x
Učitavanje

9.4 Primjena na pravokutni trokut

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Problemi s pravokutnim trokutom

Svaki problem iz animacije može se riješiti primjenom trigonometrije na pravokutan trokut. Najprije je potrebno uočiti pravokutan trokut i zadane veličine. Ali počnimo redom i ponovimo trigonometrijske omjere za različito označene pravokutne trokute.

Ponovimo trigonometrijske omjere

Primjer 1.

Različito označeni pravokutni trokuti
Slika 1.

Za svaki pravokutni trokut odredimo trigonometrijske omjere šiljastog kuta označenog na slici.

Povežite nazive i oznake stranica s obzirom na kut α (Slika 1.).

j
k
l  
null
null

Sinus kuta α je omjer duljina

 
i
 
.

hipotenuze
nasuprotne katete

null
null

sin α =

null
null

Zadatak 1.

Odredite preostale trigonometrijske omjere označenih kutova u trokutima na Slici 1.

sin α = l j cos α = k j tg α = l k
sin β = d e cos β = f e tg β = d f
sin γ = i h cos γ = g h tg γ = i g
sin δ = n m cos δ = o m tg δ = n o

Rješavanje pravokutnog trokuta

Riješiti pravokutan trokut znači izračunati stranice i kutove koji su nepoznati. Pri rješavanju koristimo se Pitagorinim poučkom i trigonometrijskim omjerima zadanog kuta. Upotrebljavamo uobičajene oznake kako slijedi: c hipotenuza, a  i b katete, α i β kutovi nasuprot katetama a  i b  redom.

Mogu se pojaviti četiri osnovna slučaja:

Svaki slučaj razmotrimo posebno.

Primjer 2.

Trokut kojemu su zadani hipotenuza i kut.

Zadana je hipotenuza. Najprije računamo katetu a koja je s obzirom na kut α nasuprotna. Koji trigonometrijski omjer povezuje nasuprotnu katetu i hipotenuzu? To je sinus. Pišemo:

sin α = a c a = c · sin α .

Zatim računamo katetu b koja je s obzirom na kut α priležeća. Koji trigonometrijski omjer povezuje priležeću katetu i hipotenuzu? To je kosinus. Pišemo:

cos α = b c b = c · cos α .

Kutovi α i β su komplementarni pa je α + β = 90 β = 90 - α .

Primjer 3.

Trokut u kojemu su zadani kut i nasuprotna kateta.

Zadana kateta je s obzirom na kut β priležeća.

Najprije ćemo izračunati katetu b koja je s obzirom na kut β nasuprotna. Koji trigonometrijski omjer povezuje nasuprotnu i priležeću katetu? To je tangens. Pišemo:

tg β = b a b = a · tg β .

Odredimo hipotenuzu c . Koji trigonometrijski omjer povezuje priležeću katetu i hipotenuzu? To je kosinus. Pišemo:

cos β = a c c = a cos β .

Odredimo i kut α :

α + β = 90 α = 90 - β .

Primjer 4.

Trokut u kojem su zadani kateta i hipotenuza

Računamo katetu a i oba šiljasta kuta.

Odredimo najprije katetu a : a 2 + b 2 = c 2 a = c 2 - b 2 .

Odredimo kut α . S obzirom na kut α zadane su:

null
null

Koji trigonometrijski omjer povezuje priležeću katetu i hipotenuzu?

null
null

Pišemo:

null
null

Kutovi  α i β su komplementarni pa je α + β = 180 β = 180 - α .

null
null

Primjer 5.

Trokut u kojemu su zadane obje katete.

Izračunajmo hipotenuzu: a 2 + b 2 = c 2 c = a 2 + b 2 .

Odredimo kut α . S obzirom na kut α zadane su

 
a i
 
b .

priležeća kateta
nasuprotna kateta

null
null

Nasuprotnu i priležeću katetu povezuje

null
null

Pišemo:

null
null

α + β = 90 β = 90 - α

null
null

Zadatak 2.

Primjena trigonometrijskih funkcija na pravokutan trokut.Zadane su karaća kateta od 13 cm i hipotenuza od 23 cm.

Za pravokutan trokut sa slike izačunajte kutove i stranicu d .

Zadane su hipotenuza i s obzirom na kut θ priležeća kateta. Priležeću katetu i hipotenuzu povezuje kosinus.

cos θ = 13 23 θ = cos - 1 13 23 = 55 34 ' 57 "

δ = 90 - θ = 34 25 ' 3 "

d = 23 2 - 13 2 = 6 10 18.97


Primjer 6.

U nastavku pogledajte videozapis u kojem se rješava još jedan primjer.

Zadatak 3.

Na slici je pravokutni trokut s uobičajenim oznakama.

Za zadane elemente zapišite u bilježnicu formule kojima se računaju nepoznati elementi. Uparite zadatak i odgovor.

