x
Učitavanje

2.3 Rješavanje kvadratne jednadžbe

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Čokolada na kockice
Izvor: https://commons.wikimedia.org/wiki/; Autor: Tiia Monto; Licenca: CC BY-SA 4.0

S dvoje prijatelja želite podijeliti čokoladu (prije otvaranja) tako da svatko dobije jednak broj komadića. Znate da jedan red čokolade ima 2 komadića više nego što je ukupno redova čokolade. Ukupno je 24 komadića čokolade. Koliko čokolada ima redova i koliko je komadića u jednom redu? Može li svatko od vas dobiti jednak broj redova i koliko?

Postavimo zadatak:

Kako za rješenje ove kvadratne jednadžbe tražimo prirodan broj, možemo ga dobiti faktorizacijom broja 24 . Koliko ima takvih rješenja? Uočimo da faktori moraju biti uzastopni parni brojevi kako bi umnožak bio paran broj. Dakle, jedino moguće rješenje je x = 4 , jer je 4 · 6 = 24.  

Odgovor: Čokolada ima  4 reda i  6 jednakih komadića u svakom redu. Svatko neće moći dobiti jednak broj redova. Čokolada se može podijeliti tako da svaki red podijelimo na tri jednaka dijela (svakome po dva jednaka komadića iz reda). Svatko će dobiti 4 · 2 = 8 komadića čokolade.

Razmislite:

Je li to doista jedino rješenje ove kvadratne jednadžbe? Ima li kvadratna jednadžba više od jednog rješenja i kako doći do svih rješenja? Na to pitanje odgovor ćemo potražiti u nastavku.

Svođenje na potpun kvadrat

Primjer 1.

Skica pravokutnog trokuta iz zadatka

Katete pravokutnog trokuta razlikuju se za 7 cm . Hipotenuza pravokutnog trokuta za 2 cm je dulja od veće katete. Izračunajmo duljinu kateta i hipotenuze.

Označimo s x duljinu kraće katete. Tada je duljina druge katete x + 7 , a hipotenuza duljine x + 7 + 2 .

Kako za pravokutni trokut vrijedi Pitagorin poučak, možemo pisati: x 2 + x + 7 2 = x + 7 + 2 2 , odnosno: x 2 + x + 7 2 = x + 9 2 . U ovom trenutku rješenje se ne vidi odmah kao u prethodnom primjeru.

Kvadrirajmo i sredimo kvadratnu jednadžbu: x 2 - 4 x - 32 = 0 .

Ovaj oblik nam i dalje ne daje naslutiti moguća rješenja.

Pokušajte kao u prethodnom primjeru faktorizacijom broja 32 doći do rješenja ( x ( x - 4 ) = 32 ) .

Dok ste sređivali jednadžbu, koristili ste se sljedećom formulom:

( x + 7 ) 2 Kvadrat zbroja = x 2 + 2 · 7 · x + 7 2 Potpun kvadrat

Svaki trinom koji se može zapisati u obliku I 2 + 2 · I·II+II 2 naziva se potpun kvadrat i kraće ga zapisujemo kao kvadrat binoma:​

( I+II ) 2 Kvadrat binoma = I 2 + 2 · I·II+II 2 Potpun kvadrat .

Primjer 2.

​Kod rješavanja linearnih jednadžbi naučili smo da nepoznanice idu na jednu stranu, a poznate veličine na drugu stranu jednakosti x 2 - 4 x = 32 . Dopunimo izraz x 2 - 4 x do potpunog kvadrata.

Rastavimo srednji član i dodajmo kvadrat drugog člana na obje strane jednakosti: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 = 32 + 2 2 .

Sada potpun kvadrat možemo zapisati kao kvadrat binoma: ( x - 2 ) 2 = 36 .

Na desnoj strani je pozitivan broj, pa jednadžba ima dva realna i različita rješenja:

x - 2 = - 6 x - 2 = 6 x 1 = - 4 x 2 = 8

Zadatak 1.

