x
Učitavanje

1.5 Apsolutna vrijednost kompleksnog broja

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Pitagorino stablo

S pojmom fraktala ste se već upoznali (pogledajte drugu jedinicu ovog modula). Primjer fraktala u ravnini je Pitagorino stablo. Ovaj fraktal osmislio je 1942. nizozemski profesor matematike Albert E. Bosman. Možemo ga smjestiti u pravokutnik širine 6 · a i visine 4 · a , gdje je a duljina stranice najvećeg kvadrata u stablu.

Pitagorino stablo konstruiramo tako da najprije nacrtamo kvadrat duljine stranice a . Zatim nad jednom njegovom stranicom konstruiramo jednakokračan pravokutan trokut kojemu je pravi kut nasuprot stranici kvadrata. Nad katetama pravokutnog trokuta nacrtamo dva kvadrata. Te korake ponavljamo. Pokušajte napraviti svoj razredni fraktal - Pitagorino stablo, koristeći se raznim tehnikama (crtež, kolaž, izrezivanje papira).

Ponovimo!

Prisjetimo se:

  1. Dopunite:
    | 3 | = ,
    | - 8 | = ,
    | 0 | = ,
    | - 0.6 | = .
    null
    null
  2. Odredite konjugirano kompleksni broj broja:
    z = 1 - 2 i ,
    z ¯ = ,
    z = - 5 ,
    z ¯ =
    z = - 6 i ,
    z ¯ = .

     

    null
  3. Razlomak 2 + 3 i 3 + 4 i ćemo podijeliti tako da ga proširimo kompleksnim brojem .
    null

Prisjetimo se:

Možemo li potražiti sličnost s apsolutnom vrijednosti kompleksnog broja? Vidjeli smo da je apsolutna vrijednost realnog broja uvijek nenegativan broj. Međutim, kompleksne brojeve ne možemo uspoređivati. Ne postoji, na primjer, kompleksni broj veći ili manji od nule.

Kutak za znatiželjne

Ako se sjetimo pravila jednakosti dvaju kompleksnih brojeva, prema analogiji možemo pokušati usporediti brojeve z 1 = x 1 + y 1 i i z 2 = x 2 + y 1 i tako da posebno promatramo realni, a posebno imaginarni dio. Tada možemo imati slučajeve:

Dakle, moguće je usporediti dijelove kompleksnog broja. Uočite da se među tim slučajevima pojavilo i pravilo jednakosti dvaju kompleksnih brojeva koje smo već definirali (pogledajte prvu jedinicu ovog modula).

Kako usporediti npr. 2 - 3 i i - 2 + 3 i ? Što je s brojem i ? Je li on veći ili manji od nule? Pokušajmo odgovoriti na ta pitanja. Počnimo s brojem i .

Je li i > 0 ili je i < 0 ?

Pomnožite svaku nejednakost brojem i , primijenite pravilo množenja nejednakosti s pozitivnim, odnosno negativnim brojem te svojstvo jedinice i 2 = - 1 .

Ako ste dobro računali, trebali ste u oba slučaja dobiti neistinitu nejednakost - 1 > 0 . Dakle, nema smisla uspoređivati kompleksne brojeve kada ni za imaginarnu jedinicu ne možemo reći je li pozitivna ili negativna.

Zato ćemo apsolutnu vrijednost kompleksnog broja definirati na drugi način.

Apsolutna vrijednost komplesnog broja

Apsolutna vrijednost ili modul kompleksnog broja z = x + y i je realan broj

z = x 2 + y 2 .

Ako realne i imaginarne dijelove kompleksnog broja z označimo: Re z = x i Im z = y , modul (lat. modulus – mjera, mjerilo) kompleksnog broja z možemo zapisati i u obliku

z = Re z 2 + Im z 2 ,

te vrijedi z 0 .

Primjer 1.

