x
Učitavanje

9.5 Piramide

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Piramide
Muzej Louvre

Na slici je prikazana jedna od najpopularnijih modernih piramida. Izgrađena je u Parizu, 80 -ih godina prošloga stoljeća, kao novi ulaz u Muzej Louvre. Sastoji se od 673 staklene plohe i visoka je 21.64 metara.

Pogledajte grafički prikaz prizme i piramide te pokušajte uočiti sličnosti i razlike između tih dviju vrsta geometrijskih tijela. Kao pomoć vam mogu poslužiti ključne riječi: konveksni mnogokut, baza, bridovi, pobočke, vrhovi...

Pomičući točke na piramidi mijenjajte izgled pripadne piramide i prizme. Služeći se alatom za 3D rotaciju grafičkog prikaza, proučite tijela iz različitih kutova gledanja.

Povećaj ili smanji interakciju

Piramida je poliedar (vrsta geometrijskog tijela) kojem je baza konveksni poligon, a sve ostale strane (pobočke) su trokuti sa zajedničkim vrhom, koji se zove vrh piramide. Sve pobočke zajedno tvore pobočje piramide.

Povezani sadržaji

Molekula amonijaka
Molekula amonijaka; izvor: https://pixabay.com/en/ammonia-nh3-chemistry-3d-atoms-1117246/

Molekularna geometrija opisuje trodimenzionalni raspored atoma u molekuli. Određena je nizom osobina supstance, među kojima su reaktivnost, polarnost, faza materije, boja, magnetizam i biološka aktivnost. Postoji 6 osnovnih tipova molekula: linearni, povijeni, trigonalno planarni, tetraedralni, oktaedralni i piramidalni. Primjer molekule koja ima piramidalni oblik je ​ NH 3 (amonijak).

Dijelovi piramide

Osnovni dijelovi piramide su baza ( B ) i vrh ( V ). Baza je konveksan poligon, a vrh piramide je točka koja leži izvan tog poligona. Pobočke ( P 1 , P 2 , . . . ) su trokuti koji spajaju osnovne bridove baze s vrhom. Broj pobočki jednak je broju osnovnih bridova. Sve pobočke zajedno tvore pobočje piramide. ​

Na slici su dane najčešće oznake kojima se koristimo kod označavanja dijelova piramide.

Dijelovi piramide
Dijelovi piramide

Zadatak 1.

Dovucite zadane dijelove piramide u tri skupine: strane, bridovi i vrhovi.

 Baza

 Strane

 Bridovi

 Vrhovi

null
null
Visina piramide

Visina piramide je udaljenost vrha piramide V od ravnine baze. Na slici je označena kao dužina V V 1 ¯ , gdje je V 1 ortogonalna projekcija vrha V na ravninu baze.

Piramida i njena mreža

Rastvorimo li piramidu, možemo uočiti da se njezina mreža sastoji od jedne baze koja je n -terokut i plašta koji čini n trokuta.

Vrste piramida

Piramide mogu biti trostrane, četverostrane, peterostrane, šesterostrane...

Trostrane piramide još se zovu i tetraedri.

Ilutracija piramide
Ilutracija piramide

Piramida je n -terostrana ako je njezina baza n -terokut.

Ponovno pogledajte prizmu i piramidu kojoj je baza četverokut pa odgovorite koliko kojih elemenata imaju.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 2.

  1. Četverostrana prizma:

    Baze
    Pobočke
    Strana
    Vrhova
    Bridova
    null
    null
  2. Četverostrana piramida:

    Baze
    Pobočke
    Strane
    Vrhova
    Bridova
    null
    null
  3. Kako glasi Eulerova formula ako s V označimo broj vrhova, B broj bridova i S broj strana poliedra?

    null
    null
  4. Vrijedi li Eulerova formula i za četverostranu piramidu?

    null
    null

Piramide mogu biti uspravne i kose.

Povećaj ili smanji interakciju
Uspravna piramida

Piramida čijoj se bazi može opisati kružnica i nožište visine pada u središte te kružnice naziva se uspravnom piramidom.

Kosa piramida

Piramida je kosa ako nije uspravna. 

Zanimljivost

Pojam uspravnosti veže se uz fizikalni pojam - gravitaciju. Uspravna piramida stoji u gravitacijskom polju ako joj je baza u vodoravnoj ravnini.

Pojam težišta tijela u fizikalnom smislu jest centar mase. On se kod homogenih tijela poklapa s geometrijskim težištem tijela.

Pravilna piramida

Piramida je pravilna ako joj je baza pravilni mnogokut i ako je uspravna (ortogonalna projekcija vrha na ravninu baze pada u središte opisane kružnice baze).

Zadatak 3.

Odaberi tvrdnje koje se odnose na svaki pravilni n -terokut.

null
null

Kod pravilnih mnogokuta središte ustvari čini središte upisane kružnice, središte opisane kružnice, težište  i centar simetrije.

