Matematika 5 - 2.7 Dijeljenje prirodnih brojeva

Na početku...

Nina je za svoj rođendan donijela $72$ kolačića kojima će počastiti cijeli razred i učiteljicu. Ako su u razredu $23$ učenika, koliko će kolačića dobiti svaka osoba?

Rozi makroni po kojima su razbacane maline. — Makroni

Zadatak možemo riješiti tako da prvo podijelimo svakoj osobi po jedan kolač.

Broj učenika u razredu je $23,$ a s učiteljicom ukupan broj osoba je $24 .$

$72 - 24 = 48$

Tada bi nam ostalo još $48$ kolača te bi svakoj osobi mogli podijeliti još jedan kolač.

$48 - 24 = 24$

Nakon što je svaka osoba dobila i drugi kolač, ostalo bi nam još $24$ kolača te svaka osoba može dobiti i treći kolač.

$24 - 24 = 0$

Nakon toga više ne bi ostao ni jedan kolač.

Zadatak možemo riješiti i tako da uzastopno oduzimamo broj $24$ od broja $72$ i promatramo koliko puta to možemo učiniti.

Vidimo da je $72 - 24 - 24 - 24 = 0$ te zaključujemo da je $72 : 24 = 3 .$

Broj koji dijelimo naziva se djeljenik.

Broj s kojim dijelimo naziva se djelitelj.

Rezultat dijeljenja naziva se količnik ili kvocijent.

djeljenik $:$ djelitelj $=$ količnik (kvocijent)

Dijeljenje bez ostatka

Zadatak 1.

Za početak možeš ponoviti tablicu dijeljenja pomoću sljedećeg apleta.

Zadatak 2.

Prisjeti se veze množenja i dijeljenja pomoću sljedećih apleta.

Zadatak 3.

Sjećaš li se kako riješiti sljedeće zadatke?

$572 : 572 =$
.
$83 : 1 =$
.
$2 540 : 10=$
.
$5 000 : 100 =$
.
$8 000 : 2 000 =$
.
$800 : 200 =$
.
$80 : 20 =$
.
$8 : 2 =$
.

null

Podijelimo li neki prirodni broj s brojem $1,$ broj se neće promijeniti.

Podijelimo li neki prirodni broj sa samim sobom, količnik je jednak $1 .$

Pri dijeljenju broja dekadskom jedinicom, ako je moguće, zadatak možemo pojednostavniti kraćenjem istog broja nula na kraju djeljenika i djelitelja.

Primjer 1.

Izračunajmo.

a) $896 : 8$

b) $1 638 : 7$

c) $9 540 : 9$

d) $16 056 : 8$

Govorimo:

$8$ podijeljeno s $8$ je $1$ ; $1$ puta $8$ je $8$ ;

$8$ manje $8$ je nula; dopisujemo $9$ ;

$9$ podijeljeno s $8$ je $1$ ; $1$ puta $8$ je $8$ ;

$9$ manje $8$ je $1$ ; dopisujemo $6$

$16$ podijeljeno s $8$ je $2$ ; $2$ puta $8$ je $16$ ;

$16$ manje $16$ je nula.

$896 : 8 = 112$

b) Govorimo:

$16$ podijeljeno sa $7$ je $2$ ; $2$ puta $7$ je $14$ ;

$16$ manje $14$ je $2$ ; dopisujemo $3$ ;

$23$ podijeljeno sa $7$ je $3$ ; $3$ puta $7$ je $21$ ;

$23$ manje $21$ je $2$ ; dopisujemo $8$ ;

$28$ podijeljeno sa $7$ je $4$ ; $4$ puta $7$ je $28$ ;

$28$ manje $28$ je nula.

$1 638 : 7 = 234$

c) Govorimo:

$9$ podijeljeno s $9$ je $1$ ; $1$ puta $9$ je $9$ ;

$9$ minus $9$ je $0$ ; dopisujemo $5$ ;

$5$ podijeljeno s $9$ je $0$ ; $0$ puta $9$ je $0$ ;

$5$ minus $0$ je $5$ ; dopisujemo $4$ ;

$54$ podijeljeno s $9$ je $6$ ; $6$ puta $9$ je $54$ ;

$54$ minus $54$ je $0$ ; dopisujemo $0$ ;

$0$ podijeljeno s $9$ je $0$ ; $0$ puta $0$ je $0$ ;

$0$ minus $0$ je $0 .$

$9 540 : 9 = 1 060$

d) Govorimo:

$16$ podijeljeno s $8$ je $2$ ; $2$ puta $8$ je $16$ ;

$16$ minus $16$ je $0$ ; dopisujemo $0$ ;

$0$ podijeljeno s $8$ je $0$ ; $0$ puta $8$ je $0$ ;

$0$ minus $0$ je $0$ ; dopisujemo $5$ ;

$5$ podijeljeno s $8$ je $0$ ; $0$ puta $8$ je $0$ ;

$5$ minus $0$ je $5$ ; dopisujemo $6$ ;

$56$ podijeljeno s $8$ je $7$ ; $7$ puta $8$ je $56$ ;

$56$ minus $56$ je $0 .$

$16 056 : 8 = 2 007$

Pisano računanje 16 056 : 8 — 16 056 : 8

Primjer 2.