Odredi modul kompleksnog broja.

a. z = 2 + 3 i

b. z = - 3 - 4 i

c. z = - 1 + 3 i 2

d. z = - 8  

e. z = 4 i

  1. z = Re z 2 + Im z 2 = 2 2 + 3 3 = 4 + 9 = 13
  2. z = - 3 2 + - 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5
  3. z = - 1 2 2 + 3 2 2 = 1 4 + 3 4 = 1
  4. z = - 8 2 + 0 2 = 64 = 8
  5. z = 0 2 + 4 2 = 16 = 4

Uočimo, ako je realni ili imaginarni dio kompleksnog broja jednak nuli, modul se svodi na računanje apsolutne vrijednosti realnog broja: | z | = | x | , za y = 0 , odnosno | z | = | y | , za x = 0 . Dakle, modul kompleksnog broja predstavlja poopćenje apsolutne vrijednosti realnog broja. Pokušajte sami dokazati čemu je jednak umnožak para konjugirano kompleksnih brojeva tako da postavite zadane izraze na prava mjesta. ​

z · z ¯ =

  • = | z | 2 0
  • = x + y i x - y i =   ​
  • = x 2 - y i 2 =  
  • = x 2 + y 2 =   ​

 

 

Zanimljivost

Povijest uvođenja pojma kompleksnog broja i s njime povezanih pojmova vrlo je zanimljiva. U njoj su sudjelovali neki od najpoznatijih matematičara, primjerice D`Alambert, Cauchy ili Gauss. Ovdje ćemo navesti neke događaje koji su obilježili to matematičko područje, a najveći broj njih dogodio se još u davnom 19. stoljeću.

  • D'Alambert uvodi pojam modula i argumenta kompleksnog broja (1749.), koje u 19. stoljeću preuzimaju Argand i Cauchy.
  • Cauchy je zaslužan što je modul kompleksnog broja ušao u opću uporabu (1821.).
  • Cauchy prvi brojeve x+yi i x - y i naziva konjugiranima.
  • Gauss prvi upotrebljava naziv norma broja x + y i za kvadrat njegova modula, tj. za izraz x 2 + y 2  (1831.).
  • Gauss napušta svoj prijašnji naziv afiktivni brojevi te prvi upotrebljava naziv kompleksni broj (u značenju: broj sastavljen od raznovrsnih jedinica 1  i i ; od lat. complexus – složenost).

Zadatak 1.

Izračunajte i dopunite zadatke.

  1. Za kompleksni broj z = - 4 + 3 i odredite:
    Re z   =   ,
    Im z =   ,
    z ¯ =   ,
    | z | =   i
    | z ¯ | =   .

     

     

  2. Nadalje, za dani kompleksni broj izračunajte:
    z + z ¯ 2 = i z - z ¯ 2 i = .
    I na kraju, z - z ¯ = .

     

     

Kutak za znatiželjne

Nakon što ste uspješno riješili prethodni zadatak, pokušajte odgovoriti na sljedeća pitanja vezana za par konjugirano kompleksnih brojeva, z = x + y i i z - = x - y i :

  1. Čemu su općenito jednaki izraz z + z - 2 i z - z - 2 i ?
  2. Što možete zaključiti za njihove module, z i z ¯ ?
  3. U kojem su odnosu modul kompleksnog broja i apsolutna vrijednost njegova realnog te imaginarnog dijela? Možemo li usporediti te brojeve? Zašto?
  4. Kako s pomoću oznaka za konjugirano kompleksni broj i modul zapisati pravilo dijeljenja dvaju kompleksnih brojeva?

Za z = x + y i vrijedi:

a. z + z - 2 = x + y i + x - y i 2 = x = Re z ;

z - z - 2 i = x + y i - x + y i 2 i = y = Im z

b. moduli su jednaki zbog z = x 2 + y 2 = x 2 + ( - y ) 2 = z ¯

c. modul kompleksnog broja je uvijek veći od svojega realnog, odnosno imaginarnog dijela ili je jednak njemu: z = ( Re z ) 2 + ( Im z ) 2 | Re z | Re z ;

z = ( Re z ) 2 + ( Im z ) 2 | Im z | Im z .

