x
Učitavanje

2.2 Posebni oblici kvadratne jednadžbe

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Slobodni pad

Kvadratne jednadžbe razvile su se iz potrebe za rješavanjem praktičnih problema u raznim područjima - fizika, ekonomija, poljoprivreda...

Pogledajmo na početku dva fizikalna problema.

Vertikalni hitac-nepotpuna kvadratna jednadžba

Dječak je ispalio raketu brzinom 30 m s . Nakon koliko će vremena ostatci rakete pasti na tlo?

Gibanje rakete opisujemo vertikalnim hitcem prema gore i formulom:

s = v t - g t 2 2 , gdje je s put, v brzina, t vrijeme, a g = 9.81 m/s 2 .

Ako na desnoj strani umjesto s (puta) uvrstimo 0 , dobiti ćemo sljedeću jednadžbu:

g t 2 2 - v t = 0 , a uz v = 30 m s dobivamo kvadratnu jednadžbu:

  4.905 t 2 - 30 t = 0 , u kojoj je slobodni koeficijent c = 0 .

Ako izlučimo t , jednadžba je faktorizirana:

t · ( 4.905 t - 30 ) = 0 , pa je: t = 0 ili 4.905 t - 30 = 0 tj. t = 6.12 s .

Dakle ostatci rakete past će na tlo za 6.12 sekundi.

U prvom primjeru imali smo kvadratnu jednadžbu:

4.905 t 2 - 92 = 0 , kod koje je linearni koeficijent bio jednak nuli, tj. b = 0 .

U drugom primjeru kvadratna jednadžba je bila:

4.905 t 2 - 30 t = 0 , a kod nje je slobodni koeficijent jednak nuli, tj. c = 0 .

Dakle, prilikom postavljanja problema osim kvadratnih jednadžbi sa sva tri koeficijenta različita od 0 , koje zovemo potpune, javljaju se i jednadžbe kojima su pojedini koeficijenti jednaki 0 .

Takve jednadžbe zovemo nepotpune kvadratne jednadžbe.

U nastavku ćemo vidjeti kako ovakve jednadžbe prepoznati i riješiti.

Nepotpune kvadratne jednadžbe

Ako je linearni koeficijent u kvadratnoj jednadžbi jednak nuli, tj. b = 0 , onda kvadratna jednadžba ima oblik:

a x 2 + c = 0 .

Jednadžbu ovog oblika rješavamo tako da slobodni član prebacimo na desnu stranu jednadžbe:

a x 2 = - c .

Zatim jednadžbu podijelimo s koeficijentom a :

x 2 = - c a .

Uz ​ - c a = k  imamo jednadžbu x 2 = k .

  • ako je ​ k > 0  rješenja su realni i različiti brojevi x 1 = k  i x 2 = - k
  • ​ako je k = 0  rješenja su x 1 = x 2 = 0  .
  • ako je k < 0  rješenja su konjugirano kompleksni brojevi x 1 = i k i x 2 = - i k

Sada su rješenja jednadžbe x 2 = - c a :

x 1 = - c a , x 2 = - - c a .

Primjer 1.

Riješimo sljedeću kvadratnu jednadžbu.

9 x 2 - 25 = 0

9 x 2 = 25 / : 9

x 2 = 25 9

Uz primjenu gore navedenog postupka imamo dva realna rješenja:

x 1 = 5 3 , x 2 = - 5 3

Primjer 2.

Riješimo nepotpunu kvadratnu jednadžbu.

x 2 + 16 = 0

x 2 = - 16

x 1 = 4 i , x 2 = - 4 i .

Rješenja su dva konjugirano kompleksna broja.

Primjer 3.

Riješimo kvadratnu jednadžbu:

x + 3 2 = 16 .

Provedimo isti postupak kao za jednadžbu: ​ x 2 = 16 .

Imamo dva slučaja:

x + 3 = 4 , x + 3 = - 4 .

Iz ovih dviju jednadžbi imamo dva rješenja:

x 1 = 1 , x 2 = - 7.

Zadatak 1.