Izračunaj $3 120 : 12$ koristeći se duljim postupkom.

Govorimo:

$31$ podijeljeno s $12$ je $2$ ; $2$ puta $12$ je $24$ ; $31$ manje $24$ je $7$

dopisujemo $2$ ; $72$ podijeljeno s $12$ je $6$ ; $6$ puta $12$ je $72$ ; $72$ manje $72$ je $0$

dopisujemo $0$ ; $0$ podijeljeno s $12$ je $0$ ; $0$ puta $12$ je $0$ ; $0$ manje $0$ je $0$

$3 120 : 12 = 260$

Primjer 3.

Izračunajmo $5 778 : 54$ koristeći se kraćim postupkom.

Pisano računanje 5 778 : 54 — 5 778 : 54

Govorimo:

$57$ podijeljeno s $54$ je $1$ ; $1$ puta $54$ je $54$ i do $57$ je $3$ ;

dopisujemo $7$ ; $37$ podijeljeno s $54$ je $0$ ; $0$ puta $54$ je $0$ i do $37$ je $37$ ;

dopisujemo $8$ ; $378$ podijeljeno s $54$ je $7$ ; $7$ puta $54$ je $378$ i do $378$ je $0$ .

$5 778 : 54 = 107$

Primjer 4.

Izračunajmo: $2 438 : 106$

Zadatak 4.

Poredaj po veličini počevši od najmanjeg količnika.

$1 904 : 34$
$2 044 : 28$
$2 232 : 36$

null

Postupak:

$1 904 : 34 = 56$

$2 232 : 36 = 62$

$2 044 : 28 = 73$

Dijeljenje broja 0 i dijeljenje s nulom

Izračunajmo.

a) $0 : 26$

b) $5 : 0$

a) $0 : 26 = 0$ jer je $0 \cdot 26 = 0$

b) $5 : 0$ nema rješenja jer ne postoji broj kojim možemo pomnožiti broj $0$ kako bismo dobili $5.$

Npr.

Ako napišemo $5 : 0 = 0,$ tada bi moralo vrijediti da je $0 \cdot 0 = 5,$ a to nije točno.

Ako napišemo $5 : 0 = 5,$ tada bi moralo vrijediti da je $5 \cdot 0 = 5,$ a to nije točno.

Ako napišemo $5 : 0 = 1,$ tada bi moralo vrijediti da je $1 \cdot 0 = 5,$ a to nije točno.

Isti problem bi nam se javio za bilo koji količnik. Stoga kažemo da je dijeljenje s nulom neodređeno.

Zapamti! S nulom se ne dijeli!

Kolekcija zadataka #1

Izračunaj.

$879 : 879$	nema rješenja
$15 : 0$	$0$
$0 : 1 045$	$879$
$879 : 1$	$1$

null

Postupak:

Prisjeti se.

Podijelimo li neki prirodni broj brojem $1,$ broj se neće promijeniti.

Podijelimo li neki prirodni broj sa samim sobom, količnik je jednak $1 .$

Izračunaj.

$10^{2} : 5^{2} =$
$8^{2} : 2^{2} =$
$9^{2} : 3^{2} =$
$7^{2} : 1^{2} =$

null

Označi zadatke čije je rješenje $2 .$

24 : (6 : 2) =

(24 : 6) : 2 =

24 : 6 : 2 =

null

Primijeti. Dijeljenje nije asocijativno. Dijelimo redom slijeva nadesno.

Dijeljenje s ostatkom

Primjer 5.

Matilda priprema poklon-pakete s vrećicama lavande. U svaki poklon-paket stavlja po $3$ vrećice lavande. Do sada je napunila $128$ vrećica lavande. Koliko najviše poklon-paketa može složiti od napunjenih vrećica lavande? Koliko će vrećica lavande ostati nezapakirano u poklon-pakete?

$128 : 3 = 42$

$08$

$2$

Matilda može složiti $42$ poklon-paketa. Dvije vrećice lavande ostat će nespakirane u pakete.

