Matematika 5 - 2.1 Prirodni brojevi

Na početku...

Koliko je bojica u posudici za pribor?

U čaši se nalaze nekoliko desetaka bojica, crni kalkulator, žuta kemijska olovka, plava kemijska olovka i ljubičasta kemijska olovka, i rozi blok papir. — Bojice

U posudici za pribor je $20$ bojica.

Prethodni zadatak riješili smo brojenjem. Brojeve kojima brojimo nazivamo prirodnim brojevima, a skup takvih brojeva nazivamo skupom prirodnih brojeva.

Zadatak 1.

Poveži odgovarajuće parove.

Ožujak ima	$31$ dan.
Tjedan ima	$60$ sekundi.
Dan ima	$7$ dana.
Godina ima	$12$ mjeseci.
Minuta ima	$24$ sata.

null

Zadatak povezivanja riješili smo koristeći se općepoznatim činjenicama vezanim uz brojeve. Ljudima su brojevi s vremenom postali izuzetno važni te danas jednostavno ne možemo ni zamisliti svijet bez brojeva.

A kako je sve počelo?

Vjeruje se da su se brojevi počeli koristiti iz potrebe i za opisivanje svijeta oko sebe.

Jedan od prvih dokaza brojenja i upotrebe brojeva je Ishango kost stara oko 20 000 godina. Kost je pronađena 1950. godine u tada belgijskoj koloniji Kongu. Duga je oko $10 cm$ i u nju su urezane brojne crtice. Danas je izložena u Muzeju znanosti u Bruxellesu u Belgiji.

Zanimljivost

Narod Piraha u prašumi Amazone nema riječi za brojeve veće od dva te se koristi izrazima poput nešto ili nekoliko.

Skup prirodnih brojeva

Zanimljivost

Oznaka $N$ skupa prirodnih brojeva dolazi od prvog slova latinske riječi naturalis što znači prirodan.

Prirodni brojevi

Skup prirodnih brojeva označavamo slovom $N,$ a njegove elemente nazivamo prirodni brojevi.

$N = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.. .\}$

Brojeve s obzirom na broj znamenaka dijelimo na jednoznamenkaste, dvoznamenkaste, troznamenkaste, četveroznamenkaste, peteroznamenkaste itd.

Zadatak 2.

Razvrstaj zadane brojeve prema broju znamenaka.

6 104

4

6

107

763

1 007

4 567

555

7

71

920

34

56

1

Jednoznamenkasti brojevi

Dvoznamenkasti brojevi

Troznamenkasti brojevi

Četveroznamenkasti brojevi

null

Parni brojevi djeljivi su s brojem $2,$ tj. pri dijeljenju s brojem $2$ nemaju ostatka. Parni brojevi završavaju znamenkama $0,$ $2,$ $4,$ $6$ ili $8 .$

Neparni brojevi pri dijeljenju s brojem $2$ imaju ostatak. Neparni brojevi završavaju znamenkama $1,$ $3,$ $5,$ $7$ ili $9 .$

Zadatak 3.

Razvrstaj brojeve na parne i neparne.

3

229

11

6 790

2

23 667

556

368

74

Parni brojevi

Neparni brojevi

null

Skup prirodnih brojeva ima beskonačno mnogo elemenata. Najmanji element skupa prirodnih brojeva je broj $1,$ a najveći ne postoji.

U skupu prirodnih brojeva svaki broj ima svog neposrednog sljedbenika. U skupu prirodnih brojeva svaki broj, osim broja $1,$ ima svog neposrednog prethodnika.

Prisjeti se, neposredni prethodnik je broj koji je za jedan manji od zadanog broja, a neposredni sljedbenik je broj koji je za jedan veći od zadanog broja.

Kolekcija zadataka #1

Označi istinite tvrdnje.

Najmanji član skupa prirodnih brojeva je

0 .

Najmanji član skupa prirodnih brojeva je broj

1 .

Svaki element skupa prirodnih brojeva ima svog neposrednog prethodnika.

Broj

1

nema svog prethodnika u skupu prirodnih brojeva.

Skup prirodnih brojeva je skup s beskonačno mnogo članova.

Najveći prirodni broj ne postoji.

U skupu prirodnih brojeva svaki broj ima svog neposrednog sljedbenika.

Odaberi oznaku koja tvrdnju čini istinitom.

$10$

N

$0$

N

$7$

N

null

Upiši brojku. (Uputa: Brojke upiši bez razmaka.)