​Zadani su hipotenuza i kut α . Odredite katete .
α = cos - 1 b c
Zadani su kateta a i kut uz nju.
Izračunajte drugu katetu i kut.
b = c · cos α
Zadane su hipotenuza i kateta b .
Izračunajte drugu katetu i oba kuta.
α = 90 - β   ​
null
null

Primjena trigonometrijskih omjera na pravokutan trokut u svakodnevnim situacijama

U uvodu smo vidjeli četiri situacije iz života na kojima možemo prepoznati pravokutan trokut i njegove poznate i nepoznate elemente.

Problemske situacije zahtijevaju rad u nekoliko koraka.

  1. ​Pročitati problem do kraja.
  2. Pročitati ponovno i nacrtati sliku, crtež, skicu.
  3. Povezati sliku sa zadanim podatcima i označiti ih na slici.
  4. Zapisati sve što nije na slici, a moglo bi pomoći u rješavanju.
  5. Zapisati nepoznate veličine, tj. ono što se traži.
  6. Zapisati formule koje povezuju poznate i nepoznate veličine.
  7. Izračunati nepoznate veličine s pomoću algebre.

Riješimo nekoliko primjera.

Primjer 7.

Na slici je prikazan problem određivanja visine oblaka u zračnim lukama

Meteorolozi u zračnim lukama prate vrijeme da bi osigurali sigurnost slijetanja i polijetanja zrakoplova. Jedno od obilježja koje mjere jest visina oblaka. Ako su oblaci prenisko, zrakoplovima nije dopušteno slijetanje i uzlijetanje. Jedan od načina mjerenja jest reflektor postavljen tako da baca svjetlo okomito prema nebu, a nalazi se na fiksnoj udaljenosti od ureda meteorologa. Zatim se mjeri kut elevacije svjetlosne točke na oblaku. Kut elevacije je kut između svjetlosne točke na oblaku i horizonta pod kojim se svjetlo reflektora na oblaku vidi s tla. Koristeći se trigonometrijom, možemo utvrditi visinu oblaka.

Primjer: Reflektor je postavljen 200 m od ureda. Izmjeren je kut elevacije svjetlosne točke od 35 . Kolika je visina oblaka?

Nakon što smo problem pročitali, pokušajmo ga nacrtati.

Zadan je kut i priležeća kateta, a traži se nasuprotna kateta. Koji trigonometrijski omjer povezuje te elemente?

tg 35 = x 200 x = 200 · tg 35 = 140.042 m

Oblak se nalazi na približno 140 metara visine.

Primjer 8.

Njihalo i maksimalna visina-prikaz problema iz zadataka.

Njihalo duljine 30 cm njiše se pod maksimalnim kutom od 30 . Kolika je razlika u visini s obzirom na visinu u ravnotežnom položaju koju pritom njihalo postiže?

Uočimo pravokutan trokut s hipotenuzom l , kutom β i priležećom katetom l - h .

Hipotenuzu i priležeću katetu povezuje kosinus.

cos β = l - h l

l · cos β = l - h h = l · 1 - cos β

h = 30 · 1 - cos 30 = 4.02 cm

Razlika je približno 4 cm .

Zadatak 4.

Ski lift iz zadataka.

Nalazimo se u podnožju skijaškog dizala. Kut elevacije pod kojim se vidi vrh na koji dizalo vodi jest  25 . Koliko je duga žica koja povezuje podnožje i vrh ako su vrh i podnožje horizontalno udaljeni 5 km ?

U pravokutnom trokutu zadani su kut i priležeća kateta, a traži se hipotenuza.

cos 25 = 5 c c = 5 cos 2 5 = 5.52 km

Duljina žice je oko 5.5 km .


Zanimljivost

Na slici je Georg Joachim Rheticus.
Georg Joachim de Porris, Rheticus (1514. – 1574.)

Georg Joachim de Porris, Rheticus (1514. – 1574.) bio je matematičar, kartograf, izrađivao je navigacijske uređaje i radio kao učitelj.

Većinu života posvetio je proučavanju trokuta i to posebno grane koja se danas naziva trigonometrija. Godine 1551. objavio je letak „Canon of the Science of Triangles” u kojem su bile napisane tablice s trigomometrijskim omjerima (iako tada još nije bila u upotrebi riječ trigonometrija). Letak je bio samo uvod u veće djelo koje je završio njegov učenik Valentinus Otho. Kada je završen, 1596., „Opus platinum de triangulis” imao je 1 500 stranica i podatke toliko precizne da su se njima koristili u astronomskim računanjima sve do ranoga dvadesetog stoljeća.

Riješimo uvodne probleme.

Zadatak 5.

Na slici je nagib koji motorist treba savladati.

Motorist vozi stazom dugom 250 m i pritom savlada razliku u nadmorskoj visini od 20 m . Koji kut nagiba treba savladati?

