Nestašna braća u nedjeljno su jutro igrala nogomet. U jednom je trenutku lopta završila u susjedovu tavanskom prozoru i razbila ga. Kako roditelji ne bi doznali što su učinili, odlučili su sami nadoknaditi štetu. Izmjerili su dimenzije prozora: duljine horizontalnih stranica iznose
i
a obje kose stranice duljine su
U zajedničkoj blagajni imali su ukupno
a cijena jednoga kvadratnog metra stakla iznosi
Hoće li dječaci uspjeti nadoknaditi štetu susjedu a da ne zatraže dodatni novac od roditelja? Kolika je cijena stakla za susjedov prozor?
Staklena ploha u obliku je jednakokračnog trapeza. Duljine njegovih osnovica iznose
i
a krakova
Za rješavanje ovog zadatka potrebno je izračunati površinu stakla, a za računanje površine trapeza potrebna je i udaljenost između njegovih paralelnih stranica ‒ duljina visine.
No taj podatak nisu znali, a nisu ga ni izmjerili! Mogu li izračunati površinu stakla ako ne znaju visinu?
Trapez je četverokut koji ima najmanje jedan par paralelnih stranica.
Paralelne stranice osnovice su trapeza, a druge dvije stranice krakovi su trapeza. Udaljenost između dviju paralelnih stranica trapeza jest njegova visina.
Zanimljivost
Trapez je četverokut koji ima barem jedan par paralelnih stranica, što znači da u skupinu trapeza pripadaju i paralelogrami (četverokuti imaju dva para paralelnih stranica), a onda i pravokutnici i kvadrati (posebne vrste paralelograma).
U svakodnevnom govoru pod pojmom trapezuglavnom prvo podrazumijevamo trapez „u
užem smislu”, odnosno četverokut koji ima (točno) jedan par paralelnih stranica.
Naučili ste da površinu trapeza s osnovicama duljine i i visinom duljine računamo prema formuli:
Podjela trapeza
Uočite da crtanjem okomica iz vrhova kraće osnovice na dulju osnovicu svaki trapez možemo podijeliti na pravokutnik te na jedan ili dva pravokutna trokuta.
Promotrite još jedanput podjelu trapeza na pravokutnik i pravokutne trokute.
Rastavljanje trapeza na pravokutnik i pravokutne trokute
Primjer 1.
Kako odrediti duljinu visine i površinu trapeza na temelju poznatih podataka o duljinama svih njegovih stranica?
Najjednostavniji je slučaj pravokutnog trapeza, tj. trapeza kojemu je kraći krak okomit na osnovice. U tom slučaju duljina visine trapeza jednaka je duljini kraćeg kraka pa njegovu površinu računamo kao
ili primjenjujući izravno formulu za površinu trapeza
Trapezni mišić (m. trapesius) polazi sa zatiljne kosti i trnastih nastavaka svih prsnih kralježaka, a hvata se na greben lopatice i lateralni kraj ključne kosti. Gornji dio mišića podiže rame ili pregiba glavu na svoju stranu; ako je obostrana kontrakcija, mišić radi ekstenziju glave. Srednji dio mišića primiče lopatice (kao kod stava „mirno”), a donji obrće lopaticu i pomaže pri podizanju ruke iznad vodoravnog položaja.
Taj mišić, koji u većoj ili manjoj mjeri sudjeluje kao pomoć pravilnu držanju kralježnice, zbog stresa i sjedenja često je bolan i napet.
Trapezna i trapezoidna kost
Trapezna i trapezoidna kost kosti su šake iz niza zapešćajnih kostiju.
Vježbajmo!
Odredite duljinu visine /duljinu osnovice / duljinu kraka jednakokračnog trapeza. Ako je potrebno, rješenje zaokružite na dvije decimale i upišite u predviđeno polje.
Provjerite ispravnost dobivenog rezultata i odaberite novi zadatak.
Zanimljivost
Dodatna vježba primjene Pitagorina poučka na trapez (uz računanje opsega i površina) moguća je na poveznici 1 i poveznici 2.
