavan način. Korake rješavanja snimite alatom WeVideo ili napravite animirani film alatom PowToon ili Animatron.
Situacije u kojima su nam potrebni sustavi dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice susrećemo svaki dan. Možemo ih pronaći u svakom aspektu života.
Potrebno je shvatiti kontekst problema za koji tražimo rješenje, razumjeti koje su vrijednosti nepoznate, a koje poznate i uz pomoć njih napisati sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice. Sustavi dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice rješavaju se metodom supstitucije i metodom suprotnih koeficijenata. Dobro je provjeriti točnost i smislenost rješenja, a potom i napisati odgovor riječima.
Za kraj odigrajte još jednu igru sa sustavom linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice i na taj način ponovite i utvrdite gradivo. Igru počinjete klikom na crveni gumb.