Označimo duljinu staze sa s = 250 i visinu s h = 20 . Duljina staze je hipotenuza, a visina je s obzirom na kut α nasuprotna kateta. Povezuje ih sinus:

α = sin - 1 h s = 4 ° 35 ' 19 " .

Motociklist treba savladati kut od 4 ° 35 ' .


Zadatak 6.

Na slici je kuća s kosim krovom.

Širina zgrade je 9 m , a nagib krova je 35 ° . Kolika je duljina stranice krova?

Označimo širinu zgrade s d = 9 . Polovica širine zgrade je s obzirom na zadani kut priležeća kateta, a nepoznata je hipotenuza. Priležeću katetu i hipotenuzu povezuje kosinus:

cos 35 ° = d 2 x x = d 2 cos 35 ° = 5.5

Duljina stranice krova iznosi 5.5 m .


Zadatak 7.

Na slici su stepenice.

Stepenicama treba savladati nagib od 28 ° .

  1. Visina jedne stepenice je 16 cm . Kolika je duljina gazišta stepenice?
  2. Stepenice su ugodne za penjanje ako je 61 2 v + d 65, gdje je v visina, a d duljina gazišta. Koje su moguće duljine gazišta ako želimo savladati nagib od 28 ° i imati stepenice ugodne za penjanje.
  1. Visinu i duljinu gazišta s obzirom na zadani kut povezuje tangens pa je x = v tg 28 ° = 30.1 .

  2. Izrazimo visinu pomoću duljine gazišta pa uvrstimo u zadanu nejednadžbu:

    v = d tg 28 °

    61 2 d tg 28 ° + d 65

    61 d 1 + 2 tg 28 ° 65

    61 1 + 2 tg 28 ° d 65 1 + 2 tg 28 °

    29.6 d 31.5 .

    Duljina gazišta je između 29.6 cm i 31.5 cm .


Zadatak 8.

Na slici je kuća i vatrogasne ljestve s kojih vatrogasac gasi požar.

Kuća je visoka 9 m , a vatrogasno vozilo 3 m . Ljestve su duljine 9 m . Pod kojim kutom treba postaviti vatrogasne ljestve?

β = 41 ° 48 ' 37 "   ​


Kutak za znatiželjne

Riješite zadatak:

U pravokutnom su trokutu iz vrha pravog kuta povučene visina i težišnica. Omjer njihovih duljina iznosi 12 : 13 . Odredite kutove tog pravokutnog trokuta.

56 ° 18 ' 36 " i 33 ° 41 ' 24 "


...i na kraju

Zanimljivost

Na slici je sunčani sat.

Gnomon (grč. pokazivač, pokazatelj, kazaljka na sunčanom satu), najjednostavniji je oblik sunčanika (sunčanog sata) te jedan od najstarijih astronomskih instrumenata. Sastoji se od štapa vertikalno zabodenog u vodoravnu podlogu. Služi za određivanje mjesnoga Sunčeva vremena i orijentaciju na horizontu.

Projekt

Na slici je pravokutni trokut čije su katete gnomon i sjena.

Izmjerite visinu Sunca pomoću gnomona. Upute za izradu gnomona možete naći na stranici Mjerenje visine Sunca.

Mjerite duljinu sjene štapa od 10 sati do 14 sati zimskog vremena, odnosno od 11 sati do 15 sati ljetnog vremena, svakih 10 minuta. Računajte visinu Sunca u stupnjevima (kut α ). Prikažite grafički duljinu sjene i visinu Sunca u ovisnosti o vremenu.

Istražite kako s pomoću dobivenih visina Sunca možete odrediti trenutak pravog mjesnog podneva. Ponavljajte pokus više dana zaredom i pratite kako se mijenja trenutak pravog mjesnog podneva. Prikažite dobivene podatke grafički.

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Povežite trigonometrijske omjere i postupak računanja.

kosinus kuta
Omjer priležeće katete i hipotenuze.
sinus kuta
Omjer nasuprotne i priležeće katete.
 tangens kuta
Omjer nasuprotne katete i hipotenuze.
null
null
2

Odredite sinus kuta β za trokut na slici.

kviz 2

null
null
3

Za trokut sa slike uparite trigonometrijske omjere s omjerima pripajućih stranica.

kviz 2

cos γ  
m l   ​
sin γ   
  ​ k l  
tg β
k m   ​
null
null
4

Kut β  (na trokutu sa slike) jednak je:

kviz 3

null
null
5

Vrijednosti trigonometrijskih omjera nisu iste za sve slične trokute.

null
null
6

Ako je u pravokutnom trokutu omjer priležeće katete kutu β i hipotenuze 0.4 , onda je α :

null
null
7

Koliki je manji šiljasti kut pravokutnog trokuta ako je duljina jedne katete 33 cm , a hipotenuze 45 cm ?

null
null
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

9.5 Primjena u planimetriji