Analogno, dopunjavanjem do potpunog kvadrata, riješite uvodni primjer s podjelom čokolade.

x 2 + 2 x + 1 = 24 + 1 x + 1 2 = 25 x 1 = 4 , x 2 = - 6   ​


U oba primjera dobili smo dva rješenja. Jedno rješenje smo pogodili rastavljanjem slobodnog člana na faktore. Ali što je s negativnim rješenjem? Nisu nam sva rješenja uvijek očita.

Općenito, svaka kvadratna jednadžba ima dva rješenja. U našim primjerima odbacili smo negativna rješenja. Zašto?

Zadatak 2.

Riješite jednadžbu x 2 - 2 x + 10 = 0 dopunjavanjem do potpunog kvadrata.

Izraz x 2 - 2 x dopunimo do potpunog kvadrata brojem .
Dodavanjem toga broja lijevoj i desnoj strani jednakosti, na desnoj strani nakon zbrajanja dobijemo: .

 

 

Na lijevoj strani jednakosti potpuni kvadrat zamijenimo binomom pa imamo ( ) 2 =  
Kako je na desnoj strani jednakosti negativan broj, rješenja su imaginarni brojevi pa vrijedi:
x - 1 = ±   .
Rješenja jednadžbe su: x 1 =    i x 2 =   .
Kažemo da je rješenje par brojeva.

Kutak za znatiželjne

Vizualizirajmo dopunjavanje izraza x 2 + b x do potpunog kvadrata. Imamo kvadrat površine x · x kojem dodajemo pravokutnik površine ​ b · x .

Podijelimo taj pravokutnik na dva dijela tako da dobijemo dva pravokutnika jednakih površina, b 2 · x .

Dodamo ih susjednim stranicama kvadrata i dobijemo lik površine x + b 2 · x + b 2 - b 2 · b 2 = x 2 + b x . Dobiveni lik postaje kvadrat kada ga dopunimo kvadratom stranice b 2 .

Dakle, izraz x 2 + b x dopunili smo do potpunog kvadrata x 2 + 2 · b 2 · x + b 2 2 = x + b 2 2 .  

Vizualizacija svođenja na potpun kvadrat

Pogledajmo kako to izgleda u GeoGebri. Pokušajte riješiti naša dva primjera određivanjem koeficijenta  b (pomicanjem klizača) te upisivanjem slobodnog člana c .

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 3.

Vratimo se još malo na prethodni zadatak. Mijenjajte koeficijente b i c i pratite što se događa s površinom kvadrata x · x i rješenjima kvadratne jednadžbe.

Odgovorite na sljedeća pitanja:

Uočimo da nam je u svim prethodnim primjerima vodeći koeficijent ​ a = 1 . Pogledajmo sljedeći primjer kvadratne jednadžbe kod koje je a 1 .

Primjer 3.

Riješimo jednadžbu: 3 x 2 - 8 x - 3 = 0 .

Pokušajmo dobiti kvadrat kod prvog pribrojnika tako da cijelu jednadžbu pomnožimo s 3. Sada imamo: 9 x 2 - 24 x - 9 = 0 . Izraz ( 3 x ) 2 - 24 x = ( 3 x ) 2 - 2 · ( 3 x ) · 4 dopunimo do potpunog kvadrata tako da jednadžbi dodamo 4 2 .

3 x 2 - 2 · 3 x · 4 + 4 2 = 9 + 4 2 3 x - 4 2 = 25 .  

3 x - 4 = ± 5 3 x 1 = 9 3 x 2 = - 1 x 1 = 3 x 2 = - 1 3

Formula za rješenja kvadratne jednadžbe

Zadatak 4.

2 x 2 + 5 x - 3 = 0 a x 2 + b x + c = 0
   

Kvadratna jednadžba oblika ​ a x 2 + b x + c = 0 , gdje su a , b , c R , a 0, ima rješenja

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a .

