x
Učitavanje

9.4 Obujam prizme

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

spremnik za hranu u obliku prizme

Kupili ste hranu za svog kućnog ljubimca. Želite presipati hranu iz vrećice u spremnik za hranu oblika prizme, ali ne znate je li spremnik dovoljno velik da primi sav sadržaj vrećice.

kanta za smeće

U kući ste zaduženi za iznošenje smeća. Iznijeli ste smeće, ali nema vrećice za kantu. Vrećice nije problem kupiti, trgovina je preko puta. U trgovini vidite različite vrećice, na kojima piše 15 l , 30 l , 60 l ...

Koju vrećicu kupiti?

Vratili ste se kući, ali na kanti nema oznake. Što sada?

Da bismo našli rješenja, moramo prvo mjeriti, a zatim izračunati koliko sadržaja spremnik ili kanta mogu primiti. Veličina koja nam govori koliko nečega stane u posudu je volumen.

Mjerne jedinice

Zanimljivost

„Mjeriteljstvo je znanost o mjerenju. Mjeriteljstvo obuhvaća mjerne jedinice i njihove etalone, mjerila i njihovo područje primjene te sve teoretske i praktične probleme vezane s mjerenjem. Mjeriteljstvo se u biti dijeli na tri glavna područja: zakonsko mjeriteljstvo, znanstveno mjeriteljstvo i industrijsko mjeriteljstvo. Znanstveno mjeriteljstvo je dio mjeriteljstva koji se bavi problemima koji su zajednički za sva mjeriteljska pitanja, bez obzira na mjerenu veličinu. Ono obuhvaća opće teoretske i praktične probleme koji se tiču mjernih jedinica, uključujući njihova ostvarenja i njihovo prenošenje znanstvenim metodama, probleme mjernih pogrješaka i nesigurnosti te probleme mjeriteljskih svojstava mjerila.“

Preuzeto sa stranica Državnog zavoda za mjeriteljstvo - http://www.dzm.hr/o_mjeriteljstvu

Volumen se mjeri u mm 3 , cm 3 , dm 3 , m 3 , . . . , ali i u l , dl ...

Prisjetite se pretvaranja mjernih jedinica za volumen s pomoću sljedeće interakcije.

Uparite jednake volumene.

10 mm 3
0.01 m 3
0.1 dm 3  
1 dl
10 l
0.1 cm 3
null
null

Volumen prizme

Zamislite nastanak prizme na sljedeći način:

Skup nastalih točaka je prizma.

Nastanak prizme pogledajte u sljedećoj animaciji.

Povećaj ili smanji interakciju

Sad je očito da je svaki presjek prizme ravninom paralelnom s bazom sukladan s bazom prizme.

Prisjetimo se Cavalierijeva principa za tijela:

Ako se dva geometrijska tijela nalaze između dviju paralelnih ravnina i svaka ravnina paralelna tim ravninama siječe tijela tako da presjeci imaju istu površinu, tada tijela imaju jednake volumene. 

Stoga sve prizme jednakih visina i baza jednakih površina imaju isti volumen, odnosno volumen ovisi samo o površini baze i visini prizme.

Ako je površina baze prizme B , a visina prizme h , tada volumen prizme računamo kao umnožak površine baze B i visine prizme h .

V = B · h  

Primjer 1.

Ako je volumen prizme 200 mm 3 , a visina 0.005 cm , kolika je površina baze prizme?

Iz volumena i visine možemo izračunati bazu. Moramo samo "ujednačiti" mjerne jedinice.

V = 0.2 cm 3

h = 0.005 cm

B = V h = 0.2 0.005 = 40 cm 2

Primjer 2.

akvarij

Jedna trgovina odlučila je kupiti akvarij u obliku kvadra kako bi uljepšala prostor. Površina na koju žele postaviti akvarij je 2000 cm 2 . Žele akvarij od barem 100 l kako bi održavanje bilo lakše.

Koliko visok treba biti akvarij?

Prvo ćemo litre preračunati u dm 3 .

V = 100 l= 100 dm 3

B = 2 000 cm 2 = 20 dm 2

Sad će i visina biti u decimetrima.

h = V B = 100 20 = 5 dm

Visina akvarija bit će pola metra.

Volumen kocke i kvadra

Volumen kocke osnovnog brida a je:

V = a 3 .

Volumen kvadra čije su dimenzije a , b i h je:

V = a · b · h

Primjer 3.

