x
Učitavanje

2.5 Vieteove formule

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Naučili ste rješavati kvadratnu jednadžbu. Možete li bez rješavanja jednadžbe napisati njezina rješenja?

Pronađite vezu između koeficijenata i rješenja normirane kvadratne jednadžbe x 2 + b x + c = 0 tako da popunite sljedeću tablicu.

Povećaj ili smanji interakciju

Što zaključujete iz tablice? Koliki su zbroj i umnožak rješenja kvadratne jednadžbe? Možete li generalizirati svoja zapažanja?

Za normiranu kvadratnu jednadžbu (jednadžbu gdje je vodeći koeficijent a = 1 ) lako je zaključiti da vrijedi x 1 + x 2 = - b , a x 1 · x 2 = c .

Provjerimo što vrijedi, općenito, u kvadratnim jednadžbama.

Vièteove formule

Zbroj rješenja kvadratne jednadžbe je:

x 1 + x 2 = - b + b 2 - 4 a c 2 a + - b - b 2 - 4 a c 2 a = - b + b 2 - 4 a c - b - b 2 - 4 a c 2 a = - 2 b 2 a = - b a .

Umnožak rješenja kvadratne jednadžbe je:

x 1 · x 2 = - b + b 2 - 4 a c 2 a · - b - b 2 - 4 a c 2 a = b 2 - b 2 - 4 a c 2 4 a 2 = b 2 - b 2 + 4 a c 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .

Uvjerimo se u istinitost formula popunjavanjem sljedeće tablice.

Povećaj ili smanji interakciju

Za rješenja  x 1 i x 2 kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0 , a ,   b ,   c   R , a 0 vrijedi da je:

x 1 + x 2 = - b a , x 1 · x 2 = c a .

Navedene formule nazivamo Vièteove formule.

Zanimljivost

François Viète

Francoise Viète (1540. - 1603.) je francuski matematičar. Mnogi ga smatraju osnivačem moderne algebre. On je općim znakovima popularizirao označavanje nepoznanica i koeficijenata algebarskih jednadžbi. Najpoznatiji je po tome što je povezao rješenja algebarskih jednadžbi s koeficijentima jednadžbi. Surađivao je s hrvatskim matematičarom Marinom Getaldićem.

U jednom svojem članku napisao je: Ja, koji se ne bavim matematikom profesionalno već koji, kada god imam slobodnog vremena, uživam u matematičkim studijama.

Više o Vièteu pročitajte na wikipediji.

Primjer 1.

Odredimo kvadratnim jednadžbama zbroj i umnožak rješenja.

  1. 3 x 2 + 2 x + 1 = 0
  2. x 2 - 5 x + 1 = 0
  3. 4 x 2 - x - 1 = 0
  4. m x 2 + m 2 x + 1 = 0
  5. n + 1 x 2 - n 2 - 1 x + n = 0
  1. Iz a = 3 , b = 2 c = 1 i Vièteovih formula slijedi: x 1 + x 2 = - b a = - 2 3 , x 1 · x 2 = c a = 1 3 .

    Rješimo li zadanu kvadratnu jednadžbu, primijetit ćemo da je njezina diskriminanta negativan broj, pa su rješenja jednadžbe kompleksni brojevi x 1 = - 1 + i 2 3 , x 2 = - 1 - i 2 3 .

  2. Iz a = 1 , b = - 5 , c = 1 i Vièteovih formula slijedi: x 1 + x 2 = - b a = - - 5 1 = 5 , x 1 · x 2 = c a = 1 1 = 1 .

    Iz računa da je umnožak rješenja jednak 1 zaključujemo da su rješenja x 1 i x 2 međusobno recipročni brojevi. Primijetimo da je pritom ​ a = c .