Primjer 4.

Riješimo jednadžbe uz pomoć formule za rješenja kvadratne jednadžbe:

  1. 5 x 2 + 6 x + 1 = 0

    a = 5 , b = 6 , c = 1  

    x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 6 ± 6 2 - 4 · 5 · 1 2 · 5 = - 6 ± 4 10

    x 1 = - 6 + 4 10 = - 2 10 = - 1 5 , x 2 = - 6 - 4 10 = - 10 10 = - 1

    Rješenja jednadžbe su 2 realna i različita broja.

  2. 5 x 2 - 2 x + 1 = 0

    a = 5 , b = - 2 , c = 1

    x 1,2 = 2 ± - 2 2 - 4 · 5 · 1 2 · 5 = 2 ± - 16 10 = 2 ± 4 i 10 = 2 10 ± 4 i 10

    x 1 = 1 5 + 2 5 i , x 2 = 1 5 - 2 5 i

    Rješenja jednadžbe su konjugirano kompleksni brojevi.

  3. 1 2 t 2 + t + 1 2 = 0 .

    a = 1 2 , b = 1 , c = 1 2

    Kad su nam koeficijenti razlomci, najprije se riješimo razlomka množenjem sa zajedničkim nazivnikom. Množenjem s 2 dobivamo: t 2 + 2 t + 1 = 0

    t 1,2 = - 2 ± 2 2 - 4 · 1 · 1 2 · 1 = - 2 ± 0 2 = - 1

    Kažemo da smo dobili dvostruko realno rješenje.

    Uočimo da je izraz t 2 + 2 t + 1 potpun kvadrat, pa jednadžbu možemo pisati i u obliku kvadrata binoma. Koristeći se svojstvom da je umnožak dvaju brojeva jednak nuli ako je barem jedan od njih jednak nuli, imamo:

    ( t + 1 ) 2 = 0 ( t + 1 ) ( t + 1 ) = 0 t + 1 = 0 t 1 = - 1 , t 2 = - 1 .

Zadatak 5.

Sada izvježbajte sami traženje rješenja kvadratne jednadžbe. Rješavajte u parovima, tako da jedan učenik rješava metodom svođenja na potpun kvadrat, a drugi služeći se formulom za rješenja kvadratne jednadžbe. Izmjenjujte se. Usporedite rješenja i provjerite ih uz pomoć GeoGebrinoga generatora zadataka.

Povećaj ili smanji interakciju

Savjet: s učenjem nastavite tek kada dobro izvježbate ove zadatke.

Normirana kvadratna jednadžba

Do sada smo promatrali dva tipa kvadratnih jednadžbi, kada je ​ a = 1 i kada a 1 . Rješavanje kvadratnih jednadžbi svođenjem na potpun kvadrat bilo je jednostavnije za a = 1.

Podijelimo opći oblik kvadratne jednadžbe s vodećim koeficijentom a (kako je a 0 dijeljenje je moguće).

Primjer 5.

Neka je zadana kvadratna jednadžba 4 x 2 + 20 x + 25 = 0 . Riješimo je svođenjem na potpun kvadrat, ali tako da nam vodeći koeficijent bude jednak 1 . Podijelimo cijelu jednadžbu s 4 :

x 2 + 5 x + 25 4 = 0.

Uočimo da je ovaj kvadratni trinom ustvari potpun kvadrat: x + 5 2 2 = 0 iz kojeg možemo odmah pročitati rješenje kvadratne jednadžbe: x = - 5 2 .

Kutak za znatiželjne

Izvedite formulu za rješenja kvadratne jednadžbe pregrupiranjem sljedećih elemenata (teksta i formula).

Pojednostavnimo izraz x 2 + b a x + c a = 0 uvođenjem novih oznaka: p = b a , q = c a . Dobit ćemo novi zapis kvadratne jednadžbe.

