x
Učitavanje

9.2 Računanje trigonometrijskih omjera

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Na slici je obelisk na Trgu svetog Petra u Vatikanu.

Na slici je obelisk u Vatikanu na Trgu svetog Petra. Visina je obeliska 25.5 metara. Koliki je kut pod kojim Sunčeve zrake bacaju sjenu na trg ako je duljina sjene 18.7 metara? Kako iz poznatih duljina stranica dobiti kut? U ovoj ćemo jedinici iz poznatog kuta određivati trigonometrijske omjere i obratno.

Trigonometrijski omjeri kuta veličine 30 °

Zadatak 1.

Odgovorite na pitanja o jednakostraničnom trokutu.

  1. Jednakostraničnim trokutima veličine su svih kutova jednake i iznose  °. Jednake su im i duljine svih triju .
    null
    null
  2. Prisjetite se formula za računanje opsega, površine i visine jednakostraničnog trokuta sa stranicom duljine a . Povežite odgovarajuće pojmove i formule.

    opseg, o =
    a 2 3 4   ​
    visina, v =  
    3 a   ​
    površina, P =  
    a 3 2   ​
    null
    null
  3. Ako jednakostraničan trokut podijelimo visinom na stranicu, dobijemo dva:

    null
    null
  4. Manji šiljasti kut dobivenog trokuta veličine je  °, a veći  °.
    null
    null

Označimo jednakostranični trokut.

Jednakostraničan trokut podijeljen visinom na dva pravokutna trokuta.

Zadatak 2.

Odredimo trigonometrijske omjere pravokutnog trokuta A N C s obzirom na kut od 30 ° . Odgovorite na pitanja.

  1. Za stranicu pravokutnog trokuta A N C s obzirom na kut od 30 ° kažemo da je

    a 2
    v
    a
    null
    null
  2. Trigonometrijskim omjerima kuta od 30 ° pridružite pripadajuće omjere stranica trokuta A N C .

    tg 30 °   ​
    priležeća k. nasuprotna k. = v a 2   ​
    sin 30 °  
    priležeća k. hipotenuza = v a   ​
    cos 30 °  
    nasuprotna k. hipotenuza = a 2 a  
    ctg 30 °  
    nasuprotna k. priležeća k. = a 2 v   ​
    null
    null

Iz pravokutnog trokuta A N C odredimo trigonometrijske omjere s obzirom na kut od 30 ° . Iz prethodnog zadatka imamo omjere, sredimo dvojni razlomak i uvrstimo za v = a 3 2 .

sin 30 ° = a · 1 2 · a =   1 2

cos 30 ° = a 3 · 1 2 · a = 3 2

tg 30 ° = 2 · a 2 · a 3 = 1 3 · 3 3 = 3 3  

ctg 30 ° = 2 · a 3 2 · a = 3

Trigonometrijski omjeri kuta veličine 60 °

Zadatak 3.

Jednakostraničan trokut podijeljen visinom na dva pravokutna trokuta.

Ispišite u bilježnicu trigonometrijske omjere stranica trokuta A N C , ali s obzirom na drugi šiljasti kut veličine 60 ° .

sin 60 ° = a 3 · 1 2 · a = 3 2

cos 60 ° = a · 1 2 · a = 1 2

tg 60 ° = 2 · a 3 2 · a = 3

ctg 60 ° = 2 · a 2 · a 3 = 1 3 · 3 3 = 3 3


Trigonometrijski omjeri kuta veličine 45 °

Zadatak 4.

Prisjetite se što ste u osnovnoj školi učili o kvadratu pa odgovorite na pitanja.

  1. Kvadrat je gemetrijski lik kojemu su sve četiri stranice . Kut između susjednih dviju stranica iznosi ° .
    null
    null
  2. Dijagonala kvadrata dijeli kvadrat na dva sukladna:

    null
    null
  3. Ako kvadrat ima stranicu duljine a , tada je a 2 duljina kvadrata, a mjere šiljastih kutova trokuta dobivenog dijeljenjem kvadrata dijagonalom jesu jednake i iznose ° .
    null
    null

Označimo kvadrat.

Kvadrat podijeljen dijagonalom na dva jednakokračna trokuta

Zadatak 5.

Odredite trigonometrijske omjere kuta od 45 ° iz pravokutnog trokuta A B C .

sin 45 ° = a a 2 · 2 2 = 2 2

cos 45 ° = a a 2 · 2 2 = 2 2

tg 45 ° = a a = 1   ​

ctg 45 ° = a a = 1


Sistematizirajmo dobivene podatke u tablicu i zapamtimo ih. Često će nam trebati.

