x
Učitavanje

6.1 Razlomci na brojevnom pravcu

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Sljedeća jedinica
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Na što te podsjeća trasa po kojoj vozi autobus?

Brojevni pravac

Brojevni pravac
Brojevni pravac s označenim nenegativnim cijelim brojevima (1, 2, 3, 4 i 5)

Brojevni pravac je

 
na kojem su prikazani
 
. Uzastopni cijeli brojevi međusobno su
 
udaljeni jedan od drugog.
pravac
jednako
brojevi

Pomoć:

Zamisli da je cesta pravac, a stanice uzastopni cijeli brojevi.

null

Točku s brojem 0 označimo slovom O , a točku s brojem 1 označimo slovom E, kao na slici.

Brojevni pravac s označenim točkama O i E
Brojevni pravac s označenim točkama O i E. Točka O nalazi se na prvoj točkici iznad crte s lijeve strane, a točka E na drugoj točkici iznad crte s lijeve strane.

Pridruživanje brojeva točkama pravca zapisujemo kao O ( 0 ) i E 1 . U tom zapisu broj 0 nazivamo koordinata točke O , a broj 1 nazivamo koordinata točke E .

Zanimljivost

Riječ koordinata dolazi od latinske riječi coordinare što znači uskladiti.

Točka O 0 je

 
točka brojevnog pravca. Točka
 
je odabrana točka na
 
koja slijedi neposredno nakon točke O 0 .
brojevnom pravcu
E 1
početna

Pomoć:

Razmisli i pogledaj slike brojevnih pravaca.

null

Ishodište i jedinična točka brojevnog pravca

Točku O 0 zovemo ishodište, a točku E 1 jedinična točka brojevnog pravca.

Duljina dužine O E ¯

međusobnu
udaljenost uzastopnih cijelih brojeva na zadanom brojevnom pravcu.

Pomoć:

Razmisli i pogledaj slike brojevnih pravaca.

null

Jedinična dužina

Dužinu O E ¯ nazivamo jediničnom dužinom. Duljinu jedinične dužine označavamo O E . Duljina jedinične dužine označava udaljenost uzastopnih cijelih brojeva na zadanom brojevnom pravcu. Odabirom ishodišta i jedinične dužine kažemo da smo organizirali brojevni pravac ili koordinatni sustav na pravcu.

Zadatak 1.

Na brojevnom pravcu zadane jedinične dužine O E ¯   upiši točku A tako da bude pridružena broju 2 , točku B da bude pridružena broju 4 i točku C tako da bude pridružena broju 7 .

Brojevni pravac na kojem su označeni ishodište i jedinična dužina
A
2
B
4
C
7

Pomoć:

Broj zapiši ispod označene točke na pravcu, a slovo iznad točke na pravcu.

Postupak:

Pazi da ostaviš prazna mjesta za neoznačene cijele brojeve.

Pridruživanje brojeva točkama pravca zapisujemo kao A (

) , B (
) , C (
) .

Pomoć:

U zagradu zapiši broj koji je pridružen točkama pravca kako je zadano u tekstu zadatka.

Koordinata točke

Ako je nekom broju x pridružena točka T na brojevnom pravcu, to zapisujemo kao T x . Broj x je koordinata točke T .

Zadatak 2.

Odredi koordinate točaka A , B , C i D sa slike. Spoji parove.
Na brojevnom pravcu su označeni O, E i nazivi točaka A, B, C i D
C
6
B
9
D
3
A
4

Pomoć:

Dobro pogledaj brojevni pravac na slici.

null

Osim cijelih brojeva, točkama brojevnog pravca možemo pridružiti i razlomke.

Razlomci jednakih nazivnika na brojevnom pravcu

Zadatak 3.

Kruh „francuz“ je prerezan na pet jednakih dijelova s četiri reza.

Ako dugački kruh "francuz" prerežemo s četiri reza, dobit ćemo

dijelova,
odnosno komada kruha.

Pomoć:

Zamisli ili uzmi kruh i reci nekom odraslom da ga prereže s četiri reza. Prebroji komade kruha.

null
Jedinična dužina podijeljena na pet jednakih dijelova. Slovo O nalazi se na prvoj točkici s lijeve strane (ispod je broj 0). Slovo E je na četvrtoj točkici s lijeve strane (ispod je 1). Broj 2 je na 7 točkici s lijeve strane. Broj 3 je na desetoj točkici s lijeve strane i broj 4 je na trinaestoj točkici s lijeve strane.

Jediničnu dužinu na slici podijelili smo na

jednakih
dijelova. Svaki taj dio je
jedinične
duljine.

