Jožin vrt prikažimo pravokutnikom čije su stranice i
Ograda duljine obuhvatit će stranice i jednu stranicu
Isto tako, Joža je rekao kako mu je jedna stranica (ona na kojoj je ograda, dakle ) za manja od druge (od ):
Stranice Jožina vrta sada se mogu prikazati sustavom dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:
Sustav se može riješiti na oba do sada naučena načina, no budući da je u drugoj jednadžbi već prikazan s pomoću preporučujemo metodu supstitucije. Rješenje je uređeni par Jožin vrt dugačak je metara i širok metara.
Linearna jednadžba s dvije nepoznanice je jednadžba oblika gdje su zadani racionalni brojevi od kojih i nisu oba jednaka S označene su nepoznanice.
Rješenje linearne jednadžbe s dvije nepoznanice je svaki uređeni par takav da uvrštavanjem vrijednosti umjesto varijable i vrijednosti umjesto varijable dobivamo istinitu jednakost.
Označite točan odgovor.
Uređeni par je rješenje linearne jednadžbe
Sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice sastoji se od dvije jednadžbe oblika
gdje su zadani racionalni brojevi, od kojih i odnosno i nisu oba jednaka S označene su nepoznanice.
Rješenje sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice je uređeni par koji je rješenje i jedne i druge jednadžbe.
Označite točan odgovor.
Među ponuđenim uređenim parovima pronađite rješenje sustava linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice
Pomoć:
Pažljivo pročitajte sustav linearnih jednadžbi, riješite ga i označite točno rješenje.
Ako je rješenje sustava linearnih jednadžbi
oblika odredite
Nakon rješavanja sustava linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice, primjećujemo da je rješenje uređeni par
stoga je
Sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice možemo riješiti metodom supstitucije ili metodom suprotnih koeficijenata.
Među zadanim sustavima dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice odredite koje je sustave najjednostavnije riješiti metodom supstitucije, a koje metodom suprotnih koeficijenata.
Dovucite sustav linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice u odgovarajuću grupu.
Pomoć:
Svaka jednadžba može se riješiti objema metodama. Međutim, neke jednadžbe mogu se riješiti jednostavnije i brže, uz manji broj koraka, metodom supstitucije, a neke metodom suprotnih koeficijenata.
Problemski zadaci zadani su rečenicama koje trebamo prevesti u matematičke izraze. Pri prevođenju treba obratiti pozornost na određene riječi, primjerice:
Spojite problem s matematičkim izrazom koji ga označava.
Prvi broj je za tri manji od drugog broja.
|
|
Dvoznamenkasti broj je za četiri puta veći od zbroja svojih znamenki.
|
|
Drugi broj je tri puta veći od prvog broja.
|
|
Zbroj dvokratnika prvog broja i trokratnika drugog broja iznosi 16.
|
|
Četverokratnik prvog broja uvećan za
je pet puta veći od drugog broja.
|
|
Zbroj dvaju brojeva uvećan za
jednak je razlici tih dvaju brojeva umanjenoj
puta.
|
|
Pomoć:
Pažljivo pročitajte zadatak.
Problemski zadaci ne mogu se kvalitetno riješiti prije nego što ste pročitali zadatak s razumijevanjem. Ako je potrebno, pročitajte ga nekoliko puta sve dok ne smjestite zadatak u pravi kontekst.
Kad shvatite o čemu se u zadatku radi, odredite što se u zadatku traži, što je u zadatku nepoznato. Budući da radimo sustave dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice, možemo očekivati da će dvije veličine biti nepoznate.
Uz podatke koji se u zadatku traže, odredite koji su podaci zadani. Oni će nam biti od velike pomoći pri računanju nepoznatih veličina.
Nakon što ste odredili nepoznate veličine, a potom s pomoću poznatih podataka i vezu između nepoznatih veličina, napišite jednadžbe.
Kad su jednadžbe postavljene u sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice, potrebno je riješiti sustav jednom od poznatih metoda.
