x
Učitavanje

2.2 Potencije s cjelobrojnim eksponentom

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

U prethodnoj smo jedinici govorili o potenciji a n s prirodnim eksponentom n . Eksponent označuje koliko se puta baza a pojavljuje kao faktor u umnošku. Potencije se pojavljuju i u mjernim jedinicama. Prisjetimo se mjernih jedinica za duljinu, površinu i obujam. To su metar m , metar kvadratni m 2 i metar kubni m 3 . I u ovim primjerima eksponent označuje koliko se puta osnovna jedinica (metar) javlja u umnošku.​

Na slici je kvadrat i kocka sa stranicom duljine 1 m.

I u nekim drugim mjernim jednicama pojavljuju se potencije. Pogledajte neke od izvedenih mjernih jedinica sustava SI-ja. Primjećujete li u izvedenim jedinicama potencije? Kakvi se eksponenti pojavljuju? Mogu li ti eksponenti označivati koliko se puta baza pojavljuje kao faktor?  

Potencije u izvedenim mjernim jedinicama sustava SI-ja

Izvedena veličina Naziv izvedene jedinice Znak izvedene jedinice Izražena pomoću drugih jedinica
frekvencija herc Hz s - 1
sila njutn N m kg s - 2
tlak, naprezanje paskal Pa N/m 2 = m - 1 kg s - 2
snaga, izračeni tijek vat W J/s
razlika električnih potencijala volt V W/A=m 2 kg s - 3 A - 1  

Potencija s eksponentom 1 i 0

U idućoj interakciji odaberite neku bazu. Promatrajte kako se mijenja eksponent, a kako vrijednost potencije. Nastavite niz.

Odaberite neku drugu bazu. Ponovite postupak. Što možete zaključiti?

Povećaj ili smanji interakciju

Za svaki realni broj a različit od nule je:

a 1 = a i a 0 = 1 .

Zadatak 1.

Izračunajte.

  1. 2 1 + 3.5 0 - 3 2 1 · 2 7 0
  2. 2 3 0 - 1.5 1 · - 2 3 1 + - 0.5 0
  3. 2.7 1 + 1.9 1 · - 4 5 0 + 6.1 1 0
  1. 1.5
  2. 3
  3. 1

Potencija s negativnim eksponentom

U idućoj interakciji odaberite neku bazu. Promatrajte kako se mijenja eksponent, a kako vrijednost potencije. Nastavite niz.

Odaberite neku drugu bazu. Ponovite postupak. Što možete zaključiti?

Povećaj ili smanji interakciju

Primjer 1.

U prethodnoj je aktivnosti baza bila prirodni broj. Provjerimo vrijedi li i za razlomke slična pravilnost.

1 2 3 = 1 8  

1 2 2 = 1 4  

1 2 1 = 1 2  

1 2 0 = 1  

Kako se mijenja eksponent, a kako vrijednost potencije? Nastavite niz.

Pokušajte s nekim drugim razlomkom čiji je brojnik 1 . Zapišite uočenu pravilnost.​

Eksponent se smanjuje za jedan, a vrijednost se potencije povećava dva puta. Niz bismo nastavili s:

1 2 - 1 = 2

1 2 - 2 = 4 = 2 2

1 2 - 3 = 8 = 2 3 ...

Uočavamo da je 1 2 - n = 2 n .

Slično bismo dobili i za neki drugi razlomak, pa možemo reći da je 1 a - n = a n .


Primjer 2.

Ponovimo prethodnu aktivnosti s bazom koja je razlomak s brojnikom različitim od 1 .

2 5 3 = 8 125  

2 5 2 = 4 25  

2 5 1 = 2 5  

2 5 0 = 1   ​ ​

Kako se mijenja eksponent, a kako vrijednost potencije? Nastavite niz.

Pokušajte s nekim drugim razlomkom. Zapišite u bilježnicu uočenu pravilnost.

Eksponent se smanjuje za jedan, a vrijednost se potencije smanjuje 2 5 puta (ili povećava 5 2 puta). Niz bismo nastavili s:

2 5 - 1 = 5 2

2 5 - 2 = 25 4 = 5 2 2

2 5 - 3 = 125 8 = 5 2 3 ...

Uočavamo da je 2 5 - n = 5 2 n .

Slično bismo dobili i za neki drugi razlomak, pa možemo reći da je a b - n = b a n .


Promotrimo pravilnosti koje smo uočili za prirodne brojeve a , b i n .

a - n = 1 a n , 1 a - n = a n , a b - n = b a n .