Pomoć:

Kada cjelinu dijelimo na 5 jednakih dijelova, dobivamo petine.

null

Pridruži razlomke točkama pravca.

Jedinična dužina podijeljena na pet jednakih dijelova.
3 5
2 5  
4 5  
1 5  

Pomoć:

Pogledaj brojevni pravac i razmisli na koliko je dijelova podijeljena jedinična dužina.

null

Zadatak 4.

Odredi najbliže cijele brojeve između kojih se nalaze zadani razlomci. Spoji parove.

5 3
Između 0 i 1
10 3
Između 1 i 2
2 1 3
Između 2 i 3
2 3
Između 3 i 4

Pomoć:

Svaki nepravi razlomak zapiši u obliku mješovitog broja, dobro ga pročitaj i razmisli. Pravi razlomak nalazi se između 0 i 1 .

Postupak:

10 3 = 3 1 3

5 3 = 1 2 3

Ucrtaj na brojevni pravac točke A 2 1 3 , B 10 3 , C 2 3 i D 5 3 .

Brojevni pravac od 0 do 4 s označenim trećinama Slovo O nalazi se na prvoj točkici iznad crte s lijeve strane (ispod je 0). Slovo E nalazi se na četvrtoj točkici s lijeve strane (ispod je 1). Broj 2 nalazi se na sedmoj točkici s lijeve strane. Broj 3 nalazi se na desetoj točkici s lijeve strane i broj 4 je na trinaestoj točkici.
A
B
C
D
2 1 3
10 3
2 3
5 3

Pomoć:

Ispod točke na brojevnom pravcu upiši koordinatu (broj), iznad upiši ime točke (slovo).

Postupak:

Razlomak zapiši u obliku mješovitog broja.

Zadatak 5.

Odredi koordinate točaka A , B , C i D sa slike. Spoji parove.

Na brojevnom pravcu od 0 do 3 označene su četvrtine i točke A, B, C i D. A se nalazi između 0i 1. B se nalazi između 1 i 2 (bliže broju
D
7 4
C
11 4
A
1 2
B
9 4

Pomoć:

Najprije koordinatu zapiši kao mješoviti broj s nazivnikom 4  . Razlomak skrati do kraja. Mješoviti broj zapiši u obliku razlomka.

Postupak:

2 4 = 1 2

1 3 4 = 7 4

2 1 4 = 9 4  

2 3 4 = 11 4  

Ako razlomci nemaju jednake nazivnike, svedemo ih na najmanji zajednički nazivnik.

Razlomci na brojevnom pravcu

Primjer 1.

Ucrtaj na brojevni pravac točke A 3 2 , B 2 1 2 , C 2 3 i D 11 6 . Zadatak pokušaj riješiti samostalno u bilježnicu, zatim provjeri svoje rješenje.

Najmanji zajednički nazivnik je V 2 , 3 , 6 = 6 . Razlomke, koje treba, zapišemo u obliku mješovitog broja da bismo mogli lakše odrediti između kojih se najbližih cijelih brojeva nalaze. Nakon toga ih svedemo na najmanji zajednički nazivnik.

3 2 = 1 1 2 = 1 3 6 , 2 1 2 = 2 3 6 , 2 3 = 4 6 , 11 6 = 1 5 6 .

Zatim te brojeve ucrtamo na brojevni pravac. Jediničnu dužinu podijelimo na šest jednakih dijelova, odnosno na šestine. Točku A ucrtamo između 1 i 2 na trećoj šestini brojeći od 1 , točku B ucrtamo između 2 i 3 na trećoj šestini brojeći od 2 , točku C ucrtamo između 0 i 1 na četvrtoj šestini brojeći od 0 i točku D ucrtamo između 1 i 2 na petoj šestini brojeći od 1 . Na brojevni pravac zapišemo koordinate koje su zadane u zadatku.

Razlomci na brojevnom pravcu
Na brojevnom pravcu od 0 do 3 ucrtane su šestine i točke A, B, C i D.

Zadatak 6.

Ucrtaj na brojevni pravac točke A 11 8 , B 1 2 , C 7 8 i D 7 4 .

Točka A nalazi se između

,
točka B nalazi se između
,
točka C nalazi se između
,
točka D nalazi se između
.

Pomoć:

Koordinate točaka zapiši u obliku mješovitog broja.

Postupak:

11 8 = 1 3 8

7 4 = 1 3 4

Najmanji zajednički nazivnik razlomaka u zadatku je:

Pomoć:

Izračunaj najmanji zajednički višekratnik svih nazivnika u zadatku.