Nakon što je sustav dviju linearnih jednadžbi riješen, a rješenje zapisano kao uređeni par, potrebno je provjeriti smislenost rješenja sustava u danom kontekstu.
Kako je zadatak postavljen riječima, na kraju treba napisati i odgovor riječima. Ako mislite da treba, još jedanput pročitajte pitanje da biste što bolje formulirali odgovor.
Postupak rješavanja problemskih zadataka pri tome se može svesti na sedam koraka:
Primjer 1.
Zbroj dvaju brojeva je Jedan od njih je za veći od drugog. Koji su to brojevi?
Koraci rješavanja:
Čitanje zadatka
Čitanjem zadatka otkrivamo kako se traže dva broja čiji je zbroj a ako jednog zbrojimo sa dobit ćemo drugi broj.
Određivanje nepoznanica
Označimo s prvi broj koji se traži, a s drugi broj koji se traži.
Određivanje poznatih podataka
Poznato je da zbroj i iznosi a zbroj i iznosi
Pisanje jednadžbi
Rješavanje sustava
Rješenje je uređeni par
Provjera smislenosti rješenja u kontekstu
Zbroj brojeva
i
je
gdje je
za
veći od drugog.
Pisanje odgovora riječima:
To su brojevi i
Neka je prvi broj trokratnik drugog broja, a njihova razlika je Koji su to brojevi?
Odredite koji je korak objašnjen odgovarajućem izrazom.
Povežite parove.
Određivanje poznatih podataka.
|
Razlika prvog i drugog broja je
Prvi broj je trokratnik drugog broja. |
Rješavanje sustava.
|
Nepoznata su dva broja. Označimo veći broj s a manji broj s |
Određivanje nepoznanica.
|
Razlika brojeva
i
je
Broj je trokratnik broja |
Provjera smislenosti rješenja.
|
Rješenje sustava je uređeni par |
Pisanje odgovora riječima.
|
|
Pisanje jednadžbi.
|
To su brojevi i . |
Pomoć:
Pažljivo pročitajte svaki korak i razmislite o njihovu redoslijedu.
Primjer 2.
Koje je brojeve zamislila Ena?
Nepoznata su dva broja. Označimo s veći traženi broj i s manji traženi broj.
Poznato je da je zbroj tih dvaju brojeva a razlika što zapisano jednadžbama glasi:
Rješavajući sustav jednom od poznatih metoda (primjerice metodom suprotnih koeficijenata), kao rješenje dobivamo uređeni par
Zbroj brojeva i je zaista a razlika brojeva i je Rješenje je smisleno i točno.
Traženi brojevi su
i
Zbroj dvaju brojeva je a razlika Koji su to brojevi?
Nepoznata su dva broja.
Označimo s
veći traženi broj i s
manji traženi broj.
Poznato je da je zbroj tih dvaju brojeva a razlika što zapisano jednadžbama glasi:
Rješavajući sustav jednom od poznatih metoda (primjerice metodom suprotnih koeficijenata), kao rješenje dobivamo uređeni par
Zbroj brojeva i je zaista a razlika brojeva i je čime smo provjerili točnost rješenja.
Traženi brojevi su
i
.
Ako zbrojimo trokratnik prvog broja i dvokratnik drugog broja, dobit ćemo broj
Ako od dvokratnika prvog broja oduzmemo trokratnik drugog broja, dobit ćemo broj
Koji su to brojevi?
Pomoć:
Trokratnik broja
i dvokratnik broja
zbrojeni daju
Ako od dvokratnika broja
oduzmemo trokratnik broja
dobit ćemo broj
Primjer 3.
Znamenka desetica dvoznamenkastog broja je za veća od znamenke jedinica. Zbroj zadanog broja i broja nastalog kad znamenke zamijene mjesta je Koji je to broj?
Dvoznamenkasti broj kojem je
znamenka desetica, a
znamenka jedinica, može se zapisati kao
Kad znamenke i zamijene mjesta, dobije se broj
Kad problem prevedemo u matematički izraz, dobijemo sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:
Drugu jednadžbu svedemo na standardni oblik, a potom riješimo sustav metodom supstitucije (s obzirom na to da je u prvoj jednadžbi već izražen s pomoću ).
