x
Učitavanje

1.6 Kompleksna ravnina

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Sir. William Rowan Hamilton
Sir. William Rowan Hamilton

Matematičar Sir William Rowan Hamilton je dobar dio svojeg života posvetio traganju za prikazom trodimenzionalnih rotacija. Odgovor je pronašao u kvaternionima, brojevima oblika:

q = a 0 + a 1 i + a 2 j + a 3 k  

gdje je i 2 = j 2 = k 2 = ijk = - 1 , a brojevi a 0 , a 1 , a 2 , a 3 su iz skupa R .

Ovo je osnovna animacija zmije, stvorena s pomoću računala te s pomoću interpolacije okreta nekoliko određenih točaka. Animacija je primjer primjene kompleksnih brojeva u 3D animaciji na kojoj je godinama radio Sir William Rowan Hamilton.

Ova je jedinica tek početak u shvaćanju ideje kako napraviti takvu animaciju.

Kompleksni broj u kompleksnoj ravnini

Kompleksni broj z zapisujemo u obliku z=x+yi,  gdje je x realni, a y imaginarni dio kompleksnog broja z . Ako realni i imaginarni dio kompleksnog broja zapišemo kao uređeni par, tada kompleksni broj možemo prikazati u koordinatnoj ravnini.

Pridruživanje

z = x + y i x , y  

je jednoznačno.

Svakom kompleksnom broju jednoznačno je pridružena točka i svakoj je točki jednoznačno pridružen kompleksni broj.

Koordinatna ravnina u kojoj prikazujemo kompleksne brojeve naziva se Gaussova ili kompleksna ravnina. U kompleksnoj ravnini os x naziva se realna os, a os y naziva se imaginarna os. Na realnu os smještamo realni dio kompleksnog broja, a na imaginarnu os imaginarni dio kompleksnog broja (kao što je prikazano na slici).

 

Kompleksni brojevi u kompleksnoj ravnini
Kompleksna ravnina

Primjer 1.

Kompleksni brojevi u kompleksnoj ravnini
Kompleksni brojevi u kompleksnoj ravnini

Prikažimo u Gaussovoj ravnini sljedeće kompleksne brojeve.

  1. z 1 = 2 + 7 i
  2. z 2 = - 7 + 3 i
  3. z 3 = - 4 i
  4. z 4 = - 5

Sljedeće kompleksne brojeve pridružite točkama u kompleksnoj ravnini.

MM-M2-01-06-05_zadatak


- 5   ​
 D
2 - 3 i  
 B
- 0.5 - 3 i   ​
 E
2 - 0 i  
 C
- 3 - 2 i  
 A
null
null

Zadatak 1.

U kompleksnoj ravnini, koju ste nacrtali na papiru, prikažite brojeve koji su rješenja zadataka.

  1. z 1 = 1 2 + i - 7 2 + 5 i =  
  2. z 2 = i 55 + 2 =  
  3. z 3 = - 1 - i 2 i 37 =
Kompleksni brojevi u kompleksnoj ravnini
Kompleksni brojevi u kompleksnoj ravnini

Kompleksna ravnina i apsolutna vrijednost kompleksnog broja

Kompleksnom broju z = x + y i prikazanom u Gaussovoj ravnini možemo izračunati udaljenost od ishodišta koristeći se Pitagorinim poučkom. Udaljenost kompleksnog broja od ishodišta dana je formulom

d  ( O , z ) = x 2 + y 2 .

Desna strana formule zapravo je apsolutna vrijednost kompleksnog broja z (vidi jedinicu Apsolutna vrijednost kompleksnog broja).

Apsolutna vrijednost kompleksnog broja z = x + y i jednaka je udaljenosti točke M x , y od ishodišta koordinatnog sustava.

Povećaj ili smanji interakciju

Odgovorite na pitanja.

  1. Što primjećujete? Kako grafički pronaći zbroj dvaju kompleksnih brojeva?
  2. Koja nejednakost vrijedi za zbroj apsolutnih vrijednosti i apsolutnu vrijednost zbroja dvaju kompleksnih brojeva?

Iz prethodnog primjera možemo zaključiti da su dva kompleksna broja i njihov zbroj vrhovi paralelograma čije su stranice z 1 i z 2 , tj. dva kompleksna broja, njihov zbroj i ishodište su vrhovi paralelograma.

