Matematika 2 - Pojmovnik

Algebarski zapis kompleksnog broja

Zapis kompleksnog broja $z = a + b i$ nazivamo algebarski zapis kompleksnog broja, gdje su $a$ i $b$ realni brojevi, a $i$ imaginarna jedinica.

Apsolutna vrijednost kompleksnog broja

Apsolutna vrijednost ili modul kompleksnog broja $z = x + y i$ je realan broj

$|z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

Imaginarna jedinica

Imaginarna jedinica i ima svojstvo da je $i^{2} = - 1$ .

Imaginarni broj

Imaginarni broj je broj oblika $bi$ , gdje je $b$ realni broj, a $i$ imaginarna jedinica.

Kompleksni broj

Kompleksni broj je broj oblika $a + b i$ , gdje su $a$ i $b$ realni brojevi, a $i$ imaginarna jedinica.

Broj $a$ naziva se realni dio kompleksnog broja, a broj $b$ imaginarni dio kompleksnog broja.

Konjugirano kompleksni broj

Ako je $z = a + b i,$ onda broj $\bar{z} = a - b i$ zovemo konjugirano kompleksnim brojem broja $z$ . Simbol konjugiranja je crta iznad broja koji se konjugira.

Množenje kompleksnih brojeva

Za dva kompleksna broja $z_{1} = x_{1} + y_{1} i$ te $z_{2} = x_{2} + y_{2} i$ vrijedi:

$z_{1} \cdot z_{2} = x_{1} \cdot x_{2} - y_{1} \cdot y_{2} + (x_{1} \cdot y_{2} + x_{2} \cdot y_{1}) i .$

Oduzimanje kompleksnih brojeva

Za dva kompleksna broja $z_{1} = x_{1} + y_{1} i$ te $z_{2} = x_{2} + y_{2} i$ vrijedi: $z_{1} - z_{2} = (x_{1} - x_{2}) + (y_{1} - y_{2}) i$ .

Pridruživanje kompleksnog broja točki u kompleksnoj ravnini

Pridruživanje

$z = x + y i \to (x, y)$

je jednoznačno.

Svakom kompleksnom broju jednoznačno je pridružena točka i svakoj je točki jednoznačno pridružen kompleksni broj.

Svojstva modula

Za kompleksne brojeve $z, z_{1} i z_{2}$ vrijedi:

modul umnoška: $| z_{1} \cdot z_{2} | = | z_{1} | \cdot | z_{2} |$
modul potencije: $|z^{n}| = {|z|}^{n}$
modul kvocijenta: $|\frac{z_{1}}{z_{2}}| = \frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}$ , gdje je $z_{2} \neq 0$ .

Zbrajanje kompleksnih brojeva

Za dva kompleksna broja $z_{1} = x_{1} + y_{1} i$ te $z_{2} = x_{2} + y_{2} i$ vrijedi:

$z_{1} + z_{2} = (x_{1} + x_{2}) + (y_{1} + y_{2}) i .$