  3. Iz a = 4 , b = - 1 , c = - 1 i Vièteovih formula slijedi: x 1 + x 2 = - b a = 1 4 , x 1 · x 2 = c a = - 1 4 .

  4. Iz a = m , b = m 2 , c = 1 i Vièteovih formula slijedi: x 1 + x 2 = - b a = - m 2 m = - m , x 1 · x 2 = c a = 1 m .

    Ovdje ne zaboravimo uvjet na vodeći koeficijent, m 0 . Uvrštavanjem m = 0 1 = 0 , pa zaključujemo da ne postoji takva jednadžba.

  5. Iz a = n + 1 , b = - n 2 - 1 , c = n i Vièteovih formula slijedi: x 1 + x 2 = - b a = - - n 2 - 1 n + 1 = n - 1 n + 1 n + 1 = n - 1 , x 1 · x 2 = c a = n n + 1 , uz uvjet da je vodeći koeficijent različit od nule, odnosno n - 1 .


Zadatak 1.

 Riješite sljedeće zadatke.

  1. Ne rješavajući jednadžbu x 2 + 4 x - 17 = 0 odredite zbroj i umnožak njezinih rješenja.
    x 1 + x 2 = ,
    x 1 · x 2 = .

     

    null
  2. Dopunite rečenice.
    Zbroj rješenja kvadratne jednadžbe 3 x 2 - 9 x + 33 = 0 je . Umnožak rješenja te jednadžbe je: .
    null

Primjer 2.

Ne računajući rješenja x 1 , x 2 kvadratne jednadžbe 7 x 2 - 5 x + 9 = 0 izračunajmo:

  1. 1 x 1 + 1 x 2
  2. x 1 2 + x 2 2 .

Služeći se Vièteovim formulama imamo:

  1. 1 x 1 + 1 x 2 = x 2 + x 1 x 1 x 2 = - b a c a = - b c .

    Uvrštavanjem koeficijenata kvadratne jednadžbe u dobivenu formulu dobivamo:

    1 x 1 + 1 x 2 = - - 5 9 = 5 9 .

  2. b) Iz jednakosti x 1 + x 2 2 = x 1 2 + 2 x 1 x 2 + x 2 2 slijedi x 1 2 + x 2 2 = x 1 + x 2 2 - 2 x 1 x 2 .

    Tu možemo primijeniti Vièteove formule pa imamo:

    x 1 2 + x 2 2 = - b a 2 - 2 · c a = - - 5 7 2 - 2 · 9 7 = 25 49 - 18 7 = - 121 49 .


Određivanje koeficijenata kvadratne jednadžbe

Primjer 3.

Ako je jedno rješenje jednadžbe​ x 2 + m x - 4 = 0 jednako 2 , odredimo drugo rješenje i broj m .

Zadatak rješavamo služeći se VIèteovim formulama.

Kako je x 1 · x 2 = c a 2 x 2 = - 4 1 , slijedi da je x 2 = - 2 .

Iz x 1 + x 2 = - b a dobivamo 2 - 2 = - m 1 m = 0 .


Zadatak 2.

Odredi koeficijente​ p i q normirane kvadratne jednadžbe x 2 + p x + q = 0 za koje je razlika rješenja 6 , a razlika kubova rješenja 54 .



Zadatak 3.

Dana je kvadratna jednadžba x - p 2 = p x + p , p R .

  1. Za koje je vrijednosti parametra p zbroj kvadrata rješenja dane jednadžbe veći od nule?

  2. Odredi ​ p za koje je zbroj rješenja jednadžbe za dva veći od umnoška.

Sredite kvadratnu jednadžbu (kvadrirajte, izmnožite, sve prebacite na lijevu stranu jednadžbe).

Imamo

x 2 - 2 p x + p 2 = p x + p 2

x 2 - 2 p x - p x + p 2 - p 2 = 0

x 2 - 3 p x = 0

a = 1 , b = - 3 p , c = 0 .


  1. Primijenimo formulu za kvadrat binoma, x 1 2 + x 2 2 = x 1 + x 2 2 - 2 x 1 x 2 . Prema uvjetu zadatka treba vrijediti x 1 2 + x 2 2 > 0 , pa iz toga slijedi x 1 + x 2 2 - 2 x 1 x 2 > 0 , odnosno - b a 2 - 2 · c a > 0 . Nakon uvrštavanja dobivamo 3 p 1 2 - 2 · 0 1 > 0 9 p 2 > 0 .