Zapisali smo tri jednakosti. U kakvu su odnosu baze, a u kakvu eksponenti u svakoj od tih jednakosti?

Što mislite, hoće li te pravilnosti vrijediti i za bazu koja je negativni racionalni broj? A za bazu koja je realni broj? Provjerite na nekom primjeru.

Baze su recipročni brojevi, a eksponenti suprotni.


Za prirodni broj n i realni broj a različit od nule je a - n = 1 a n .

Na slici je ploča na kojoj su zapisane potencija s eksponentom nula i potencija s negativnim eksponentom.

Primijetimo da vrijedi:

a - n = 1 a n = 1 a · 1 a · . . . · 1 a = 1 a · a · . . . · a = 1 a n .

U definiciji smo pravilnost uočenu na skupu racionalnih brojeva proširili i na iracionalne. Tako naprimjer zapisujemo:

π - 3 = 1 π 3 = 1 π 3 .

Primjer 3.

Promotrimo posebno slučaj kad je baza potencije nula. Računamo vrijednost potencija s bazom 0 .

0 4 = 0 · 0 · 0 · 0 = 0

0 3 = 0 · 0 · 0 = 0

0 2 = 0 · 0 = 0

0 1 = 0 = 0 .

Vidimo da se eksponenti smanjuju za jedan, a vrijednost se potencije ne mijenja. Koliko bi moglo biti 0 0 ? Nastavljajući niz mogli bismo zaključiti da je 0 , ali i da je 1 , jer je a 0 = 1 za sve realne brojeve različite od 0 . Zbog toga 0 0 ne definiramo.

Također, 0 - n za prirodni broj n ne definiramo jer bismo morali dijeliti s nula, a s nula ne dijelimo.

Za prirodni broj n je 0 n = 0 , a 0 0 i 0 - n ne definiramo.

Riješite ove zadatke s potencijama.

Zadatak 2.

Odaberite potenciju tako da vrijedi jednakost. U nekim zadatcima postoji više točnih odgovora - u a) zadatku samo jedan točan, a u b) i c) zadatku po dva točna odgovora.

  1. Označite jedan točan odgovor. 4 - 5 =

    null
    null
  2. Označite sve točne odgovore. - 8 - 3 =   ​

    null
    null
  3. Označite sve točne odgovore. 5 3 - 2 =   ​

    null
    null

Zadatak 3.

U ovom je zadatku nepoznata jedna od triju veličina: baza, eksponent ili vrijednost potencije. Izračunajte nepoznatu veličinu pa dobivenu vrijednost upišite na odgovarajuće mjesto.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 4.

Pronađite pločicu na kojoj piše START. Postavite ju kao prvu pločicu. Riješite zadatak na prvoj pločici. Pronađite pločicu na kojoj piše dobiveno rješenje. Postavite ju kao drugu pločicu. Riješite zadatak na drugoj pločici. Nastavite tako sve dok ne dođete do pločice na kojoj piše KRAJ.  

  • 3. kartica
  • 7. kartica
  • 1. kartica
  • 8. kartica
  • 6. kartica
  • 9. kartica
  • 4. kartica
  • 2. kartica
  • 5. kartica
null
null

Zadatak 5.

Riješite zadatke s potencijama i pronađite rješenja u tablici.

Povećaj ili smanji interakciju

Zapis broja s dekadskim i binarnim jedinicama i razlomcima

Povezani sadržaji

Na slici je ekran računala s ispisanim nulama i jedinicama.

Što znate o brojevnim sustavima? Kojim se brojevnim sustavima najčešće koristimo?

Najčešće se koristimo dekadskim i binarnim brojevnim sustavom. U dekadskom brojevnom sustavu brojeve zapisujemo s pomoću potencija broja 10 , a u binarnom s pomoću potencija broja 2 . Binarni je brojevni sustav važan jer se brojevi u računalu pohranjuju i s njima se računa u binarnom brojevnom sustavu.

Primjer 4.

Kako zapisujemo brojeve s pomoću potencija broja 10 ? Pogledajmo na primjeru:

2 453 = 2 000 + 400 + 50 + 3 = 2 · 1 000 + 4 · 100 + 5 · 10 + 3

2 453 = 2 · 10 3 + 4 · 10 2 + 5 · 10 1 + 3 · 10 0

Slično možemo brojeve zapisati u binarnom sustavu s pomoću potencija broja 2 . Znamenke u binarnom sustavu su 0 i 1 .