Možemo ih usporediti jer su to realne vrijednosti.

d. z 1 z 2 = x 1 + y 1 i x 2 + y 2 i · x 2 - y 2 i x 2 - y 2 i = z 1 · z 2 ¯ z 2 2 .


Svojstva modula

Za kompleksne brojeve z , z 1 i z 2 vrijedi:

  1. modul umnoška: | z 1 · z 2 | = | z 1 | · | z 2 |
  2. modul potencije: z n = z n
  3. modul kvocijenta: z 1 z 2 = z 1 z 2 , gdje je z 2 0 .

Kutak za znatiželjne

Tvrdnje dokažite uvrštavanjem kompleksnih brojeva z = x + y i , z 1 = x 1 + y 1 i , z 2 = x 2 + y 2 i u izraze.

Kutak za znatiželjne

Dokažite svojstvo modula umnoška bez uporabe zapisa kompleksnog broja.

Za dokaz se koristite već dokazanim svojstvom modula: z 2 = z · z ¯ te svojstvom umnoška konjugirano kompleksnih brojeva koje znate iz prethodne jedinice (vidi četvrtu jedinicu ovog modula) z 1 · z 2 ¯ = z 1 ¯ · z 2 ¯ .

Posložite elemente pravilnim redoslijedom.

  • = z 1 · z 1 ¯ · z 2 · z 2 ¯ =   ​
  • = z 1 2 · z 2 2   ​
  • = ( z 1 · z 2 ) ( z ¯ 1 · z ¯ 2 ) =
  • z 1 · z 2 2 =   
  • = z 1 · z 2 z 1 · z 2 ¯ =   ​

 

 

Korjenovanjem ove tvrdnje dobije se tražena jednakost.

Množenjem kompleksnog broja sa samim sobom n puta iz modula umnoška direktno slijedi jednakost za modul potencije.


Kutak za znatiželjne

Pokušajte sami prema analogiji za modul umnoška dokazati modul kvocijenta.

Modul (kompleksnog broja) ima još neka zanimljiva svojstva:

Nejednakosti: z 1 + z 2 z 1 + z 2 , z 1 + z 2 z 1 - z 2 ćete dokazati u idućoj jedinici, geometrijskom interpretacijom s pomoću paralelograma (dva kompleksna broja, njihov zbroj i ishodište su vrhovi paralelograma).

Ako u te nejednakosti umjesto z 2 uvrstite - z 2 dobijete i preostale dvije nejednakosti trokuta.

Primjer 2.

Izračunajmo sljedeće izraze koristeći se svojstvima modula.

  1. 3 + 2 i i = 3 + 2 i i = 9 + 4 1 = 13   ​
  2. 2. 2 + 3 i 1 - i i 100 = 2 + 3 i · 1 - i · i 100 = 13 · 2 · 1 100 = 26 · 1 = 26  
  3. Odredimo z - ako je z + 3 - i = 0 :

Uvrstimo z = x + y u lijevu stranu jednadžbe:

x + y i + 3 - i = x + 3 + y - 1 i = x + 3 2 + y - 1 2 = 0 .

Kvadriramo: x + 3 2 + y - 1 2 = 0 .

Kvadrat je uvijek nenegativan broj, a zbroj dvaju nenegativnih brojeva jednak je 0 samo ako je svaki od njih jednak 0. Dakle, x + 3 = 0 x = - 3 ; y - 1 = 0 y = 1 . Dobili smo z = - 3 + i , pa je rješenje zadatka z ¯ = - 3 - i . Provjerite točnost dobivenog rješenja uvrštavanjem u početnu jednadžbu.