    Ta nejednakost vrijedi za sve realne brojeve različite od nule.

    Stoga je rješenje zadatka p R \ 0 .

  2. Zapišimo jednakost iz teksta zadatka matematičkim simbolima x 1 + x 2 = 2 + x 1 x 2 . Iz nje slijedi - b a = 2 + c a .

    Sređivanjem i uvrštavanjem koeficijenata dobivamo 3 p = 2 . Rješenje ove jednadžbe je p = 2 3 .

    2 p 2 + p = 0 uvijek pozitivan ili jednak nula.


Zadatak 4.

Riješite zadatke:

  1. Odredite realni parametar ​ k tako da je jedno rješenje jednadžbe x 2 + x + k = 0 dva puta veće od drugog rješenja.
  2. Bez rješavanja kvadratne jednadžbe 2 x 2 + x - 3 = 0 izračunajte x 1 2 - x 2 2 2 .
  1. k = 2 9

  2. 25 16


Kutak za znatiželjne

Vièteove formule postoje i za jednadžbe višeg stupnja. Za kubnu jednadžbu a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 vrijede:

x 1 + x 2 + x 3 = - b a

x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 = c a

x 1 x 2 x 3 = - d a .

Ako želite naučiti nešto više o Vièteovim formulama, pročitajte tekst na poveznici.

...i na kraju

Ponovimo što smo naučili!

Za računanje zbroja i umnoška rješenja kvadratne jednadžbe služimo se Vièteovim formulama. Zbroj i umnožak rješenja ovise o koeficijentima kvadratne jednadžbe. Zapišimo kvadratnu jednadžbu uz pomoć Vièteovih formula:

a x 2 + b x + c = 0 / : a x 2 + b a x + c a = 0 x 2 - x 1 + x 2 x + x 1 · x 2 = 0

Stoga, ponekad rješenje možemo pročitati izravno iz kvadratne jednadžbe, bez računanja.

Npr., x 2 - 8 x + 15 = 0 x 1 + x 2 = 8 i x 1 · x 2 = 15 x 1 = 3 , x 2 = 5 ili

x 2 + 4 x - 5 = 0 x 1 + x 2 = - 4 i x 1 · x 2 = - 5 x 1 = 1 , x 2 = - 5 .

Pokušajte sami pogoditi rješenja bez računa u jednadžbama:

x 2 - 7 x + 6 = 0 x 2 + 14 x + 45 = 0 .

Možete se vratiti na onu tablicu iz uvoda i pokušati pogoditi rješenja bez računa. Treba pripaziti na predznake koeficijenata jednadžbe koji utječu na predznak rješenja.

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1
Uz pomoć Vi èteovih formula u kvadratnoj jednadžbi možemo odrediti (napišite riječima) rješenja.

Pomoć:

Pročitajte još jedanput nastavnu jedinicu Vèteove formule.

2

Zbroj rješenja kvadratne jednadžbe jednak je:

null
3

Uparite matematičke izraze.

x 1 i x 2 su rješenja kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0 .

x 1 - 2 + x 2 - 2  
b 2 - 2 a c c 2   ​
x 1 3 + x 2 3  
- b a · b 2 a 2 - 3 · c a   ​

Pomoć:

Primijenite formule za zbroj kubova, zbrojite/oduzmite izraze te primijenite Vieteove formule.

Postupak:

x 1 3 + x 2 3 = x 1 + x 2 x 1 2 - x 1 x 2 + x 2 2 = x 1 + x 2 x 1 + x 2 2 - 3 x 1 x 2 x 1 3 + x 2 3 = - b a · - b a 2 - 3 · c a     x 1 - 2 + x 2 - 2 = 1 x 1 2 + 1 x 2 2 = x 1 2 + x 2 2 x 1 2 x 2 2 = - b a 2 - 2 · c a c a 2 = b 2 - 2 a c c

4
Ne rješavajući kvadratnu jednadžbu odredite zbroj rješenja kvadratne jednadžbe 7 x 2 - 14 x + 5 = 0 .

Pomoć:

Primijenite Vieteove formule.

