Matematika 2 - Pojmovnik

Bikvadratna jednadžba

Jednadžba oblika $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ naziva se bikvadratna jednadžba.

Članovi kvadratne jednadžbe

Kvadratna jednadžba sadrži kvadratni član, linearni član i slobodni član.

Diskriminanta

Diskriminanta kvadratne jednadžbe $a x^{2} + b x + c = 0, a \neq 0$ je broj

${D=b}^{2} - 4 ac$ .

Faktorizacija kvadratnog trinoma

Svaki kvadratni trinom može se zapisati u obliku

$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ ,

gdje su $x_{1}$ i $x_{2}$ rješenja pripadajuće kvadratne jednadžbe $a x^{2} + b x + c = 0.$

Formula za rješenja kvadratne jednadžbe

Kvadratna jednadžba oblika $a x^{2} + b x + c = 0$ , gdje su $a, b, c \in R, a \neq 0,$ ima rješenja

$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

Koeficijenti kvadratne jednadžbe

U kvadratnoj jednadžbi $a x^{2} + b x + c = 0$ brojeve $a, b$ i $c$ zovemo:

KVADRATNI ILI VODEĆI KOEFICIJENT $a$ ,
LINEARNI KOEFICIJENT $b$ ,
SLOBODNI KOEFICIJENT $c$ .

Kvadratna jednadžba

Svaka jednadžba oblika $a x^{2} + b x + c = 0,$ gdje su $a$ , $b$ , $c$ realni brojevi i gdje je $a \neq 0$ , zove se kvadratna jednadžba.

Uvjet $a \neq 0$ osigurava da jednadžba sadrži $x^{2}$ .

Za $a = 0$ jednadžba prelazi u linearnu jednadžbu.

Kvadratna jednadžba bez linearnog člana

Ako je linearni koeficijent u kvadratnoj jednadžbi jednak nuli, tj. $b = 0,$ onda kvadratna jednadžba ima oblik:

$a x^{2} + c = 0$ .

Kvadratna jednadžba bez slobodnog člana

Kada je slobodni koeficijent jednak nuli, $c = 0,$ kvadratna jednadžba poprima oblik:

$a x^{2} + b x = 0.$

Metoda supstitucije

Sustav kvadratne i linearne jednadžbe rješavamo metodom supstitucije i to tako da:

iz linearne jednadžbe izrazimo jednu nepoznanicu
taj izraz uvrstimo u kvadratnu jednadžbu i riješimo je po drugoj nepoznanici
izračunatu vrijednost druge nepoznanice uvrstimo u nađeni izraz za prvu nepoznanicu i izračunamo odgovarajuću vrijednost.

Normirana kvadratna jednadžba

Kvadratnu jednadžbu zapisanu u obliku $x^{2} + p x + q = 0$ nazivamo normirani oblik kvadratne jednadžbe.

Matematički prikaz raznih problema iz svakodnevnog života ili struke često se svodi na kvadratne jednadžbe ili sustave linearnih i kvadratnih jednadžbi. Takvi problemi nazivaju se problemi drugog stupnja.

Sustavi kvadratne i linearne jednadžbe

Sustav kvadratne i linearne jednadžbe je sustav koji se sastoji od linearne jednadžbe oblika $k x + l y + m = 0$ i kvadratne jednadžbe oblika $\begin{matrix} a x^{2} + b y^{2} + c x y + d x + e y + f = 0, \end{matrix}$ gdje su $a, b, c, d, e, f, k, l, m$ realni brojevi.

Linearna jednadžba mora imati barem jedan linearan član ( $k \neq 0$ ili $l \neq 0$ ), a kvadratna jednadžba barem jedan kvadratni član ( $a \neq 0$ ili $b \neq 0$ ili $c \neq 0$ ).

Rješenje sustava je svaki uređeni par brojeva $(x, y)$ koji zadovoljavaju obje jednadžbe.

Vieteove formule

Za rješenja $x_{1}$ i $x_{2}$ kvadratne jednadžbe $a x^{2} + b x + c = 0$ , $a, b, c \in R$ , $a \neq 0$ vrijedi da je:

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Navedene formule nazivamo Vièteove formule.