Na igralištima za hokej na ledu (u profesionalnoj hokejaškoj ligi NHL-u) istaknut je dio igrališta iza gola u kojem se primjenjuje tzv. trapezno pravilo.
Studentica Marta odlučila je urediti staru svjetiljku koju je dobila od bake. Svjetiljka izgleda kao na slici. Sve četiri strane sjenila svjetiljke međusobno su sukladne i u obliku su jednakokračnog trapeza. Marta je izmjerila rubove sjenila i njihove su dimenzije prikazane na slici.
Koliko najmanje materijala Marta mora kupiti kako bi obložila cijelu svjetiljku?
Svaka od četiriju strana svjetiljke u obliku je jednakokračnog trapeza.
Uz oznake kao na slici uz primjenu Pitagorina poučka na istaknuti trokut vrijedi:
x
=
3.75
cm
v
2
=
14.2
2
-
3.75
2
v
2
=
187.5775
pa je
v
≈
13.7
cm
.
Površinu svakog trapeza računamo kao umnožak polovine zbroja duljina osnovica (
8
cm
i
15.5
cm
) i duljine visine trapeza (približno
13.7
cm
).
Približna površina potrebnog materijala jednaka je
p
≈
4
·
8
+
15.5
2
·
13.7
p
≈
644
cm
2
.
Zadatak 5.
Djed Mirko odlučio je ograditi svoj voćnjak zasađen uz cestu na zemljištu u obliku pravokutnog trapeza. Djed je izmjerio duljine triju rubova zemljišta, no zbog sigurnosti nije mjerio duljinu ruba uz cestu. Mjere su zapisane na slici. Budući da je djed želio ogradu postaviti oko cijelog voćnjaka, našao se pred problemom kako će izračunati duljinu zemljišta uz cestu?
Možete li pomoći djedu Mirku da izračuna duljinu potrebne ograde?
Promotrimo sliku. Voćnjak je podijeljen okomicom na pravokutnik (sa stranicama duljine
33
m
i
40
m
) i pravokutni trokut (s katetama duljine
33
m
i
15
m
). Za rješenje djedova problema nedostaje podatak o duljini dijela voćnjaka uz cestu, na slici označen
d
.
Primjenom Pitagorina poučka na istaknuti pravokutni trokut dobiva se da je
d
2
=
33
2
+
15
2
=
1
314
,
odnosno da je duljina nepoznate stranice voćnjaka
d
≈
36.25
m
.
Djed Mirko treba nabaviti najmanje
40
+
33
+
55
+
36.25
=
164.25
metara žice.
Zadatak 6.
U dvorištu dječjeg vrtića postavljen je veliki bazen za pijesak izgrađen u obliku šesterokuta. Sve stranice šesterokuta jednake su duljine od
3
metra. Najdulja dijagonala pješčanika duga je
8
metara i ona dijeli pješčanik na dva sukladna trapeza.
Kolika je površina pješčanika?
Uz oznake kao na slici dobivamo da je
x
=
2.5
m
.
Primjenom Pitagorina poučka na istaknuti pravokutni trokut dobiva se visina trapeza
v
≈
1.66
m
.
Površina trapeza približno je
9.13
m
2
,
a površina cijelog pješčanika dvostruko je veća od površine trapeza i iznosi približno
18.26
m
2
Trapezni navoj je navoj s jednakokračnim temeljnim trokutom, kutom profila od
30
°
i temeljnim profilom u obliku jednakokračnoga trapeza. Upotrebljava se za pričvršćivanje samo na onim vijcima koji služe za naročito opterećene vijčane spojeve ili one koji se često rastavljaju (trapezni navoji manje se troše).
Trapezni ili klinasti remen je remen poprečnog presjeka u obliku trapeza ili klina. Osnovna funkcija klinastog remenja jest prijenos snage ili okretnog momenta preko remenica s jedne osovine na drugu.