Postupak:

x 1 + x 2 = - b a = 14 7   ​

5

U kvadratnoj jednadžbi ​ 49 x 2 - 7 x - 20 = 0  jedno rješenje je 5 7 . Ne rješavajući jednadžbu odredite drugo rješenje.

Pomoć:

Služite se Vieteovim formulama!

Postupak:

x 1 + x 2 = - b a = 1 7 5 7 + x 2 = 1 7 x 2 = - 4 7

6
Koliki je koeficijent b   kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0   ako su rješenja te kvadratne jednadžbe suprotni brojevi?

Pomoć:

Upotrijebite Vieteovu formulu za zbroj rješenja.

Postupak:

x 1 = - x 2 x 1 + x 2 = 0 - b a = 0 b = 0   ​

7

Odredite koeficijent m u kvadratnoj jednadžbi x 2 - m x + 4 = 0 ako je zbroj kvadrata rješenja te jednadžbe jednak 1 .

Pomoć:

Zapišite uvjet zadatka matematičkim simbolima i upotrijebite Vieteove formule.

Postupak:

x 1 2 + x 2 2 = 1 = - b a 2 - 2 · c a 1 = m 2 - 8 m 1,2 = ± 3

8
U jednadžbi​ 2 k x + 2 x 2 = x - k 2  odredite realni parametar k tako da je zbroj rješenja jednadžbe jednak njihovom umnošku.
k =   ili .

Pomoć:

Sredite jednadžbu i upotrijebite Vieteove formule.

Postupak:

Nakon sređivanja jednadžba je ​ x 2 + 4 k x - k 2 = 0 .

x 1 + x 2 = x 1 · x 2 - b c = c a - 4 k = - k 2 k 1 = 0 , k 2 = 4

9

Odredite realan koeficijent​ m u kvadratnoj jednadžbi m x 2 + m - 1 x + 5 = 0,  tako da rješenja jednadžbe budu recipročni brojevi.

Pomoć:

Primijenite Vieteove formule.

Postupak:

x 1 = 1 x 2 x 1 x 2 = 1 c a = 1 5 m = 1 m = 5

10

Ovisi li zbroj rješenja jednadžbe x 2 + b x + c = 0 o realnom koeficijentu c ?

 

Postupak:

x 1 + x 2 = - b 1   ​

11

Povežite kvadratnu jednadžbu i njezina rješenja.

x 2 - 49 = 0
3 x 2 + 27 = 0
4 x 2 + x = 0   ​
5 x 2 - 30 x = 0   ​

Pomoć:

Prisjeti se rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi.

12

Uparite kvadratnu jednadžbu s njezinim rješenjima.

x 2 - 15 x + 56 = 0
6 x 2 - 11 x - 2 = 0  
x 2 + 4 x + 20 = 0   ​

Pomoć:

Prisjeti se formule za rješavanje kvadratne jednadžbe.

13

Riješite kvadratnu jednadžbu n x 2 - m - n x - m = 0 .

Postupak:

m x 2 - m - n x - m = 0

x 1,2 = m - n ± m - n 2 + 4 m n 2 n = m - n ± m + n 2 2 n

x 1 = - 1

x 2 = m n  

14

Odredite diskriminantu kvadratne jednadžbe x 2 - b x + 3 = 0 .

Pomoć:

Diskriminanta je izraz ispod korijena u formuli za rješavanje kvadratne jednadžbe.

15

Koja od navedenih kvadratnih jednadžbi ima uvijek realna rješenja?

Pomoć:

Pronađi diskriminantu i provjeri njezinu pozitivnost.

 

ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

2.6 Faktorizacija kvadratnog trinoma