Postupak:

V 2 , 4 , 8 = 8

Jediničnu dužinu podijelimo na

.

Pomoć:

Jediničnu dužinu poodijelimo na onoliko dijelova koliki je najmanji zajednički nazivnik svih razlomaka u zadatku.

Postupak:

V 2 , 4 , 8 = 8

Povuci točke i njihove koordinate na brojevni pravac.
Brojevni pravac od 0 do 2 na kojem su označene osmine i točke A, B, C i D.
A
B
C
D
11 8
1 2
7 4
7 8

Pomoć:

Iznad brojevnog pravca stavi ime točke (slovo), a ispod brojevnog pravca stavi njenu koordinatu (broj).

Postupak:

A 11 8  smjesti između 1 i 2 na treću osminu od 1 , B 1 2 smjesti između 0 i 1 na četvrtu osminu od 0 , C 7 8 smjesti između 0 i 1 na sedmu osminu od 0 i D 7 4 smjesti između 1 i 2 na šestu osminu od 1 .

Zadatak 7.

Ucrtaj točke A 3 2 , B 8 3 , C 2 1 6 i D 5 4 na brojevni pravac. Zadatak pokušaj riješiti samostalno u bilježnicu, a zatim provjeri svoje rješenje.

Jediničnu dužinu podijeli na dvanaestine jer je V 2 , 3 , 4 , 6 = 12 . Razlomke zapiši u obliku mješovitog broja i svedi na najmanji zajednički nazivnik. Uoči da su sve točke smještene između 1 i 3 na brojevnom pravcu. U tom slučaju, brojevni pravac ne trebaš crtati od nule, dovoljno je nacrtati dio brojevnog pravca od 1 do 3 radi bolje preglednosti.
Razlomci na brojevnom pravcu
Brojevni pravac od 1 do 3 kome su ucrtane dvanaestine te točke A, B, C, D i njihove koordinate

Zadatak 8.

Odredi koordinate točaka sa slike. Spoji parove.

Brojevni pravac na kojem je jedinična dužina podijeljena na šestine i ucrtane točke P, L, A i N. Slovo P je na drugoj točkici od broja 4. Slovo L je na petoj točkici od broja 4. Slovo A je na trećoj točkici od broja 5. Slovo N je na četvrtoj točkici od broj 5.
P
17 3
N
29 6
L
13 3
A
11 2

Pomoć:

Uočit ćeš da je jedinična dužina podijeljena na šestine i da su svi brojevi između 4 i 6 . Ucrtane koordinate zapiši u obliku mješovitog broja s nazivnikom  6 , zatim skrati do kraja i zapiši u obliku nepravog razlomka.

Postupak:

4 2 6 = 4 1 3 = 13 3

4 5 6 = 29 6

5 3 6 = 5 1 2 = 11 2

5 4 6 = 5 2 3 = 17 3

Decimalni brojevi na brojevnom pravcu

Primjer 2.

Ucrtaj na brojevni pravac točke A 5.6 , B 0.4 , C 6.7 , D 8.2 i F 3.5 . Zadatak pokušaj riješiti samostalno u bilježnicu, a zatim provjeri svoje rješenje.

U bilježnici je najlakše uzeti 10 mm za jediničnu dužinu, tada je desetina jedinične dužine 1 mm . Točka A je udaljena 6 mm ( 6 desetina) od broja 5 , točka B je udaljena 4 mm ( 4 desetine) od nule, točka C  je udaljena 7 mm ( 7 desetina) od broja 6 , točka D je udaljena 2 mm ( 2 desetine) od broja 8 i točka F je udaljena 5 mm ( 5 desetina) od broja 3 .

Decimalni brojevi na brojevnom pravcu
Brojevni pravac kome je jedinična dužina podijeljena na desetine, sa ucrtanim točkama A, B, C, D i F.

Ako decimalni brojevi imaju više decimala, možemo ih zaokružiti na jednu decimalu. Ako su brojevi jako blizu i brojevni pravac s jediničnom dužinom duljine 10 mm je nepregledan, za duljinu jedinične dužine možemo uzeti 10 cm , a decimalne brojeve zaokružiti na dvije decimale.

Zadatak 9.

Smjesti decimalne brojeve na pravo mjesto na brojevnom pravcu.

Brojevni pravac od 0 do 6 s označenim poljima za decimalne brojeve.
3.6
0.75
5.82
2.25
4.5

Pomoć:

Razmisli između kojih se najbližih cijelih brojeva nalazi zadani decimalni broj.

Zadatak 10.

Odredi koordinate točaka na brojevnom pravcu sa slike. Spoji parove.