30 ° 45 ° 60 °
sin 1 2 2 2 3 2
cos 3 2 2 2 1 2
tg 3 3 1 3
ctg 3 1 3 3

Zanimljivost

U staroj Grčkoj trigonometrija se razvila kao dio astronomije. Starogrčki su znanstvenici određivali elemente pravokutnog trokuta poznavajući jednu stranicu i još jedan element. Za rješavanje takvih zadataka najprije su sastavili tablice dužina tetiva koje odgovaraju različitim središnjim kutovima kruga stalnog polumjera. Prve trigonometrijske tablice tetiva sastavio je astronom i matematičar Hiparh (180. – 125. g. pr. Krista), osnivač matematičke geografije.

Primijenimo tablične vrijednosti

Primjer 1.

Izračunajmo vrijednost izraza.

  1. sin 60 ° + cos 30 ° - tg 60 ° = 3 2 + 3 2 - 3 = 0
  2. 2 sin 30 ° + 1 2 tg 45 ° - 1 = 2 · 1 2 + 1 2 · 1 - 1 = 2 1 = 2
  3. sin 2 30 ° + 2 sin 2 45 ° 3 cos 2 30 ° - cos 2 45 ° = 1 2 2 + 2 · 2 2 2 3 · 3 2 2 - 2 2 2 = 1 4 + 1 9 4 - 1 2 = 5 4 7 4 = 5 7

Uočite da smo u zadatku koristili ove oznake:

sin 2 α = sin α 2

cos 2 α = cos α 2

tg 2 α= tgα 2

ctg 2 α= c tgα 2

Zadatak 6.

 Izračunajte vrijednost sljedećih trigonometrijskih izraza pa uparite odgovarajuće izraze i vrijednosti.

6 sin 45 ° cos 60 ° + sin 30 ° =  
1   ​
5 tg 2 30 ° + ctg 2 45 ° sin 2 60 ° - 2 cos 2 45 ° =   ​
3 2   ​
4 sin 30 ° cos 30 ° tg 30 ° =  
- 32 3   ​
1 - 4 sin 2 30 ° 1 + 4 cos 2 30 ° =   ​
0   ​
null
null

Zadatak 7.

  1. U pravokutnom je trokutu omjer kosinusa šiljastih kutova 3 : 1 . Odredite kutove trokuta.
  2. Odredite visinu romba sa stranicom 4  te jednim kutom od 30 ° . Kako glasi formula za visinu romba ako je zadana stranica duljine a ?
  3. Jednakostranični trokut sa stranicom duljine 4  podijelite visinom na stranicu na dva pravokutna trokuta. Izračunajte visinu na hipotenuzu dobivenoga pravokutnog trokuta. Kako glasi formula te visine ako je zadana stranica jednakostraničnog trokuta duljine a ?
  1. 30 ° , 60 °
  2. v = a sin 30 ° = a 2 = 4
  3. v = a 2 sin 60 ° = a 3 4 = 3  

Primjer 2.

Na primjeru kuta 30 ° provjerimo sljedeće identitete:

  1. sin 2 α= 2 sin α cos α
  2. cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α
  3. tg α · ctg α = 1

Kutak za znatiželjne

Na slici je dokaz bez riječi.

Identitet ili istovjetnost jest jednakost koja vrijedi za sve vrijednosti varijabla koje sudjeluju u toj jednakosti. Na primjer, jednakost c 2 = a 2 + b 2 poznata je kao Pitagorin poučak i vrijedi za sve pozitivne realne brojeve a , b i c koji mogu biti stranice pravokutnog trokuta.

Dokazati identitet ne znači uvrstiti jednu vrijednost i dobiti istinitu jednakost. U prethodnom primjeru nismo dokazali da identiteti vrijede za sve šiljaste kutove pravokutnog trokuta. Samo smo naslutili da bi to mogla biti točna tvrdnja.

Na slici je dokaz bez riječi jednakosti sin 2 α = 2 sin α cos α . Pronađite na slici α , sin α , cos α , sin 2 α i obrazložite zašto vrijedi jednakost.


Zadatak 8.

Odredite vrijednost izraza sin 1 ° cos 1 ° cos 2 ° cos 4 ° cos 8 ° cos 16 ° cos 32 ° sin 64 ° .

1 64   


Računanje džepnim računalom

Danas se za računanje trigonometrijskih vrijednosti kutova koriste džepna računala. U prošlosti su to bile tablice u kojima su bile popisani vrijednosti trigonometrijskih omjera za kutove od 0 ° do 90 ° na pet decimala. Računanje bez džepnog računala bilo je vrlo zahtjevno i dugotrajno. A upotrebom džepnog računala?

Primjer 3.