Kvadratnu jednadžbu zapisanu u obliku x 2 + p x + q = 0 nazivamo normirani oblik kvadratne jednadžbe.

Zadatak 6.

Normirajte sljedeće kvadratne jednadžbe.

  1. 9 x 2 - 3 x + 6 = 0
  2. 0.2 x 2 - 0.5 x + 0.2 = 0
  3. 4 3 x 2 - 12 x + 1 = 0
  4. - x 2 + 7 x - 12 = 0
  1. x 2 - 1 3 x + 2 3 = 0
  2. x 2 - 2.5 x + 1 = 0
  3. x 2 - 9 x + 3 4 = 0
  4. x 2 - 7 x + 12 = 0

Formulu za rješenja kvadratne jednadžbe također možemo prilagoditi oznakama normirane kvadratne jednadžbe. Ako zamijenimo koeficijente kvadratne jednadžbe s a = 1 , b = p i c = q , rješenja normirane kvadratne jednadžbe dobijemo uz pomoć formule:

Rješenja normirane kvadratne jednadžbe: x 1,2 = - p 2 ± p 2 2 - q .

Ova je formula posebno pogodna za korištenje kada je  p paran broj.​

Kutak za znatiželjne

 Dokažite sami formulu za rješenja normirane kvadratne jednadžbe.

Zamijenimo koeficijente kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0 s a = 1 , b = p i c = q . Dobijemo normiranu kvadratnu jednadžbu: x 2 + p x + q = 0 . Isto to učinimo s rješenjima kvadratne jednadžbe:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - p ± p 2 - 4 q 2 = - p 2 ± p 2 - 4 q 4 = - p 2 ± p 2 4 - 4 q 4 = - p 2 ± p 2 2 - q   .


Zadatak 7.

Svakoj normiranoj kvadratnoj jednadžbi pridružite pripadna rješenja:

x 2 - 6 x + 9 = 0  
x 1 = x 2 = 3
x 2 - 4 x + 5 = 0
a ± b
x 2 + 11 x - 28 = 0
x 1,2 = 2 ± 3
x 2 - 2 a x + a 2 - b 2 = 0
x 1 = - 4 x 2 = 7
x 2 - 4 x + 1 = 0
x 1,2 = 2 ± i
null
null

Povezani sadržaji

Zlatni rez ili zlatni omjer dužine je ​dijeljenje dužine na dva dijela tako da se cijela dužina odnosi prema većem dijelu kao veći dio dužine prema manjem. Prisjetimo se kako konstruirati točku koja dijeli zadanu dužinu u zlatnom omjeru.

Povećaj ili smanji interakciju

Povezani sadržaji

Nakon što smo ponovili zlatni rez, izračunajmo zlatni broj x .

a : x = x : ( a - x ) a ( a - x ) = x 2 x 2 + a x - a 2 = 0

Rješenja ove kvadratne jednadžbe su: x 1,2 = - a ± a 2 + 4 a 2 2 = - a ± a 5 2.

Iz uvjeta: x > 0 moguće je samo jedno rješenje: x = a 5 - a 2 = 5 - 1 2 a = 0.618 a

Odnosno: x : a = 5 - 1 2

U GeoGebri smo dobili obrnuti omjer. Pokušajte sami iz omjera x : a dobiti omjer a : x (koji se isto tako naziva zlatni omjer), odnosno pripadajući zlatni broj.

Zadatak 8.

Konstruirajte u bilježnici zlatni rez dužini duljine 6 . Izračunajte pripadajući x .

Grafičko rješenje zadatka za a = 6

Uputa: Neka je a = 6 . Izračunajte x uz pomoć prethodno dobivene formule. Konstrukciju (kao i rješenje) možete provjeriti i uz pomoć GeoGebre.


Zanimljivost

Pojam zlatnog reza pripisuje se Pitagorejcima. Naziv potječe od talijanskog izumitelja, umjetnika i matematičara Leonarda da Vincija. Zlatni rez često susrećemo u umjetnosti, arhitekturi, prirodi. Neki ga nazivaju i "Božanska proporcija".