Svi pobočni bridovi pravilne piramide jednakih su duljina.

Pravilna šesterostrana piramida s jednakim duljinama bridova

Pogledamo li pravokutni trokut koji čine polumjer opisane kružnice r , visina piramide h i pobočni brid b , možemo uočiti da vrijedi b = r 2 + h 2 .

Kako su svi takvi trokuti sukladni (prema teoremu S-K-S, zbog zajedničkih kateta i pravoga kuta), zaključujemo da su tada i svi pobočni bridovi jednakih duljina. ​

Projekt

Na čvršćem papiru (kartonu) konstruirajte jedankostranični trokut, kvadrat, pravilni peterokut, pravilni šesterokut... Konstruirajte središte upisane kružnice i središte opisane kružnice.

Trostrana piramida

Mreža trostrane piramide

Trostrana piramida je najmanji konveksni skup prostora koji sadrži četiri nekomplanarne točke. Ako je baza tetraedra jednakostranični trokut, a ortogonalna projekcija vrha je u središtu opisane kružnice baze, trostrana piramida je pravilna.

Zadatak 4.

Baza trostrane piramide je  . Trostrana piramida ima vrhova,   bridova i strana.
null
null
Karakteristični trokuti tetraedra
Karakteristični trokuti tetraedra

Primjer 1.

Pravokutni tetraedar

Svi bočni bridovi trostrane piramide s ravninom baze zatvaraju kut od 45 ° . Baza joj je pravokutni trokut s katetom duljine 12 centimetara i hipotenuzom duljine 20 centimetara.

Kolike su duljine bočnog brida i visine piramide?

Baza naše piramide je pravokutni trokut.

Poznate su nam duljina jedne katete a = 12 cm i hipotenuze c = 20 cm . Uz pomoć Pitagorinog poučka lako odredimo duljinu druge katete,

b = c 2 - a 2 = 20 2 - 12 2 = 400 - 144 = 256 = 16 .

Uočimo sada trokut A D E . I on je pravokutan, s pravim kutom kod vrha E , a kutom od 45 ° kod vrha A .

Analogno, i trokuti B D E i C D E su pravokutni, s jednakim kutovima i jednakim duljinama hipotenuze (sva su tri sukladna). Stoga je točka E središte pravokutnom trokutu A B C opisane kružnice.

Kako je poznato da se to središte nalazi na polovištu hipotenuze, zaključujemo da je A E ¯ = E B ¯ = 10 cm , što je ujedno i visina piramide (jednakokračni pravokutni trokut A E D ).

Dakle, h = 10 cm .

Koristeći se sada trigonometrijom pravokutnog trokuta, bočni brid možemo odrediti iz relacije

sin 45 ° = h b bm tj. ​ b b = h sin 45 ° = 10 2 2 = 10 2 cm .

Zadatak 5.

Kolika je visina trostrane piramide kojoj je baza trokut sa stranicama duljine 13 , 14 i 15 centimetara, a svi su bočni bridovi prema ravnini baze priklonjeni pod kutom od 70 ° ?

Površinu baze možemo odrediti po Heronovoj formuli.

B = s · s - a · s - b · s - c = 84 cm 2

Služeći se formulom za površinu trokuta B = a b c 4 R , možemo odrediti polumjer opisane kružnice baze.

R = 8.125 cm

Kako su svi bočni bridovi nagnuti pod istim kutom, svi trokuti koje čine visina, polumjer opisane kružnice i bočni brid sukladni su i pravokutni. Primjenom trigonometrije pravokutnog trokuta možemo odrediti visinu piramide.

h = R · tg 70 °

h = 22.32   cm


Kolika je visina trostrane piramide kojoj je baza trokut sa stranicama duljine 13 , 14 i 15 centimetara, a sve pobočke su prema ravnini baze priklonjene pod kutom od 70 ° ?

B = s · s - a · s - b · s - c = 84 cm 2

Koristeći se formulom B = ρ · s , možemo odrediti polumjer upisane kružnice baze

ρ = 4 cm .

S pomoću trigonometrije pravokutnog trokuta možemo odrediti visinu piramide:

h = ρ · tg 70 °

h = 10.99   cm


Četverostrana piramida

Mreža četverostrane piramide

Baza četverostane piramide je četverokut (kvadrat, pravokutnik, romb, paralelogram, deltoid i dr.). Ako se radi o kvadratu, a ortogonalna projekcija vrha je u sjecištu dijagonala, piramida je pravilna. Mreža četverostane piramide sastoji se od četverokuta i četiriju trokuta. Kod pravilne piramide sva četiri trokuta koja čine pobočje sukladna su.

Zadatak 6.