Uočimo da se u prethodnom primjeru zapravo radi o razlici dvaju jednakih kompleksnih brojeva, - 3 + i - - 3 + i = 0 koji daju nulu. Dakle, u računu smo se mogli koristiti tvrdnjom:

z = 0 z = 0  

i direktno, prema pravilu jednakosti dvaju kompleksnih brojeva, dobiti traženi z . Vrijedi i obrat te tvrdnje:

z = 0 z = 0.

Zadatak 2.

U zadatcima koji slijede odaberite jedan točan odgovor.  

  1. Izračunajte | ( 4 - 3 i ) 2 | .

    null
    null
  2. Odredite a ako je | 2 a - a i | 2 = 45 , a Im ( 2 a - a i ) < 0 .

    null
    null
  3. Izračunajte z 2 z - i · z - , ako je z = i - 1 .

    null
    null
  4. Odredite Im z - z - | z | 2 za z = - 1 + 3 i .

    null
    null
  5. Riješite jednadžbu | z | 2 - 2 i = 2 i · z .

    null
    null

Zanimljivost

Pitagorina trojka je uređena trojka prirodnih brojeva a ,   b ,   c koji zadovoljavaju Pitagorin poučak a 2 + b 2 = c 2 . Jedan primjer Pitagorine trojke je 3, 4, 5 jer vrijedi 3 2 + 4 2 = 5 2 .

Povezani sadržaji

Nije jednostavno pronaći Pitagorine trojke. U tome nam mogu pomoći kompleksni brojevi. Pogledajmo kako.

Neka je z = 3 - 2 i . Kvadrirajmo ga: z 2 = 9 - 12 i - 4 = 5 - 12 i .

Neka je a = Re z 2 = 5 , b = Im z 2 = 12 i c = z 2 = 25 + 144 = 13 . Upravo smo dobili Pitagorinu trojku: 5, 12, 13 .

Provjerite tu tvrdnju računom. Općenito, za kompleksni broj z = x + y i ; x , y N izračunamo modul: z 2 = x 2 - y 2 + 2 x y i .

Nadalje imamo:

a = Re z 2 = x 2 - y 2 , b = Im z 2 = 2 x y

a 2 + b 2 = x 2 - y 2 2 + 2 x y 2 = x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4 = x 2 + y 2 2 = c 2 .

Dakle, Pitagorine trojke dobijemo za svaki x , y N, x≠y iz jednakosti:

a = x 2 - y 2  

b = 2 x y

c = x 2 + y 2 .

Pokušajte pronaći što više Pitagorinih trojki s pomoću kompleksnih brojeva tako da u interakciji mijenjate realni ( x ), odnosno imaginarni ( y ) dio kompleksnog broja.

Uočite što se događa s Pitagorinom trojkom ako realni i/ili imaginarni dio promijeni samo predznak.

Povećaj ili smanji interakciju

Kutak za znatiželjne

Više o Pitagorinim trojkama pročitajte u Hrvatskoj enciklopediji. Potražite još dodatnih sadržaja na mrežnim stranicama.

...i na kraju

Ako uspješno riješite sljedeći postavljeni izazov, čeka vas zanimljivo i nadasve korisno iznenađenje.

Zadatak 3.

Izračunajte:

1. modul kompleksnog broja z = - 1 2 + 3 2 i  

2. modul konjugirano kompleksnog broja broju z = 1 2 - 3 2 i  

3. imaginarni dio kompleksnog broja z = 3 - 2 i 2  

4.   5 i 6 ( 1 - 2 i ) 4 15 i
5.   z + z - 2   , za  z = 2 + i 3  

6.   z - z - 2 i   ,  za   z = - 3 + 2 i
7.   z    , ako je   z 2 + 2 i = 2 z
8.   z , ako je   z - 1 - i = 0 .

Dobivena rješenja potražite na ponuđenim karticama i preselite ih na redni broj zadatka kojem rješenje pripada.

Idemo na sljedeću jedinicu

1.6 Kompleksna ravnina