110 101 2 = 1 · 2 5 + 1 · 2 4 + 0 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 · 2 0 = 53 10

Zadatak 6.

Zapišite, u bilježnicu, s pomoću potencija brojeve: 70 125 10 i 1 001 101 011 2 .

70 125 10 = 7 · 10 4 + 1 · 10 2 + 2 · 10 1 + 5 · 10 0

1 001 101 011 2 = 1 · 2 9 + 1 · 2 6 + 1 · 2 5 + 1 · 2 3 + 1 · 2 1 + 1 · 2 0 = 619 10


Primjer 5.

Možemo li decimalne brojeve zapisati s pomoću potencija? Pogledajmo na primjeru:

2.374 = 2 + 3 10 + 7 100 + 4 1 000 = 2 + 3 · 10 - 1 + 7 · 10 - 2 + 4 · 10 - 3 .

I slično u binarnom sustavu:

11.0111 2 = 1 · 2 1 + 1 · 2 0 + 0 · 2 - 1 + 1 · 2 - 2 + 1 · 2 - 3 + 1 · 2 - 4 = 3 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.4375 10 .

Zadatak 7.

Zapišite, u bilježnicu, s pomoću potencija brojeve: 32.105 10 i 101.1011 2 .

32.105 10 = 3 · 10 1 + 2 · 10 0 + 1 · 10 - 1 + 5 · 10 - 3

101.1011 2 = 1 · 2 2 + 1 · 2 0 + 1 · 2 - 1 + 1 · 2 - 3 + 1 · 2 - 4 = 5.6875 10


Zadatak 8.

Može li računalo pogoditi broj koji ste zamislili? Provjerite u idućoj animaciji. Zamislite prirodni broj manji od 16 . Pronađite zamišljeni broj u tablicama i označite tablice u kojima se nalazi. Kliknite na Provjerite.

Povećaj ili smanji interakciju

Možete li otkriti pravilo po kojem su brojevi raspoređeni u tablice? Povežite pojavljivanje nekoga broja u tablicama s prikazom toga broja u binarnom sustavu. Napravite u bilježnici tablice s pomoću kojih se može pogoditi zamišljeni broj do 1 do 63 .

Kutak za znatiželjne

Promotrite pažljivo ovu animaciju i riješite 9. i 10. zadatak.

Zadatak 9.

Kolike su duljine stranica sive kocke? A crvene? Čemu je jednak obujam sive i crvene kocke? Zapišite u bilježnicu rješenje kao zbroj potencija. Kocke su presložene u kvadar. Što je baza tog kvadra? Zapišite duljinu osnovnog brida kvadra u obliku zbroja. Kolika je površina baze kvadra? Zapišite ju s pomoću zbroja i potenciranja. Kolika je visina kvadra? Izjednačite obujam prije i poslije preslagivanja.

1 3 + 2 3 = 1 + 2 2 · 1 = 1 + 2 2   ​


Zadatak 10.

Zapišite u bilježnicu formulu koju dobivamo s pomoću četiri kocke.

Što bismo dobili s n kocki? Možete li obrazložiti dobivenu formulu? A dokazati?

1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 = 1 + 2 + 3 + 4 2  

1 3 + 2 3 + . . . + n 3 = 1 + 2 + . . . + n 2    ​


Zadatak 11.

Promotrite sljedeću tablicu brojeva.

1 2 3 4 5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
2 4 6 8 10 = 2 1 + 2 + 3 + 4 + 5
3 6 9 12 15 = 3
4 8 12 16 20 =
5 10 15 20 25 =

Na papiru nacrtajte tablicu i zapišite zbroj svih brojeva u svakom retku tablice.

Izračunajte tako zapisane zbrojeve.

1 = 1

2 + 4 + 2 = 8

3 + 6 + 9 + 6 + 3 =

4 + 8 + 12 + 16 + 12 + 8 + 4 =

5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 20 + 15 + 10 + 5 =

Primjećujete li pravilnost? Možete li je dokazati? Gdje se u tablici nalaze brojevi koje smo zbrajali? Što ćemo dobiti ako zbrojimo sve zbrojeve?

Zbroj svih brojeva u tablici po redcima je

1 · 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 2 · 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 3 · 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 · 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 5 · 1 + 2 + 3 + 4 + 5 =

1 + 2 + 3 + 4 + 5 · 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 2

Zbrojevi su:

1 = 1 = 1 3  

2 + 4 + 2 = 8 = 2 3  

3 + 6 + 9 + 6 + 3 = 27 = 3 3  

4 + 8 + 12 + 16 + 12 + 8 + 4 = 64 = 4 3  

5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 20 + 15 + 10 + 5 = 125 = 5 3 .