Neposredni prethodnik broja $784$ je broj
,
a neposredni sljedbenik je broj
.

null

null
Upiši brojku.

Neposredni prethodnik broja $1 000$ je broj
,
a neposredni sljedbenik je broj
.

null

null

Skup prirodnih brojeva s nulom

Dodamo li skupu prirodnih brojeva broj $0,$ dobivamo skup čiji su članovi $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4 ...$ Taj skup brojeva nazivamo skupom prirodnih brojeva s nulom.

$N_{0} = \{0, 1, 2, 3, 4 . . .\} .$

Vennovim dijagramom prikazan je skup N kao podskup skupa N0. — Vennov dijagram N i N0

Kolekcija zadataka #2

Koji je najmanji član skupa

N_{0} ?

null

Je li $N \subseteq N_{0} ?$

null

Zapisivanje brojeva

Brojeve zapisujemo brojkama. Znakove $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8$ i $9$ nazivamo znamenkama dekadskog (desetinskog) brojevnog sustava. Njima zapisujemo sve brojke.

Brojeve $10,$ $100,$ $1 000,$ $10 000 ...$ nazivamo dekadskim jedinicama, a naš brojevni sustav nazivamo dekadskim brojevnim sustavom.

Zanimljivost

Brojke kojima danas zapisujemo brojeve nazivaju se arapske brojke jer ih Europljani preuzeli od Arapa u srednjem vijeku.

Arapi su ove brojke preuzeli iz indijskog Brahmi sustava.

Zadatak 4.

Riješi sljedeća dva zadatka spajanja te razmisli što je različito u ovim načinima zapisivanja brojeva.

Poveži odgovarajuće brojke.

VII.	$7$
IX.	$9$
III.	$12$
XII.	$3$

null

Poveži odgovarajuću brojku i brojevnu riječ.

$52$	trideset i sedam
$37$	dvadeset i pet
$703$	pedeset i dva
$25$	sedamsto tri

null

Pri zapisivanju rimskih brojki značenje pojedine rimske znamenke nije ovisilo o tome gdje se ona nalazi dok je kod arapskih brojki vrijednost znamenke ovisila o mjestu na kojem se nalazi.

Mjesne vrijednosti

U dekadskom brojevnom sustavu svaka znamenka ima svoju mjesnu vrijednost odnosno poziciju. Takav sustav zovemo pozicijskim sustavom.

DEKADSKA MJESTA
MJESNE VRIJEDNOSTI BROJA	ST $100 000$ $10$ $\cdot$ $10$ $\cdot$ $10$ $\cdot$ $10$ $\cdot$ $10$	DT $10 000$ $10$ $\cdot$ $10$ $\cdot$ $10$ $\cdot$ $10$	T $1 000$ $10$ $\cdot$ $10$ $\cdot$ $10$	S $100$ $10$ $\cdot$ $10$	D $10$ $10$	J $1$
MJESNE VRIJEDNOSTI BROJA	Stotisućice	Desettisućice	Tisućice	Stotice	Desetice	Jedinice
BROJ	1	2	3	4	5	6

Ako pogledamo zapis nekog prirodnog broja, možemo primijetiti da ga možemo napisati kao zbroj umnožaka znamenaka i brojeva $1,$ $10,$ $100,$ $1 000,$ $10 000$ itd.

Primjerice, broj $2 345$ možemo napisati kao

$2 345 = 2 \cdot 1 000 + 3 \cdot 100 + 4 \cdot 10 + 5 \cdot 1$

tj.

$2 345 = 2 \cdot 1 000 + 3 \cdot 100 + 4 \cdot 10 + 5.$

Možemo reći da najdesniju znamenku u zapisu množimo s brojem $1 .$ Ostale znamenke kod višeznamenkastih brojeva množimo tako da idemo redom dalje s zdesna na lijevo i množimo brojevima $10,$ $100,$ $1 000,$ $10 000$ itd. Kažemo da je najdesnija znamenka znamenka jedinica, zatim lijevo od nje slijedi znamenka desetica, zatim stotica, zatim tisućica itd.

Dekadske jedinice ( $1,$ $10,$ $100,$ $1 000,$ $10 000$ itd.) kraće zapisujemo

$\begin{array}{l} 1 = 10^{0} \\ 10 = 10^{1} \\ 100 = 10^{2} \\ 1 000 = 10^{3} \\ 10 000 = 10^{4} \\ 100 000 = 10^{5} \end{array}$

itd.