Dvoznamenkasti broj je za
veći od zbroja svojih znamenaka. Zamijene li znamenke mjesta, novi broj je za
veći od traženog broja. Koji je to broj?
Ako je znamenka desetica traženog broja, a znamenka jedinica traženog broja, tada je traženi broj Kad znamenke i zamijene mjesta, dobije se broj
Prevedemo li problem u matematički izraz, dobijemo sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:
Sustav treba svesti na standardni oblik, a potom ga i riješiti:
Dvoznamenkasti je broj četiri puta veći od zbroja svojih znamenki, a druga znamenka je dvostruko veća od prve znamenke. Koji je to broj?
Pomoć:
Dobiveni sustav ima beskonačno mnogo rješenja, ali zadatak samo 4 točna rješenja jer je riječ o znamenkama dvoznamenkastog broja. To su svi dvoznamenkasti brojevi za koje vrijedi da im je znamenka jedinica dvosruko veća od znamenke desetica.
Postupak:
Primjer 4.
Zbroj dvaju brojeva je Jedan broj je drugog broja. Koji su to brojevi?
Neka je veći traženi broj, a manji traženi broj. Postotak zapišimo u decimalnom obliku:
Zbroj i je a
Kad problem prevedemo u matematički izraz, dobijemo sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:
Sustav je najjednostavnije riješiti metodom supstitucije:
Traženi brojevi su
i
Razlika dvaju brojeva je
Prvi je broj
drugog broja. Koji su to brojevi?
Neka je
veći traženi broj, a
manji traženi broj. Postotak zapišimo u decimalnom obliku:
Razlika i je a .
Prevedemo li problem u matematički izraz, dobijemo sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:
Sustav je najjednostavnije riješiti metodom supstitucije, kao u prethodnom primjeru, gdje se kao rješenja dobiju
i
.
Traženi brojevi su i
Primjer 5.
Omjer dvaju brojeva je Ako se prvi broj umanji dva puta, a potom zbroji s drugim brojem, dobije se broj Koji su to brojevi?
Neka je
prvi traženi broj, a
drugi traženi broj.
Njihov omjer je
Zbroj jedne polovine
i broja
je
Kad se problem prevede u matematički izraz, dobije se sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:
Sustav se rješava jednom od metoda (primjerice metodom supstitucije):
Traženi brojevi su i
Omjer dvaju brojeva je
Ako se oba broja povećaju za
oni će se odnositi kao
Koji su to brojevi?
Neka je prvi traženi broj, a drugi traženi broj.
Njihov omjer je
Omjer
uvećanog za
i
uvećanog za
je
Kad se problem prevede u matematički izraz, dobije se sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:
Sustav je najjednostavnije riješiti metodom supstitucije, kao u prethodnom primjeru, gdje se kao rješenja dobiju
i
Traženi brojevi su i
Primjer 6.
Kolike su duljine stranica pravokutnika kojemu je opseg a razlika duljina stranica
Neka je dulja, a kraća stranica pravokutnika. Prema formuli opsega, zbroj i je Razlika i je
Prevede li se problem u matematički izraz, dobije se sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:
Sustav najprije svedemo na standardni oblik, a potom ga riješimo jednom od poznatih metoda (primjerice metodom suprotnih koeficijenata):
Stranice pravokutnika su duljine i
Razlika duljina stranica i je a opseg pravokutnika s duljinama stranica i je
Anđelina ograđuje cvjetnjak u obliku pravokutnika kojem je jedna stranica tri puta veća od druge. Ogradica cvjetnjaka trebala bi biti duljine Kolika je površina cvjetnjaka?
Neka je dulja, a kraća stranica pravokutnika.
Prema formuli opsega, zbroj i je
Stranica jednaka je trostrukoj vrijednosti stranice
Kad se problem prevede u matematički izraz, dobije se sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:
Sustav riješimo metodom supstitucije:
Stranice pravokutnika su i
Površina pravokutnika, a time i površina cvjetnjaka, je
Primjer 7.
