Kugla– savršena tvorevina prirode i/ili ljudskih ruku.
Jeste li kao dijete ili odrasla osoba puhali balon? Što je balon veći, to će oblikom biti bliži kugli. Što je tomu razlog? Balon pokušava zadržati što više zraka uz što manju površinu.
Kugla je geometrijsko tijelo koje uz dani volumen ima najmanje oplošje.
Opišimo kuglu:
savršeno je simetrična
sve točke njezina oplošja jednako su udaljene od njezina središta
nema bridove ni vrhove.
Kugla polumjera sa središtem u točki jest skup svih točaka u prostoru za koje vrijedi
Točke kugle za koje vrijedi čine sferu.
Sfera omeđuje kuglu
Zanimljivost
Zemlja nije kugla. Zbog rotacije oko svoje osi spljoštena je na polovima i ima naziv geoid.
Oplošje kugle
Karta svijeta Johannesa Keplera (https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1797)
Do sada smo oplošja geometrijskih tijela određivali tako da smo pobočja ili plašteve i baze razvili i raširili u ravninu. Kod kugle to nije moguće. Kako god razrezali kuglu i pokušali dio po dio ispraviti u ravnini, nećemo uspjeti i uvjek će dio ostati zakrivljen.
Kako biste si to predočili, uzmite staru loptu i razrežite je što pravilnije s pomoću skalpela (budite oprezni, skalpel je oštar) i pokušajte dobiti oplošje.
Još jedan primjer su geografske karte, koje nikada ne daju iste udaljenosti kao na globusu.
Kako onda dobiti oplošje kugle?
Ako na kuglinoj sferi nacrtamo trokut i izrežemo ga, imat ćemo opet problem da je dio ostao zakrivljen. Taj trokut, sferni trokut, ne možemo zamijeniti ravninskim. Ipak, ako je trokut dovoljno malen, razlika između sfernoga i ravninskog trokuta neće biti prevelika. To je put za izračun oplošja kugle.
Arhimed je do formule za oplošje kugle došao metodom ekshaustije ili iscrpljivanja.
Arhimed zamišlja kako kugla nastaje rotacijom pravilnog -terokuta (kao u animaciji).
Unutar kugle tada imamo dva stošca i
krnjih stožaca. Zaključuje da je oplošje kugle četiri puta veće od površine njezina najvećeg kruga.
Krug polumjera, tj. radijusa ima površinu
pa je oplošje kugle
Kako bi to izgledalo, pogledajte u animaciji.
Oplošje kugle računamo s pomoću formule:
Primjer 1.
Izračunajmo oplošje kugle čiji je promjer
Ako je promjer
to znači da je polumjer
Podatke uvrstimo u formulu za oplošje.
Primjer 2.
Umjetnik je zamislio da dio umjetničke skulpture, koja će predstavljati sladoled u kornetu, izradi od aluminija. Donji dio je stožac čija je visina
a na njegovu bazu ide polukugla. Baza stošca ima promjer
Koliko aluminija umjetnik treba naručiti za izradu skulpture?
Zadatak rješavamo u dva dijela. U prvom računamo plašt stošca, a u drugom oplošje polukugle.
Što nam treba za računanje plašta stošca?
Trebamo polumjer i izvodnicu. Najprije ćemo izračunati izvodnicu iz polumjera i visine.
Sada možemo izračunati površinu plašta.
Oplošje polukugle je polovica oplošja kugle.
Materijal koji treba umjetniku jednak je zbroju.
Treba naručiti
metara aluminija.
Poredajte formule tako da dobijete postupak izvoda polumjera kugle iz zadanog oplošja.
Volumen kugle polumjera računamo s pomoću formule:
Kako smo dobili tu formulu?
Kada smo tražili oplošje kugle, podijelili smo sferu na
sfernih trokuta. Podijelimo sada kuglu u
-piramida kojima je vrh u središtu kugle, visina jednaka polumjeru kugle, a baza sferni trokut.