Koristeći se kraćim zapisom dekadskih jedinica, broj $2 345$ možemo zapisati

$2 345 = 2 \cdot 10^{3} + 3 \cdot 10^{2} + 4 \cdot 10^{1} + 5 \cdot 10^{0} .$

Broj $2 345$ čitamo dvije tisuće tristo četrdeset (i) pet.

Primjer 1.

Napišimo u obliku prirodnog broja sljedeće brojeve.

$7 \cdot 1 000 + 4 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 1$

$9 \cdot 10^{5} + 3 \cdot 10^{4} + 6 \cdot 10^{3} + 5 \cdot 10^{2}$

$7 423$
$936 500$

Kolekcija zadataka #3

Poveži odgovarajuće zapise.

$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$	$10^{3}$
$1$	$10^{5}$
$10 \cdot 10 \cdot 10$	$10^{1}$
$10 \cdot 10$	$10^{2}$
$10$	$10^{0}$

null

Zapiši u obliku prirodnog broja. (Uputa: Brojke upiši bez razmaka.)

$4 \cdot 10^{4} + 3 \cdot 10^{3} + 2 \cdot 10^{1} + 5 \cdot 10^{0} =$
.
$5 \cdot 10^{4} + 6 \cdot 10^{3} + 7 \cdot 10^{2} + 1 \cdot 10^{0} =$
.
$9 \cdot 10^{3} + 5 \cdot 10^{2} + 8 \cdot 10^{1} + 7 \cdot 10^{0} =$
.
$4 \cdot 10^{5} + 7 \cdot 10^{3} + 5 \cdot 10^{2} =$
.

null

Čitanje brojeva

$1$	jedan	$10^{0}$
$10$	deset	$10^{1}$
$100$	sto	$10^{2}$
$1 000$	tisuću	$10^{3}$
$10 000$	deset tisuća	$10^{4}$
$100 000$	sto tisuća	$10^{5}$
$1 000 000$	milijun	$10^{6}$
$10 000 000$	deset milijuna	$10^{7}$
$100 000 000$	sto milijuna	$10^{8}$
$1 000 000 000$	milijarda	$10^{9}$
$1 000 000 000 000$	bilijun	$10^{12}$
$1 000 000 000 000 000$	bilijarda	$10^{15}$

Zanimljivost

Više o čitanju velikih brojeva možete pronaći na mrežnim stranicama Hrvatske enciklopedije.

Kolekcija zadataka #4

Napiši brojkom. (Uputa: Brojke upiši bez razmaka.)

pedeset dvije tisuće tristo četrdeset i pet
.
sto tisuća šesto sedamnaest
.
tri milijuna osamsto trideset tisuća sedamsto četiri
.
dvadeset četiri milijarde sedam milijuna devetsto trideset pet tisuća tri

null

Poveži brojku i brojevnu riječ.

sedamsto trideset dvije tisuće dvadeset osam	$732 028$
pet milijuna tristo trideset osam tisuća dvjesto devet	$703 504$
osamdeset jedan milijun tristo pedeset tisuća sedamsto šezdeset dva	$5 338 209$
sedamsto tri tisuće petsto četiri	$5 756 102 029$
pet milijardi sedamsto pedeset šest milijuna sto dvije tisuće dvadeset devet	$81 350 762$

null

Zanimljivost

Gugol (engl. googol) je naziv za broj koji u svome dekadskom zapisu ima znamenku

$1$ koju slijedi sto nula, tj. broj $10^{100} .$

Ime mu je dao devetogodišnji dječak Milton Sirotta, nećak matematičara Edwarda Kasnera. Gugolpleks (engl. googolplex) je broj $10^{g o o g o l} .$

Poznata tražilica Google dobila je svoje ime po netočno napisanom nazivu ovoga broja. Njezini su osnivači, Larry Page i Sergey Brin, 1997. godine birali naziv svoje tvrtke. U pretraživač slobodnih domena zabunom su upisali google umjesto googol. Domena je bila slobodna, a naziv im se svidio te su je odabrali za svoju tražilicu. Sjedište kompanije koje se nalazi u Kalifoniji nazvano je Googleplex.

Zaokruživanje prirodnih brojeva

Za potrebe praktičnog računanja ili za provjeru smislenosti rješenja nije uvijek potrebno precizno računanje. Dobivene vrijednosti tada zaokružujemo do najbliže desetice, stotice, tisućice itd. Pri tome se pridržavamo jednostavnih pravila.

Ako je znamenka koju ''zanemarujemo'' manja od $5,$ početni dio broja ne mijenjamo, a preostale znamenke koje slijede pretvaramo u nule.