Uočimo sada trokut sa stranicama z 1 , z 2 i z 1 + z 2 . Za taj trokut vrijedi nejednakost trokuta (pogledaje Nejednakost trokuta u prvom razredu), pa možemo pisati:

z 1 + z 2 z 1 + z 2 .

Dokazali smo svojstvo apsolutne vrijednosti kompleksnog broja iz prethodne nastavne jedinice.

Primjer 2.

Geometrijsko značenje razlike dva kompleksna broja
Geometrijsko značenje razlike dva kompleksna broja

Na slici je grafički prikaz rezulatata oduzimanja dvaju kompleksnih brojeva z 1 = 2 + 3 i   i z 2 = 5 + i :

z 1 - z 2 = 2 + 3 i - 5 + i = - 3 + 2 i .

Oduzimanje kompleksnih brojeva možemo interpretirati kao zbrajanje sa suprotnim brojem, što je vidljivo na slici.

Primijenite sukladnost trokuta na slici. Uočite dva trokuta: prvi, koji je određen ishodištem i točkama z 1 i z 2 , te drugi, određen ishodištem te točkama - z 2 i z 1 - z 2 .

Udaljenost točka u kompleksnoj ravnini

Možemo zaključiti:

z 1 - z 2 = x 1 - x 2 + y 1 - y 2 i = x 1 - x 2 2 + y 1 - y 2 2

Dobili smo formulu za udaljenost dviju točaka u kompleksnoj ravnini.

z 1 - z 2 je udaljenost točaka z 1 i z 2 u kompleksnoj ravnini.

Primjer 3.

Svojstvo modula kompleksnih brojeva

U prošloj ste jedinici naveli sljedeće svojstvo za modul kompleksnog broja:

z 1 + z 2 z 1 - z 2 .

Dokažimo to svojstvo koristeći se grafičkim prikazom.

Na slici uočimo trokut sa stranicama z 1 , z 2 i z 1 + z 2 .

Znamo da je svaka stranica trokuta veća od razlike duljina preostalih dviju stranica. Zbog toga vrijedi nejednakost z 1 + z 2 z 1 - z 2 .

Pokušajte uočiti i napisati još neke nejednakosti s ove ili s prethodnih ilustracija.

Primjer 4.

Kompleksni brojevi istog modula analaze se na kružnici sa središtem u ishodištu.

U kompleksnoj ravnini prikažimo sljedeće kompleksne brojeve:

z 1 = 3 + 4 i , z 2 = - 3 + 4 i , z 3 = 5 i , z 4 = 5 + 0 i , z 5 = - 3 - 4 i , z 6 = 4 - 3 i , z 7 = - 5 i , z 8 = - 5 + 0 i .

Svi ti brojevi imaju istu apsolutnu vrijednost, a to znači da su jednako udaljeni od ishodišta. Zato se svi brojevi nalaze na kružnici polumjera 5 sa središtem u ishodištu.

Skup kompleksnih brojeva

k = z C : z - z 0 ¯ = r , z 0 C , r > 0  

predstavlja kružnicu u kompleksnoj ravnini polumjera r sa središtem u z 0 .

Gdje se u kompleksnoj ravnini nalaze točke pridružene broju z ako je:

z = 3
z < 3
z > 3
null
null
  1. Kružnica polumjera 5 sa središtem u točki 3 , - 2 .
  2. Kružnica polumjera 4 sa središtem u točki 0 , 2 .
  3. Kružnica polumjera 8 i središtem u - 2 , 7 .
  4. Prazan skup.

Zadatak 2.

Odredite skup točaka u ravnini za koji vrijedi z = z + 2 i .

Pravac y = 2 .


Primjer 5.

Rotacija kompleksnog broja

Kompleksni broj z = 5 + i   pomnožimo brojem i . Nastavimo postupak:

5 + i · i = - 1 + 5 i

- 1 + 5 i · i = - 5 - i

- 5 - i · i = 1 - 5 i

1 - 5 i · i = 5 + i .

Nakon četiriju množenja imaginarnom jedinicom vratili smo se na početnu točku. Prikažimo sada te brojeve u kompleksnoj ravnini.

...i na kraju

Množenjem kompleksnog broja imaginarnom jedinicom rotiramo ga oko ishodišta za 90° u smjeru obrnutom od kazaljke na satu.

Ispitajte rotaciju kompleksnih brojeva za i , 2 i , - 2 i .

Ta rotacija početak je trodimenzionalnih rotacija za koje je zaslužan matematičar Sir William Rowan Hamilton. Ona je i dio animacije s početka naše priče.