Fotonaponske ćelije pretvaraju solarnu energiju u električnu energiju. Jedan je satelit potpuno prekriven solarnim pločama koje imaju oblik jednakokračnog trapeza. Duljine osnovica tog trapeza iznose
70
cm
i
54
cm
,
a duljina je krakova
1
m
.
Kolika je površina jedne takve solarne ploče?
Uz oznake kao na slici prvo se dobiva da je
x
=
8
cm
.
Primjenom Pitagorina poučka na istaknuti pravokutni trokut dobiva se da je visina trapeza (solarne ploče)
v
≈
99.7
cm
pa je površina jedne takve solarne ploče približno
6
181.4
cm
2
.
Zadatak 8.
Koje su od sljedećih tvrdnji o trapezu istinite?
Duljina kraka jednakokračnog trapeza mora biti veća od duljine kraće osnovice.
Pomoć:
Duljina kraka ne ovisi samo o duljini kraće osnovice.
null
Duljina visine jednakokračnog trapeza može biti veća od duljine kraka.
Pomoć:
Krak je hipotenuza, a visina kateta pravokutnog trokuta. Kateta mora biti kraća od hipotenuze.
null
Duljina visine trapeza uvijek je kraća od duljine kraka trapeza.
Kod pravokutnog trapeza visina i kraći krak su jednakih duljina.
zastava Trinidada i Tobaga
zastava Republike Kongo
zastava Demokratske Republike Kongo
zastava države Kuvajt
Većina zemalja na svojim zastavama ima neke geometrijske oblike. Najčešće su to pravokutnici i pravokutni trokuti, a samo je nekoliko zemalja na svijetu koje na zastavi imaju paralelogram ili trapez. Tako su paralelogrami zastupljeni na zastavama država Trinidad i Tobago te Republike Kongo, zastava Demokratske Republike Kongo osim paralelograma i trokuta sadržava i dva trapeza, a Kuvajt na zastavi ima jedan jednakokračni i dva pravokutna trapeza.
Kutak za znatiželjne
Zastava Kuvajta sadržava jedan jednakokračni trapez (crne boje) i dva pravokutna trapeza (crvene i zelene boje). Omjer duljine i širine zastave jest
2
:
1
,
pruge su jednake širine, a visina jednakokračnog trapeza četiri je puta manja od duljine zastave. Kolika je površina jednakokračnog trapeza u odnosu prema širini zastave? Koliki se dio površine zastave odnosi na jednakokračni trapez?
Označimo li širinu zastave
x
, onda je duljina
2
x
.
Širina je svake pruge
1
3
x
,
a visina jednakokračnog trapeza je
1
4
·
2
x
=
1
2
x
.
Duljine osnovica trapeza jesu
x
i
1
3
x
.
Površina trapeza tada je
p
=
1
2
·
(
a
+
c
)
·
v
p
=
1
2
·
x
+
1
3
x
·
1
2
x
p
=
1
2
·
4
3
x
·
1
2
x
p
=
1
3
x
2
.
Budući da je površina zastave jednaka
x
·
2
x
=
2
x
2
,
to znači da površina jednakokračnog trapeza zauzima šestinu cijele zastave.
...i na kraju
Naučili ste primjenjivati Pitagorin poučak na trapez. Primijenite naučeno i riješite uvodni zadatak.
Susjedov je prozor u obliku jednakokračnog trapeza s osnovicama duljine
140
cm
i
80
cm
te krakovima duljine
72
cm
.
Uz oznake kao na slici dobiva se da je
x
=
30
cm
.
Primjenom Pitagorina poučka na istaknuti pravokutni trokut dobivamo da je visina prozora približno
65.5
cm
.
To znači da je površina trapeza (prozorskog stakla) približno
7
205
cm
2
=
0.7205
m
2
.
Cijena za tu površinu iznosi
0.7205
·
167
=
120.32
kune, što znači da braća imaju dovoljno da plate učinjenu štetu.
Idemo na sljedeću jedinicu
4.10 Modeliranje problemskih situacija Pitagorinim poučkom