Opseg jednakokračnog trokuta je a krak je za kraći od osnovice. Kolike su duljine stranica tog trokuta?
Neka je duljina osnovice, a duljina kraka jednakokračnog trokuta.
Prema formuli opsega, zbroj i je
Duljina stranice
jednaka je duljini stranice
umanjenoj za
Prevede li se problem u matematički izraz, dobije se sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:
Sustav riješimo metodom supstitucije:
Duljina osnovice jednakokračnog trokuta je a duljine krakova
Ako duljinu osnovice od
zbrojimo s dvostrukom duljinom kraka od
dobijemo opseg
gdje je kraj manji od osnovice za
Rješenje ima smisla.
Opseg jednakokračnog trokuta je Kad bi se duljina osnovice umanjila za trokut bi bio jednakostraničan. Izračunajte duljinu stranica tog trokuta.
Neka je
duljina osnovice, a
duljina kraka jednakokračnog trokuta.
Prema formuli opsega, zbroj i je
Trokut bi bio jednakostraničan kad bi duljina osnovice umanjene za bila jednaka duljini kraka
Prevede li se problem u matematički izraz, dobije se sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:
Sustav riješimo metodom supstitucije.
Duljina osnovice je a duljina kraka
Zbroj dvaju brojeva je Ako prvi broj podijelimo s drugim, dobivamo količnik i ostatak Odredite koji su to brojevi.
Neka je veći traženi broj, a manji traženi broj.
Zbroj i je
Ako podijelimo s dobijemo količnik i ostatak Dakle, broj je za veći od četverostrukog
Kad se problem prevede u matematički izraz, dobije se sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:
Sustav riješimo metodom supstitucije. Rješenje je uređeni par
Zbroj
i
je
a ako
podijelimo s
dobivamo količnik
i ostatak
Rješenje ima smisla.
Traženi brojevi su i .
Razlika dvaju brojeva je
Prvi broj podijeljen s
daje drugi broj i ostatak
Koji su to brojevi?
Neka je veći traženi broj, a manji traženi broj.
Razlika i je
Ako podijelimo s dobijemo i ostatak Dakle, broj je za veći od četverostrukog
Kad se problem prevede u matematički izraz, dobije se sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice:
Sustav riješimo metodom supstitucije.
Traženi brojevi su i
Podijelite se u parove. Zamislite nekoliko zadataka s primjenom sustava linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice i podijelite ih s drugim parovima. Riješite zadatke koje su vam postavili drugi parovi. Nakon što odredite sustave dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice, riješite ih s pomoću alata PhotoMath. Njega možete instalirati na mobitel, uslikati zadatak i dobiti rješenje, a ako je potrebno i korake rješavanja.
Iako je dobro isprobati alate kao što je PhotoMath, savjetujemo da u većini zadataka ipak sami rješavate sustave dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice, a spomenutu aplikaciju aktivirajte eventualno za provjeru rješenja.
Problemski zadaci rješavaju se u nekoliko koraka. Za početak, treba pročitati zadatak s razumijevanjem, ako treba i nekoliko puta, kako biste odredili što se u zadatku traži. Odredite što je u zadatku poznato, kao i vezu poznatih podataka i nepoznatih veličina. Veza se prikazuje linearnim jednadžbama, koje je moguće riješiti jednom od poznatih metoda. Važno je i provjeriti je li rješenje točno i napisati odgovor riječima.
Problemski zadaci pojavljuju se u različitim oblicima. Algebarski zadaci prikazuju vezu između dvaju brojeva, gdje je bitno prevesti zadatak u pravilne matematičke izraze. Pri rješavanju geometrijskih zadataka prisjetite se formula za opseg i površinu te nekih svojstava geometrijskih likova koji su zadani. Za kraj, riješite još jedan geometrijski zadatak iz svakodnevice.
Radnici kopaju bazen. Zadan je opseg bazena i odnos njegovih stranica. Izračunajte točne dimenzije bazena. Rješenja upišite u kvadratiće pokraj nepoznanica.