Da bismo izračunali sin 40 ° na džepnom računalu, najprije moramo provjeriti je li ono postavljeno na računanje u stupnjevima. Ako na džepnom računalu nemamo oznaku D ili DEG (moguće su R, RAD za radijane ili G, GRAD za grad), potrebno je prebaciti tipkom

M O D ili D R G ili  S E T U P . Upotrebljavate li džepno računalo koje dolazi s Windowsima, promjena  s računanja u stupnjevima u radijane i grad koristi se tipkom na kojoj piše oznaka mjere kuta (slika 1.).

Postupak računanja sin 40 °  različit je na raznim vrstama džepnog računala, ali možemo ga podijeliti na dvije vrste:

PREFIKSNO: upišemo broj 40 i pritisnemo tipku S I N

POSTFIKSNO: pritisnemo tipku S I N pa upišemo broj 40 .

U oba bi slučaja vrijednost koju dobijemo trebala biti: 0.6427876097 ... (slika 2. i slika 3.).

S obzirom na to da su većina trigonometrijskih vrijednosti iracionalni brojevi, decimalni zapis im je beskonačan neperiodičan decimalan broj. Zbog toga ćemo sve vrijednosti zaokruživati na četiri decimale. Iako su to približne vrijednosti, radi jednostavnosti zapisa stavljat ćemo znak jednakosti.

Primjer 4.

sin 40 ° = 0.6428

Na isti način možemo izračunati vrijednosti za kosinus i tangens.

cos 40 ° = 0.7660

tg 40 ° = 0.8391

Zadatak 9.

Izračunajte trigonometrijske omjere kuta od ​ 35 ° i rješenje zaokružite na četiri decimale.

sin 35 ° =    
null
null
cos 35 ° =   ​  
null
null
tg 35 ° =   ​  
null
null

Minute i sekunde

Zadatak 10.

Kut može biti zadan i s pomoću minuta i sekundi. Prisjetimo se odnosa među njima.

  1. Jedan stupanj sastoji se od minuta, jedna minuta sastoji se od sekundi, pa se onda jedan stupanj sastoji od sekundi.
    null
    null
  2. Kad pretvaramo stupnjeve u minute, broj stupnjeva  sa 60 . Kad pretvaramo minute u stupnjeve, broj minuta  sa 60 .  

    null
    null
  3. Kad pretvaramo minute u sekunde, broj minuta sa 60 , a kad pretvaramo sekunde u minute, broj sekundi sa 60 .

    null
    null
  4. Kad pretvaramo stupnjeve u sekunde, broj stupnjeva s 3 600 , a kad pretvaramo sekunde u stupnjeve, broj sekundi 3 600 .

    null
    null

Primjer 5.

Pretvorimo​ 20 ° 12 ' u stupnjeve.

20 ° 12 ' = 20 ° + 12 60 ° = 20.2 °

Pretvorimo​ 35.42 ° u stupnjeve, minute i sekunde.

35.42 ° = 35 ° + 0.42 · 60 ' = 35 ° + 25.2 ' = 35 ° + 25 ' + 0.2 · 60 " = 35 ° + 25 ' + 12 " = 35 ° 25 ' 12 "

Primjer 6.

Pretvarati kutove iz stupnjeva, minuta i sekundi u decimalni oblik i obratno možemo i s pomoću džepnog računala. Tome služi tipka​ ° ' " ili D E G .

Pokušajte na prethodnim primjerima. Postupak možete pratiti u sljedećoj animaciji.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 11.

Pretvorite u decimalni oblik (prikažite u stupnjevima):

  1. 32 ° 15 ' 10 "  
  2. 77 ° 7 ' 7 " .
  1. 32.2528 °
  2. 77.1186 °

Primjer 7.

Na slici je džepno računalo na kojemu se mjera kuta u stupnjevima pretvara u mjeru u stupnjevima, minutama i sekundama.
Slika 4.

Pokušajmo sad obratno, iz decimalnog oblika odrediti stupnjeve, minute i sekunde.

20.2 ° = 20 ° 12 '

35.47 ° = 35 ° 28 ' 12 "

Katkad je za to dovoljno otipkati decimalni broj i staviti oznaku za stupnjeve ° ' " te tipku = , a na nekim se džepnim računalima upotrebljava tipka D M S (slika 4.).

Zadatak 12.

Pretvorite u stupnjeve, minute i sekunde:

  1. 32.2528 °
  2. 77.1186 °
  1. 32 ° 15 ' 10 "
  2. 77 ° 7 ' 7 "

Zadatak 13.