Riješite jednadžbu 16 x 2 - 81 = 0 .

  x 1 = 9 4 , x 2 = - 9 4 .


Zadatak 2.

 Riješite jednadžbu 12 x 2 + 16 = 0.

x 1 = 2 3 3 i , x 2 = - 2 3 3 i  


Zadatak 3.

 Riješite jednadžbu x + 5 2 = 8.

  x 1 = 2 2 - 5 , x 2 = - 2 2 - 5


Kada je slobodni koeficijent jednak nuli, c = 0 , kvadratna jednadžba poprima oblik:

a x 2 + b x = 0.

Kvadratnu jednadžbu bez slobodnog člana rješavamo tako da izlučimo zajednički faktor x :

x · a x + b = 0.

Umnožak na lijevoj strani jednak je nuli, a to znači da barem jedan od faktora također mora biti jednak nuli:

x = 0 , a x + b = 0,

pa su rješenja ove jednadžbe:

x 1 = 0 , x 2 = - b a

Primjer 4.

Riješimo sljedeću kvadratnu jednadžbu.

27 x 2 - 9 x = 0

9 x · 3 x + 1 = 0

9 x = 0 , 3 x + 1 = 0

x 1 = 0 , x 2 = - 1 3

Zadatak 4.

Riješite kvadratnu jednadžbu 7 4 x 2 - 7 2 x = 0 .

x 1 = 0 , x 2 = 2   ​


Osim navedenih kvadratnih jednadžbi posebnog oblika, imamo i slučaj kada su ​ b = 0 , c = 0 .

Jednadžba tada glasi: a x 2 = 0 .

Ova jednadžba ima rješenje x = 0 .

Do sada rješavane kvadratne jednadžbe imale su dva rješenja, pa ćemo i za ovu jednadžbu reći da ima dva rješenja koja su jednaka. Govorit ćemo o dvostrukom rješenju i pisati:

x 1 = x 2 = 0 .

Primjer 5.

Na slici je pravokutni trokut sa stranicama označenim na način zadan u zadatku.
Grafički prikaz problema

Najkraća stranica pravokutnog trokuta je 6 cm kraća od hipotenuze. Razlika u duljini drugih dviju stranica iznosi 3 cm . Ako je najkraća stranica a - 3 , pronađimo stranicu a .

Prikažimo problem grafički.

Koristeći se Pitagorinim poučkom problem ćemo svesti na rješavanje kvadratne jednadžbe.

a - 3 2 + a 2 = a + 3 2

a 2 - 6 a + 9 + a 2 = a 2 + 6 a + 9

a 2 - 12 a = 0

a · a - 12 = 0

Dakle, nepoznanica a može biti ili 0 cm ili 12 cm . Rješenje polaznog zadatka je a = 12 cm .

Zadatak 5.

 Ponovimo pojmove koje smo naučili!

  1. Razvrstaj nepotpune kvadratne jednadžbe prema vrsti.

    4 3 x 2 + 5 x = 0   ​

    Kvadratna jednadžba bez linearnog člana

    Kvadratna jednadžba bez slobodnog člana

    null
  2. Jedno od rješenja kvadratne jednadžbe x 2 - 5 = 0   je:

    null
  3. Upari nepotpune kvadratne jednadžbe s vrstama rješenja.

    7 x 2 + 7 = 0  
    7 8 x 2 = 0  
    x - 5 2 = 24
    null

...i na kraju

Napravimo sada mali sažetak naučenoga.

  1. Rješenja jednadžbe a x 2 + c = 0 ovise o predznacima koeficijenta a i c :

    • ako su a i c suprotnih predznaka onda su rješenja različiti realni brojevi,
    • ako su a i c istih predznaka onda su rješenja konjugirano kompleksni brojevi.
  2. Jednadžba a x 2 + b x = 0 uvijek ima dva realna rješenja, od kojih je jedno 0 .

  3. Jednadžba kod koje je b = 0 , c = 0 tj. a x 2 = 0 ima dvostruko rješenje jednako 0 .

Idemo na sljedeću jedinicu

2.3 Rješavanje kvadratne jednadžbe