U prethodnom primjeru dobili smo ostatak, tj. dvije vrećice lavande ostale su nezapakirane. Takvo dijeljenje u kojem se pojavljuje ostatak naziva se dijeljenje s ostatkom. Broj $2$ iz prethodnog primjera ostatak je pri dijeljenju, a broj $42$ nepotpuni je količnik.

Provjerimo rezultat.

$42 \cdot 3 + 2 = 128$

Kolekcija zadataka #2

Dopuni provjere.

$3 620 : 54 = 67$
$2$
jer je $67 \cdot 54 +$

$= 3 620$

null

null
$4 741 : 46 = 103$
$3$
jer je $103 \cdot$

$+$

$= 4 741$

null

null

Poveži zadatak i njegovo rješenje.

$977 : 36 =$	$27$ i ostatak $3$
$941 : 36 =$	$28$ i ostatak $2$
$982 : 35 =$	$26$ i ostatak $5$
$921 : 34 =$	$27$ i ostatak $5$

null

Zadatak 5.

Dijeljenje možeš dodatno uvježbati pomoću sljedećeg apleta.

Primjena dijeljenja

Primjer 6.

Hrvoje je kupio perilicu rublja u iznosu od $3 120 kn$ na $12$ rata bez kamata. Koliko će iznositi mjesečna rata otplate?

Iznos mjesečne rate iznosit će $260 kn .$

Pisano računanje rate kredita. — Rata kredita

Zadatak 6.

Četiri prijatelja pizzu i sokove platila su $288 kn .$ Račun su podijelila na jednake dijelove. Koliko je platio svaki prijatelj?

$288 : 4 = 72$

$08$

$0$

Svaki prijatelj platio je $72$ kn.

Zadatak 7.

Pakiranje baterija sadrži $8$ baterija. Učiteljica treba zamijeniti $116$ baterija u kalkulatorima. Koliko najmanje pakiranja baterija treba kupiti?

$116 : 8 = 14$

$36$

$4$

Učiteljica treba kupiti najmanje $15$ pakiranja baterija. Četrnaest pakiranja joj ne bi bilo dovoljno jer je $14 \cdot 8 = 112,$ a $112 < 114 .$

Kolekcija zadataka #3

Prikazana je temperatura zraka izmjerena u podne u nekom gradu tijekom jednog tjedna u rujnu, izražena u

° C .

Ponedjeljak	Utorak	Srijeda	Četvrtak	Petak	Subota	Nedjelja
$21$	$19$	$22$	$18$	$18$	$19$	$23$

Prosječnu temperaturu možeš izračunati tako da zbrojiš sve podatke i podijeliš ih s brojem podataka.
Prosječna temperatura iznosila je

° C .

null

Na školski izlet ide ukupno $179$ učenika i učitelja u pratnji. Ako u autobus stane $58$ putnika, koliko takvih autobusa treba rezervirati?

2

3

4

5

null

Postupak:

179 : 58 = 3

5

Potrebno je rezervitati

4

autobusa jer

3

nisu dovoljna. Naime,

3 \cdot 58 = 174,

174 < 179 .

U velikoprodaji sok od naranče može se nabaviti u pakiranjima od $24$ boce. Voditelj restorana procjenjuje da će mu za potrebe sljedećeg mjeseca trebati $467$ boca.

Voditelj restorana treba naručiti najmanje

pakiranja.

null

Na putu kući Šimuna je nazvao otac i rekao mu da kupi što više pakiranja maslaca koji je trenutačno na sniženju. Šimun kod sebe ima $130 kn .$ Procijeni koliko će pakiranja maslaca moći kupiti ako je cijena jednog maslaca $18 kn .$

Šimun može kupiti približno

pakiranja

maslaca.

null

Postupak:

Broj $18$ možemo zaokružiti na $20 .$ Tada imamo $130 : 20$ što je približno $6$ s ostatkom $10 .$ Stoga je procjena od $6$ ili $7$ paketa valjana procjena.

Leona je u prodavaonici vidjela ručnike kakve želi za svoju kupaonicu. Cijena jednog ručnika je $95 kn .$ Leona na ručnike želi potrošiti najviše $450 kn .$

Leona može kupiti najviše

ručnika.

Postupak:

Broj $95$ možemo zaokružiti na $100 .$ Tada imamo $450 : 100$ što je približno $4$ s ostatkom $50 .$

Na početku...

Dijeljenje bez ostatka

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Primjer 1.

Primjer 2.

Primjer 3.

Primjer 4.

Zadatak 4.

Dijeljenje broja 0 i dijeljenje s nulom

Kolekcija zadataka #1

Dijeljenje s ostatkom

Primjer 5.

Kolekcija zadataka #2

Zadatak 5.

Primjena dijeljenja

Primjer 6.

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Kolekcija zadataka #3

...i na kraju