Skladištenje i problem volumena

Koliko kocaka brida duljine 2 cm stane u kutiju u obliku kvadra dimenzija 20 cm puta 10 cm i visine 8 cm ?

Da bismo odgovorili na to pitanje, trebamo izračunati volumen kocke i kvadra.

V K O C K E = a 3 = 2 3 = 8 cm 3

V K V A D R A = 20 · 10 · 8 = 1 600 cm 3

Sad još trebamo podijeliti volumen kvadra s volumenom kocke:

n = 1 600 8 = 200

Odgovor je: 200 kocaka.

To je problem koji se pojavljuje kod skladištenja i prijevoza tereta kontejnerima.

Zadatak 1.

Kocke

Ako se osnovni brid kocke poveća za 10 % , koliko je povećanje volumena u postocima?

Povećanje volumena je za 33.1 % .


Zadatak 2.

Problem s kokicama

Kino je dizajniralo dvije vrste vrećica za kokice u obliku kvadra i obje imaju isti volumen - 96 kubnih mjernih jedinica. Jedna ima dimenzije baze 3 i 4 , a druga 4 i 4 mjerne jedinice. Izračunajte visinu obiju vrećica. Ako kino želi smanjiti količinu papira za izradu vrećica, koji model treba odabrati?

Visina prve vrećice je 8 , a druge 6 mjernih jedinica.

Oplošje bez gornje baze prve vrećice je 124 , a druge 112 kvadratnih jedinica.

Kino treba odabrati drugu vrstu vrećica kako bi uštedjelo na papiru.


U sljedećoj interakciji uvježbajte računanje oplošja i volumena kvadra različitih dimenzija.

Povećaj ili smanji interakciju

Primjer 4.

Mozgalica

Za kraj - mozgalica.

Imamo kocku koja je sastavljena od 125 manjih kocaka dimenzija 1 × 1 × 1 . Iz kocke su nakon toga uklonjene manje kocke na način prikazan na slici, i to ne samo vanjske nego i unutarnje, prema istom uzorku.

Koliki je postotak volumena početne kocke ostao nakon što smo uklonili 15 stupaca?

Rješenje je 54.4 % .

Objasnite postupak.

Trostrana prizma

Trostrana prizma za bazu ima trokut. Baza može biti raznostraničan, jednakokračan, jednakostraničan i pravokutan trokut.

Volumen trostrane prizme je umnožak površine baze i visine.

V = B · h

Površinu baze koja je raznostraničan trokut sa stranicama a , b i c možemo izračunati s pomoću Heronove formule:
B = s s - a s - b s - c , gdje je s = a + b + c 2 .

Površinu baze koja je pravokutan trokut s katetama a i b možemo izračunati s pomoću osnovne formule, prema kojoj je površina polovica umnoška stranice i visine na tu stranicu. Katete pravokutnog trokuta međusobno su okomite, tj. jedna drugoj su visina.

B = a · b 2

jednakokračni trokut

Površinu baze trostrane prizme koja je jednakokračan trokut sa zadanom osnovicom i krakovima računamo s pomoću Pitagorinog poučka.

Prvo računamo visinu trokuta s pomoću osnovice i kraka:

v = b 2 - a 2 2

Površina baze je:

B = a · v 2

Površinu smo mogli izračunati na isti način preko visine na krak.

jednakostraničan trokut

Površinu baze koja je jednakostraničan trokut sa zadanom duljinom stranice možemo također izračunati koristeći se Pitagorinim poučkom.

Prvo računamo visinu tokuta:

v = a 2 - a 2 2 = 3 a 2 4 = a 3 2

Sad možemo izračunati površinu baze:

B = a · a 3 2 2 = a 2 3 4

Volumen pravilne trostrane prizme je:

V = a 2 · 3 4 · h

Uvježbajte računanje volumena i oplošja pravilne trostrane prizme u sljedećoj interakciji.

Povećaj ili smanji interakciju

Primjer 5.

trostrana uspravna prizma - dimenzije

Za prizmu čija baza je pravokutan trokut izračunajmo volumen. Kako je baza pravokutan trokut, za računanje površine baze trebamo dvije katete. Imamo jednu katetu i hipotenuzu. Označimo li katetu koju trebamo izračunati s a , imamo:

a = 13 2 - 5 2 = 144 = 12

Sad možemo izračunati površinu baze.

B = a × b 2 = 12 × 5 2 = 30

Volumen je umnožak baze i visine.