Ako zbrojimo sve zbrojeve, dobit ćemo zbroj svih brojeva u tablici. Uspoređivanjem dobivamo:

1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + 5 3 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 2 .

Generalizirajmo:

1 3 + 2 3 + . . . + n 3 = 1 + 2 + . . . + n 2 .

Uočite da smo dobili istu formulu kao u prethodnom zadatku.


...i na kraju

Na slici je maslinik.

Pesticidi su toksične tvari koje selektivno suzbijaju nametnike. Upotrebljavamo ih u poljoprivredi. Svaka upotreba pesticida negativno djeluje na ekosustav u kojem se primjenjuje. Jedna je od temeljnih ideja održive poljoprivrede smanjenje upotrebe pesticida. Neki pesticidi, kao naprimjer DDT, zabranjeni su u većini zemalja zbog dokazana štetnog utjecaja na okoliš i ljude. Pesticidi se testiraju kako bi se procijenilo štetno djelovanje. Pritom je važan podatak za koliko će se vremena pesticid razgraditi. Za pojedinu vrstu pesticida određuje se vrijeme poluraspada - vrijeme potrebno da se količina pesticida prepolovi.

IMI je pesticid široka spektra djelovanja i vrlo je djelotvoran za suzbijanje maslinove muhe koja napada nasade maslina. Razgradnja IMI-a proučavana je u laboratorijskim uvjetima. Korištena je doza od 5 mg/kg tla. Nakon 360 dana izmjerena je količina od 0.64 mg/kg tla.

Procijenite vrijeme poluraspada T . Napravite matematički model razgradnje. Nacrtajte na papiru tablicu i popunite je uzimajući početnu količinu od  5 mg/kg tla.

Vrijeme u danima T = 2 T =
3 T =
4 T =
Preostala količina pesticida - formula
Preostala količina pesticida - iznos u mg/kg tla

Koristeći model procijenite preostalu količinu pesticida nakon dvije godine. Koliko je to u odnosu na početnu količinu izraženo u postotcima?

Potražite podatke o vremenu poluraspada DDT-ja. Napravite matematički model razgradnje. Izračunajte postotak preostale količine nakon 10 T . Koliko vremena treba proteći da preostane taj postotak preostale količine?

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Za realni broj a različit od 0 jednakost a 0 = a vrijedi:

Pomoć:

Razmislite o potenciji s bazom ​ 1

null
2

Za realni broj a različit od 0 jednakost a 0 = 1 vrijedi:

null
3

Za realni broj a jednakost a 1 = 0 vrijedi:

Pomoć:

Razmislite o potencijama nule.

null
4

Za realni broj a jednakost a 1 = a vrijedi:

null
5

Za realni broj a različit od 0 jednakost a 0 = 0 vrijedi:

null
6

Za pozitivni realni broj a i prirodni broj n jednakost a - n = - a n vrijedi:

 

null
7

Za realni broj a različit od 0 i prirodni broj n jednakost a - n = a n vrijedi:

Pomoć:

Razmislite o potenciji s bazom 1 .

null
8

Za realni broj a različit od 0 i prirodni broj n jednakost a - n = 1 a n  vrijedi:

null
9
Ako je n = 2 3 - 1 3 2 - 1 + 2 3 - 1 , onda je 2017 n = .
null
10
2.5 3 + - 8 5 - 1 · 5 2 - 2 : 5 - 1 = .
null
11

Povežite potenciju i vrijednost potencije.

- 4 5 - 3  
- 64 125   ​
- 4 5 2   ​
16 25   ​
- 4 5 - 2   ​
- 125 64   ​
  4 5 - 3  
64 125   ​
- 4 5 2  
  - 25 16   ​
4 5 3   ​
25 16   ​
- 4 5 3  
125 64   ​
4 5 - 2   ​
- 16 25   ​

 

null
12

​Neka je b realan broj različit od 0 , a x prirodni broj. Zadane elemente dovucite na odgovarajuće mjesto.

1 - b · - b · . . . · - b x puta .

b x je

b - x je

  - b - x je

- b x je

null
13
Ako je 2 - 1 + 2 - 2 + 2 - 3 + 2 - 4 + 2 - 5 = a b , onda je a = b = .
null
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

2.3 Računanje s potencijama jednakih baza