Baza četverostrane piramide može biti bilo kakav . Četverostrana piramida ima  vrhova, bridova i   strana.
null
null

Karakteristični trokuti pravilne četverostrane piramide

Karakteristični trokuti četverostrane piramide
Karakteristični trokuti četverostrane piramide

Primjer 2.

Pravilna četverostrana piramida

Površina pobočja pravilne četverostrane piramide dva puta je veća od površine njezine baze. Odredimo kut koji zatvaraju pobočke s ravninom baze.

Označimo li duljinu stranice kvadrata slovom a , a visinu pobočke s v 1 , iz uvjeta zadatka da je površina pobočja dva puta veća od površine baze slijedi 4 · a · v 1 2 = 2 a 2 , tj ​ a = v 1 .

U pravokutnom trokutu V V 1 G imamo V 1 G = a 2 i V G = v 1 = a , što možemo povezati trigonometrijskom vrijednosti šiljastog kuta ​ cos α = a 2 v 1 = a 2 a = 1 2 , iz čega slijedi da je kut α = 60 ° .

Zadatak 7.

Odredite visinu pravilne četverostrane piramide kojoj baza ima površinu​ 49 cm 2 , a površina dijagonalnog presjeka je 35 cm 2 .

a = 7 cm

v 1 = 5 2 cm

h = 5 2 2 - 7 2 2 = 151 2


Šesterostrana piramida

Mreža šesterostrane piramide

Baza šesterostrane piramide je šesterokut, a pobočje se sastoji od šest trokuta. Kod pravilne šesterostrane piramide baza je šesterokut sastavljen od šest jednakostraničnih trokuta, a pobočje se sastoji od šest sukladnih trokuta.

Zadatak 8.

 Baza šesterostrane piramide je . Šesterostrana piramida ima   vrhova,  bridova i  strana.
null
null
Karakteristični trokutovi pravilne šesterostrane piramide
Karakteristični trokuti pravilne šesterostrane piramide

Primjer 3.

Pravilna šesterostrana piramida

Površina pobočke pravilne šesterostrane piramide iznosi ​ 12 cm 2 , a duljina osnovnog brida baze iznosi ​ 4 cm . Koliko iznosi visina piramide?

Pobočka je jednakokračni trokut sa stranicom a = 4 cm i visinom v 1 .

Kako je njezina površina 12 cm 2 , možemo odrediti duljinu visine pobočke v 1 = 6 cm .

Iz pravokutnog trokuta V I D možemo odrediti duljinu bočnog brida b = v 12 + a 22 = 36 + 4 = 40 = 210 cm .

Iz pravokutnog trokuta ​ V V 1 D primjenom Pitagorinog poučka možemo odrediti visinu piramide

h = b 2 - a 2 = 40 - 16 = 24 = 2 6 cm .

Zadatak 9.

Veći dijagonalni presjek pravilne šesterostrane piramide je jednakostranični trokut s duljinom stranice 6 centimetara. Odredite visinu te piramide te kut pobočke i ravnine baze.

Šesterostrana piramida

a = 3 cm

b = 6 cm

h = b 2 - a 2 = 36 - 9 = 27 = 3 3 cm

v a = 3 3 2

tg α = 3 3 3 3 2

α = 63 ° 26 ' 6 ' '


Kutak za znatiželjne

Trokut je najmanji konveksni skup u ravnini koji sadrži tri nekolinearne točke. Tetraedar je najmanji konveksni skup prostora koji sadrži četiri nekomplanarne točke. Tetraedar je objekt u prostoru analogan trokutu u ravnini.

Svaki konveksni poligon može se rastaviti na konačan broj trokuta. Analogno, svaki konveksni poliedar može se rastaviti na konačan broj tetraedara.

Postoje još mnoge analogije vezane uz trokut i tetraedar. Jedan primjer je Pitagorin poučak. Za pravokutni trokut vrijedi​ c 2 = a 2 + b 2 , dok za pravokutni tetraedar vrijedi P D 2 = P A 2 + P B 2 + P C 2 . Istražite taj i slične analogone te provjerite njihovu točnost.

Projekt

Svakoj pravilnoj piramidi može se upisati i opisati kugla. Središte tih kugli je težište piramide.  Tu činjenicu je teško pokazati u prostoru (pokušajte), ali analogon u ravnini može se lijepo predočiti. Napravite plakat na kojem ćete konstruirati jednakostranični trokut, kvadrat, pravilni šesterokut ili neki drugi pravilni lik, pa im konstruirajte upisanu i opisanu kružnicu.

...i na kraju

Za kraj, posložite ključne pojmove vezane uz piramide u tri skupine.

Razvrstajte ključne pojmove u skupine kojima pripadaju.

 Uspravna piramida

 Osnovni dijelovi piramide

 Vrste piramida prema bazi

Vrste piramida prema položaju ortogonalne projekcije vrha na bazu

null
null

Idemo na sljedeću jedinicu

9.6 Oplošje piramide