V = 30 × 4 = 120

Zadatak 3.

Posudu u obliku prizme s bazom raznostraničnim trokutom želimo upotrijebiti kao dar za rođendan. Posudu ćemo ispuniti čokoladama čiji je volumen 10 cm 3 .

Ako baza posude ima stranice duljine 2 , 5 i 6 cm , a visina posude je 15 cm , koliko čokoladica trebamo kupiti da pripremimo naš poklon?

s = 2 + 5 + 6 2 = 13 2 = 6.5 cm

B = 6.5 · 6.5 - 2 · 6.5 - 5 · 6.5 - 6 = 3 39 4 cm 2

V = 3 39 4 · 15 = 45 39 4 cm 3

U našu posudu stane 7 čokoladica.

Izračunavanje volumena i oplošja trostrane prizme kojoj je baza raznostraničan trokut uvježbajte u sljedećoj inetrakciji.

Povećaj ili smanji interakciju

Volumen prizmi različitih baza

Zadatak 4.

kalup za kolače - dimenzije

Mama je odlučila isprobati novi recept za kolač. Napravila je smjesu i tek tada vidjela da u receptu piše kako kolač treba ispeći u kalupu oblika kvadra dimenzija 20 cm puta 15 cm i visine 10 cm . Ali ona nema takav kalup. Ima samo ovaj koji vidimo na slici.

Je li taj kalup dovoljno velik da u njemu ispeče kolač?

Volumen prve posude je volumen kvadra i iznosi 3 000 cm 3 . Druga posuda je prizma kojoj je baza jednakokračni trapez. Njezin volumen je 1 500 cm 3 . Mama će kolač morati peći dvaput, jer je volumen njezina kalupa dva puta manji od predviđenog u receptu.


Zadatak 5.

Šesterostrana prizma

Izračunajte volumen šesterostrane pravilne prizme ako je osnovni brid 5 m , a visina prizme 7 m .

Šesterokut - bazu prizme možemo podijeliti na šest jednakostraničnih trokuta, čiju površinu možemo izračunati.

Površina baze je:

B = 6 · a 2 3 4 = 3 2 · 5 2 · 3 = 75 3 2 m 2

Sad računamo volumen.

V = 75 3 2 · 7 454.67 m 3  


...i na kraju

Sad možemo odgovoriti na pitanja s početka. Kantu za smeće treba izmjeriti. Njezine dimenzije baze i visinu.

Pretpostavimo da su dimenzije baze 20 i 30 cm . Visina neka je 40 cm .

Volumen kante je 24 000 cm 3 .

Vrećice su u litrama, dakle trebamo volumen kante preračunati u litre. Znamo da je 1 dm 3 = 1 l .

V = 24 000 cm 3 = 24 l

Vrećica koja je najbliža volumenu kante je ona od 30 l , pa tu vrećicu trebate kupiti.

Drugi problem pokušajte sami rješiti.

Za kraj, pogledajte kako u GeoGebri možete sami nacrtati geometrijsko tijelo i pogledati ga s raznih strana.

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

27 kockica složeno je u jednu veliku kocku. Ako uklonimo kocku na jednom od vrhova, kako će se promijeniti oplošje velike kocke?

null
null
2

Prije slanja paketa u obliku kocke trebate ga zamotati. Brid paketa je 2 dm . Kolika je površina papira koji vam treba za zamatanje?

null
null
3

Ako se brid kocke udvostruči, što će se dogoditi s oplošjem?

null
null
4

Od 88 kocaka formirali smo ovu kocko-kuglu. Oplošje novog tijela je za 384 manje od zbroja oplošja početnih 88 kocaka. Izračunajte ukupno oplošje kocko-kugle.
Kocka kugla
null
5
Ako brid kocke povećamo za 20 % , koliki je postotak povećanja oplošja?

 

null
6
Površina baze kvadra je 1024 , a površine pobočki su 81 i 49 . Izračunajte volumen kvadra.
null
7
Iz metalne poloče dimenzija 48 cm i 36 cm sa svakog vrha izrezani su dijelovi u obliku kvadrata od 8 cm . Zatim je napravljena kutija. Koliki je volumen kutije?
null
null
8

Kocka leda brida 1008 jedinica potopljena je u posudu oblika kocke. Razina vode u posudi podigla se za 252 jedinice. Koliki je brid posude?
Pokus
null
null
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

9.5 Piramide