Brojevni pravac od 2 do 6 sa ucrtanim točkama T, I, G, A, R. Slovo T nalazi se između brojeva 2 i 3. Slova I i G nalaze se između brojeva 3 i 4. Slova A i R nalaze se između brojeva 4 i 5.
R
3.31
G
2.7
T
4.85
A
4.5
I
3.5

Pomoć:

Odredi između kojih se najbližih cijelih brojeva nalazi zadani decimalni broj. Za brojeve, koji se nalaze između istih cijelih brojeva, odredi koji je broj manji.

Postupak:

2.7 je između 2 i 3 , 3.5 i 3.31 su oba između 3 i 4 , ali je 3.31 < 3.5 ,   4.5 i 4.85 su oba između 4 i 5 , ali je 4.5 < 4.85 .

Ako razlomci, koje želimo smjestiti na brojevni pravac, imaju preveliki zajednički nazivnik, zapišemo ih u obliku decimalnih brojeva, zaokružimo na jednu ili dvije decimale i tako smjestimo na brojevni pravac.

Praktična vježba

Podijelite se u razredu u grupe po troje ili četvero. Svatko neka zapiše na papirić (da drugi ne vide) jedan ili dva pozitivna racionalna broja. Otkrijte papiriće i ucrtajte brojeve na brojevni pravac. Odigrajte nekoliko krugova i napravite izložbu tako dobivenih brojevnih pravaca na razrednom panou.

Kutak za znatiželjne

Polovište dužine

Pokušaj samostalno riješiti sljedeće zadatke i zaključiti kako bi izračunali koordinatu polovišta dužine na brojevnom pravcu.

Koordinata točke A na brojevnom pravcu koja je jednako udaljena od točaka P 3 i S 4 je A (

) .

Pomoć:

Nacrtaj u bilježnicu brojevni pravac i na njemu označi točke P 3 i S 4 te razmisli gdje se nalazi točka koja je jednako udaljena od točaka P i S .

Rješenje izraza 3 + 4 : 2 je
.

Pomoć:

Zadatak riješi poštujući redoslijed računskih radnji.

Koordinata točke R na brojevnom pravcu koja je jednako udaljena od točaka B 2.8 i K 3.6 je R (

) .

Pomoć:

Nacrtaj u bilježnicu brojevni pravac i na njemu označi točke B 2.8 i K 3.6 te razmisli gdje se nalazi točka koja je jednako udaljena od točaka B i K .

Rješenje izraza 2.8 + 3.6 : 2 je
.

Pomoć:

Zadatak riješi poštujući redoslijed računskih radnji.

Koordinata točke I na brojevnom pravcu koja je jednako udaljena od točaka K 2 3 4 i T 3 1 4 je I (

) .

Pomoć:

Nacrtaj u bilježnicu brojevni pravac i na njemu označi točke K 2 3 4 i T 3 1 4 te razmisli gdje se nalazi točka koja je jednako udaljena od točaka K i T .

Rješenje izraza 2 3 4 + 3 1 4 : 2 je
.

Pomoć:

Zadatak riješi poštujući redoslijed računskih radnji.

Zaključimo.

Polovište dužine na brojevnom pravcu

Polovište dužine je točka na dužini koja je jednako udaljena od rubnih točaka te dužine. Neka rubne točke dužine A B ¯ imaju koordinate A x A i B x B . Koordinatu polovišta P x P dobijemo tako da izračunamo izraz x P = x A + x B : 2 što možemo zapisati i u obliku razlomka x P = x A + x B 2 .

Zadatak 11.

Zadane su koordinate točaka A i B na brojevnom pravcu. Izračunaj koordinate polovišta P dužine A B ¯ . Spoji parove.

A 3 1 2 , B 6.4
P 4 5 16
A 3 5 6 , B 29 4
P 4 19 20
A 3.8 , B 28 5
P 5 13 24
A 15 8 , B 6 3 4
P 4.7

Pomoć:

Nacrtaj u bilježnicu brojevne pravce i zadane točke. Izračunaj koordinate polovišta po formuli. Provjeri dobiveno rješenje na brojevnom pravcu.

Postupak:

Koordinate točaka A i B zapiši u obliku razlomka. Zbroji ih i dobiveno rješenje podijeli s 2 . Ili drugi način: uvrsti koordinate točaka A i B u formulu kao dvojni razlomak i riješi ga. Konačno rješenje zapiši u obliku mješovitog ili decimalnog broja.

...i na kraju

Ponovimo brojevni pravac kratkom procjenom znanja.

Procijenite svoje znanje

Povratak na vrh