Odredite trigonometrijske omjere kut​a od 23 ° 32 ' 15 " i rješenja zaokružite na četiri decimale.

sin 23 ° 32 ' 15 " =   ​  
null
null
cos 23 ° 32 ' 15 " =  
null
null
tg 23 ° 32 ' 15 " =  
null
null

Zadatak 14.

Odredite trigonometrijske omjere kuta od 23.4 ° i rješenje zaokružite na četiri decimale.

  sin 23.4 ° =  
null
null
cos 23.4 ° =  
null
null
tg 23.4 ° =  
null
null

Računanje kutova

Primjer 8.

Na slici je obelisk na Trgu svetog Petra u Vatikanu. Označen je pravokutni trokut čije su katete obelisk i sjena.

Vratimo se početnom primjeru. Visina je obeliska 25.5 metara, a duljina sjene 18.7 metara. Koliki je kut pod kojim Sunčeve zrake bacaju sjenu na trg? Promotrimo pravokutni trokut na slici. Poznate su duljine nasuprotne katete ( 25.5 ) i priležeće katete ( 18.7 ). Nasuprotnu i priležeću katetu povezuje tangens:

tg α = 25.5 18.7 = 15 11 .

Do sada smo iz poznatog kuta određivali trigonometrijski omjer. Sada treba napraviti obratno, iz poznatog trigonometrijskog omjera potrebno je izračunati kut. Koristit ćemo se džepnim računalom. Neka džepna računala imaju tipku inverz I N V , a kod nekih je to tipka S H I F T te s pomoću njih provodimo obrnuti postupak od određivanja trigonometrijskih omjera. Na džepnom računalu te su tipke označene sitnim slovima ispisanima iznad tipki za trigonometrijske omjere (često u narančastoj boji). Taj obrnuti postupak označavamo sa sin - 1 , cos - 1 i tg - 1 .

α = tg - 1 15 11 = 53.7462 ° = 53 ° 44 ' 46 "

Sunčeve zrake bacaju sjenu na trg pod kutom od 53 ° 44 ' 46 " .

Postupak određivanja kuta iz poznate vrijednosti za sinus kuta možete pogledati u sljedećoj animaciji.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 15.

Odredite kut iz poznatog trigonometrijskog omjera:

  1. cos α = 0.4
  2. tg β = 0.4
  1. α = 66 ° 25 ' 19 "
  2. β = 21 ° 48 ' 5 "

Zadatak 16.

Odredite vrijednosti kutova u stupnjevima, minutama i sekundama ako je:

  1. sin α = 0.03
  2.  cos α = 0.9
  3. tg α = 1.4
  4. sin α = 3
  1. α = 1 ° 43 ' 9 "
  2. α = 25 ° 50 ' 31 "
  3. α = 54 ° 27 ' 44 "
  4. nema rješenja

...i na kraju

Riješite sljedećih šest zadataka tako da u pripadajuće prazno polje upišete slovo uz točno rješenje, a kao nagradu dobit ćete sliku pravila za lakše pamćenje trigonometrijskih omjera kutova od 30 ° , 45 ° i 60 ° .  

Uputa: Na novi zadatak moći ćete ići nakon što točno odgovorite na postavljeni zadatak (upišete veliko slovo koje je u polju s dobivenim rješenjem).

Povećaj ili smanji interakciju
PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Za dani trokut povežite nazive stranica s obzirom na označeni kut i oznake stranica.​

Pravokutni trokut s označenim stranicama i jednim kutom.

Nasuprotna kateta
Priležeća kateta
Hipotenuza
null
null
2

Povežite trigonometrijske omjere s pripadajućim definicijama.

kosinus kuta
priležeća kateta nasuprotna kateta
 tangens kuta


priležeća kateta hipotenuza  
 kotangens kuta
nasuprotna kateta priležeća kateta
sinus kuta
nasuprotna kateta hipotenuza   ​
null
null
3

Za dani trokut povežite omjere stranica i trigonometrijske omjere.​

Pravokutni trokut s označenim stranicama i jednim kutom.

u v  
ctg φ   ​
u z   ​
sin φ   ​
z u   ​
tg φ   ​
z v  
cos φ   ​
null
null
4

Povežite vrijednost trigonometrijskog omjera s kutom kojem pripada.

tg φ = 3   ​
φ = 30 °
cos φ = 2 2
φ = 45 °   ​
sin φ = 1 2
φ = 60 °   ​
null
null
5

Izračunajte.

2 cos 30 ° + 5 tg 60 ° 1 + sin 2 45 ° =  

null
null
6
sin 19 ° 25 ' =    
null
null
7
tg 87.5 ° =   ​  
null
null
8
cos - 1 0.6015 =    °    '   ​ "   ​
null
null
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

9.3 Svojstva i veze trigonometrijskih omjera - dodatni sadržaj