Ako je znamenka koju ''zanemarujemo'' veća ili jednaka $5,$ znamenku koja joj prethodi povećavamo za $1,$ a preostale znamenke koje slijede pretvaramo u nule.

Primjer 2.

Broj $19 862$ zaokružimo na:

a) najbližu deseticu

b) najbližu stoticu

c) najbližu tisućicu

d) najbližu desettisućicu.

a) Znamenka jedinica zadanog broja je $2,$ dakle početni dio broja ne mijenjamo, a preostale znamenke koje slijede pretvaramo u nule te možemo napisati $19 862 \approx 19 860$ te čitamo $19 862$ približno je $19 860 .$

b) $19 862 \approx 19 900$

c) $19 862 \approx 20 000$

d) $19 862 \approx 20 000$

Znak $\approx$ čitamo približno.

Zadatak 5.

Marko je pisano zbrojio brojeve $1 358$ i $235$ i dobio $3 708 .$ Andrea je odmah rekla da je pogriješio pri računu jer je trebao dobiti oko $1 600 .$ Što misliš kako je Andrea došla do te procjene? Objasni svoj odgovor.

Andrea je brojeve zaokružila na najbližu stoticu te je dobila redom $1 400$ i $200 .$

Zaokružene brojeve je zbrojila i dobila $1 600 .$ Rješenje Markovog zadatka trebalo je biti oko $1 600$ stoga je odmah znala da je Marko pogriješio pri računu.

Kolekcija zadataka #5

Razvrstaj prema najbližoj desetici na koju su zaokruženi zadani brojevi.

51

81

58

55

52

75

61

79

77

72

63

67

54

71

57

47

65

49

$50$

$60$

$70$

$80$

null

Razvrstaj prema najbližoj stotici na koju su zaokruženi zadani brojevi.

756

699

734

719

726

801

770

788

749

$700$

$800$

null

Zaokruži zadane podatke na najbližu stoticu. (Brojke upiši bez razmaka.)

Koji bi od tih brojeva bilo jednostavnije zapamtiti, početni ili zaokruženi broj?

Zračna udaljenost od Zagreba do Kopenhagena iznosi

1 122 km .

1 122 km \approx

km .

Cestovna udaljenost tih dvaju gradova iznosi

1 497 km .

1 497 km \approx

km .

null

Zadatak 6.

U Večeri matematike 2016. sudjelovalo je ukupno $95 954$ sudionika. U novinama je zabilježeno da je broj sudionika iznosio $100 000 .$ Kako su novine došle do te procjene? Što misliš, zašto je napisano $100 000,$ a ne $95 954 ?$

Novine su broj sudionika zaokružile na najbližu desettisućicu. Čitateljima je jednostavnije upamtiti broj $100 000$ nego broj $95 954 .$

Zadatak 7.

U Večeri matematike 2018. godine sudjelovalo je $105 160$ osoba. Odluči na koju bi mjesnu vrijednost bilo smisleno zaokružiti broj sudionika ako pišeš novinski članak? Objasni svoj odgovor.

Broj sudionika najsmislenije bi bilo zaokružiti na najbližu tisućicu. Broj koji se dobije nije značajno različit od stvarnog broja, a jednostavnije je upamtiti podatak.

Zadatak 8.

Pomogni kornjači doći do salate i pri tome dodatno uvježbaj zaokruživanje prirodnog broja na najbližu deseticu i/ili najbližu stoticu.

Povećaj interaktivni prikaz

Na početku...

Zadatak 1.

Zanimljivost

Skup prirodnih brojeva

Zanimljivost

Prirodni brojevi

Zadatak 2.

Jednoznamenkasti brojevi

Dvoznamenkasti brojevi

Troznamenkasti brojevi

Četveroznamenkasti brojevi

Zadatak 3.

Parni brojevi

Neparni brojevi

Kolekcija zadataka #1

Skup prirodnih brojeva s nulom

Kolekcija zadataka #2

Zapisivanje brojeva

Zanimljivost

Zadatak 4.

Mjesne vrijednosti

Primjer 1.

Kolekcija zadataka #3

Čitanje brojeva

Zanimljivost

Kolekcija zadataka #4

Zanimljivost

Zaokruživanje prirodnih brojeva

Primjer 2.

Zadatak 5.

Kolekcija zadataka #5

50

60

70

80

700

800

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Zadatak 8.

...i na kraju

$50$

$60$

$70$

$80$

$700$

$800$