Johannes Kepler, matematičar, fizičar i astronom, jednom je rekao:

"Geometrija ima dva velika blaga, prvo je Pitagorin poučak, a drugo zlatni rez. Prvo možemo usporediti sa zlatom, ali drugo je dragocjen biser."

Projekt

Istražite gdje se sve susrećemo sa zlatnim rezom. Podijelite se u grupe i uz pomoć stručnih nastavnika (matematike, umjetnosti, biologije) pripremite i prezentirajte ljepotu i savršenstvo zlatnog reza učenicima i nastavnicima vaše škole.

Složenije jednadžbe

Primjer 6.

Riješimo sljedeća dva primjera:

  1. x · | x - 4 | = 4

    U 1. razredu naučili smo rješavati jednadžbe s apsolutnim vrijednostima. Ponovite definiciju apsolutne vrijednosti.

    Imamo 2 slučaja:

    • I) x - 4 0 x 4

      x · ( x - 4 ) = 4

      x 2 - 4 x - 4 = 0

      Uvrštavanjem u formulu za rješenja (normirane) kvadratne jednadžbe dobijemo: x 1,2 = 2 ± 2 2 , a zbog uvjeta rješenje je 2 + 2 2 .

    • II) x - 4 < 0 x < 4

      x · ( - x + 4 ) = 4

      x 2 - 4 x + 4 = 0

      Uočimo da je naša kvadratna jednadžba potpun kvadrat: ( x - 2 ) 2 = 0 x = 2, što zadovoljava uvjet.

      Dakle, rješenja zadatka su: x 1 = 2 + 2 2 i x 2 = 2 .

  2. 11 x 2 - 4 + x + 3 2 - x = 2 x - 3 x + 2

    Prisjetimo se algebarskih razlomaka iz 1. razreda.

    Kako je x 2 - 4 = ( x - 2 ) ( x + 2 ) i 2 - x = - ( x - 2 ), pomnožimo cijelu jednadžbu zajedničkim nazivnikom ( x - 2 ) ( x + 2 ) pa imamo: 11 - x + 3 x + 2 = 2 x - 3 x - 2 ,

    uz uvjet da je broj s kojim množimo različit od nule, tj. x ± 2 .

    Nakon sređivanja kvadratna jednadžba je: 3 x 2 - 2 x + 1 = 0 pa su rješenja:

    x 1,2 = 2 ± 2 i 2 6 = 1 3 ± i 2 3 .

A sada pokušajte sami.

Zadatak 9.

Riješite u bilježnicu zadatke s lijeve strane i potražite pripadajuća rješenja na desnoj strani.

 Svakoj kvadratnoj jednadžbi pridružite pripadajuća rješenja:

x 2 - 4 x + 5 = 0  
x 1 = 1 , x 2 = - 1  
( x - 3 ) ( 2 - x ) - ( 1 + x ) 2 = 0  
x 1,2 = 3 4 ± i 47 4  
x 2 - 2 p x + p 2 - 4 = 0  
x 1 = p + 2 , x 2 = p - 2  
3 x - 1 2 = x  
x 1 = 3 2 , x 2 = - 2

Pomoć:

Najprije treba srediti izraze i dobiti opći oblik kvadratne jednadžbe; riješiti pomoću forumule za rješenja kvadratne jednadžbe te ispitati uvjete (kod razlomka i apsolutne vrijednosti).

null

...i na kraju

 Ponovimo i zapamtimo:

Naziv
Kvadratna jednadžba
Rješenja kvadratne jednadžbe
Opća a x 2 + b x + c = 0 , a 0 , a , b , c R   x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a  
Normirana x 2 + p x + q = 0 , p , q R   x 1,2 = - p 2 ± p 2 2 - q
1. oblik nepotpune
a x 2 + c = 0   x 1,2 = ± - c a  
2. oblik nepotpune a x 2 + b x = 0   x 1 = 0 , x 2 = - b a  
3. oblik nepotpune a x 2 = 0   x 1 = x 2 = 0  
PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Za jednadžbu a x 2 + b x + c = 0 kažemo da je

 
jednadžba, ako je
 
0 .
Koeficijent a nazivamo
 
, koeficijent b je
 
dok je
 
.
Ako je a = 0 ova jednadžba postaje​
 
jednadžba.

slobodni koeficijent
kvadratna
linearni koeficijent
linearna
vodeći koeficijent
a

 

null
2

Za koeficijente kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0 vrijedi:  a , b , c

null
3
Za dane kvadratne jednadžbe nabrojite pripadajuće koeficijenteuređenih trojki, kao u primjeru (između zareza ne stavljajte razmak): 2 x 2 + 3 x + 1 = 0 2,3,1 .
  1. x 2 - 3 x + 2 = 0
  2. - 2 x 2 + 1 = 0
  3. - x 2 + x = 0
  4. 2 x 2 = 0
  5. x 2 - 3 ( a + 1 ) x + 2 a = 0 .

 

null
4

Povežite tvrdnje koje pripadaju jedna drugoj:

b = 0  
2 x 2 + p - 1 = 0   ​
c = 0   ​
( 3 - 1 ) x 2 = 0   ​
b = c = 0  
x 2 - x = 0   ​

Pomoć:

Uočite različite slučajeve nepotpune kvadratne jednadžbe.

null
5

Pronađite tip jednadžbe ( p - 1 ) x 2 + 2 ( 1 - 2 p ) x + 3 = p s obzirom na zadanu vrijednost parametra p :

p = 1 2
p = 3
p = 1
p = - 3
p = 2

 

null
6

Svakoj kvadratnoj jednadžbi odredite prirodu rješenja:

( 1 - 2 ) x 2 = 0
Konjugirano kompleksna rješenja
3 x 2 - 1 2 x = 0   ​
Realna i različita rješenja
3 x 2 + 27 = 0
Dvostruko realno rješenje

 

null
7

Rasporedite točna rješenja po kvadratnim jednadžbama:

2

x 2 + 1 = 0

2 x 2 - 8 = 0

( x - 1 ) 2 = 4 x 2

( x - 3 ) 2 - 3 ( x - 3 ) = 0

null
8
Riješite kvadratne jednadžbe svođenjem na potpun kvadrat. (Za razlomak upotrijebite znak "/".)
Primjer: x 2 + 4 x + 3 = 0 ( x + 2 ) 2 = 1 x 1 = - 1 i x 2 = - 3 :
a) 4 x 2 + 12 x + 9 = 0 ( ) 2 = x 1 = x 2 = ;
  1. 2 x 2 - 5 x - 3 = 0 (   ) 2 = x 1 =   x 2 =   ;
  2. x 2 + 2 x - 8 = 0 ( ) 2 = x 1 = x 2 = .

 

9

Rješenja kvadratne jednadžbe x 2 - 11 4 x + 15 8 = 0 su:

 

null
10
Pripadajuća normirana kvadratna jednadžba jednadžbe 3 x 2 - 21 x - 15 = 0
a = ,
b = i
c = .

 

11
Riješite sljedeće jednadžbe. Upišite koeficijente sređene kvadratne jednadžbe, a zatim i njezina rješenja:
  1. x + 2 x = 3 . Pripadajuća kvadratna jednadžba je: x 2 x = 0 ​i rješenja su:
    x 1 = i x 2 = .
  2. 3 x 2 - 7 | x | - 6 = 0 .
    Uz uvjet x 0 , pripadajuća kvadratna jednadžba: x 2 x = 0 ima rješenje x = . Dok jednadžba x 2 x   ​ = 0 , uz uvjet  x ima rješenje x = .

 

 

ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

2.4 Diskriminanta kvadratne jednadžbe