Volumen svake od malih piramida je
Visina svake od piramida jednaka je polumjeru kugle. Dakle, volumen jedne od piramida jest:
Volumen kugle je zbroj volumena svih piramida.
Pogledajmo sada zbroj u zagradi. To su baze piramida. Baze su mali sferni trokuti koji se nalaze na oplošju kugle i zajedno čine oplošje kugle. Izraz u zagradi možemo zamijeniti oplošjem kugle.
Volumen kugle možemo dobiti i primjenom Cavalierijeva principa.
Usporedimo polovicu kugle i valjak iste visine (tj. visina je jednaka polumjeru kugle). Iz valjka izvadimo stožac čija se baza podudara s gornjom bazom valjaka, a vrh je u središtu donje baze.
Ta dva tijela postavimo u istu ravninu i presijecimo s ravninom usporednom bazama na udaljenosti od baza.
Volumen kugle
Dokažite da je presjek obaju tijela jednak.
Ako su presjeci jednaki, onda je volumen polukugle jednak razlici volumena valjka i stošca.
Imamo zlatnu kuglu čiji je volumen Želimo da zlatar napravi zlatnu kuglu dva puta veću. Koliko zlata trebamo donijeti?
Polumjer početne kugle je
Polumjer nove kugle treba biti
Volumen nove kugle je Volumen zlata koji trebamo donijeti je
Zadatak 4.
Volite li sladoled u kornetu? Ako sporo jedemo sladoled, on se topi i završava u kornetu. Polumjer korneta (stošca) jednak je polumjeru kuglice sladoleda. Visina korneta i visina kuglice također su jednake. Ako se kuglica otopi, hoće li stati u kornet ili će dio sadržaja izići izvan korneta?
Trebamo provjeriti je li volumen korneta veći ili manji od volumena kugle.
Volumen kugle dva je puta veći od volumena korneta pa će pola sadržaja završiti izvan korneta.
Zadatak 5.
Uparite volumene kugli sa zadanim polumjerom.
null
null
Volumen kugle polumjera dan je izrazom:
null
null
Oplošje kugle
je
null
null
Oplošje
četiri je
veće od
kruga s
polumjerom.
istim
površine
puta
kugle
null
null
Zadatak 6.
Organizator utrke nudi sudionicima osvježenje u dvama različitim pakiranjima. Jedno je u obliku kugle polumjera
a drugo u obliku valjka koji ima jednaku visinu i polumjer baze
Koje pakiranje trkač treba uzeti kako bi uzeo najveću količinu tekućine?
Trebamo izračunati volumen jednoga i drugog tijela i usporediti ih. Veći volumen ima kugla. Trkači trebaju izabrati kuglu.
Uz „vježbalicu” usavršite računanje volumena i oplošja kugle.
Public Domain, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=523451
Na slici je jedna od najpreciznijih stvorenih kugli, koja u pozadini odbija Einsteinovu sliku. Ova je kugla bila fuzionirani kvarcni žiroskop za pokus Gravity Probe B i razlikuje se od oblika savršene kugle za manje od
nanometara.
Volumen kuglina odsječka i isječka
Ako kuglu presiječemo ravninom, podijelili smo ju na dva dijela. Manji je dio kuglin odsječak.
Volumen kuglina odsječka također možemo odrediti s pomoću Cavalierijeva principa. Zapravo, usporedbom odsječaka polukugle i tijela dobivena isjecanjem stošca iz valjka. Kada novonastalo tijelo presiječemo ravninom kao i polukuglu, dobit ćemo:
od polukugle kuglin odsječak
od novog tijela valjak iz kojeg je isječen krnji stožac.
Uz poznate formule za volumen valjka i krnjeg stošca dobijemo volumen kuglina odsječka:
pri čemu je visina kuglina odsječka.
Ako iz kugle izvadimo dio koji ima oblik stošca i vrh u središtu kugle, a baza je zakrivljeni dio oplošja kugle, imamo kuglin isječak.
Volumen kuglina isječka dobit ćemo tako da kuglinu odječku dodamo volumen stošca. Visina mu je
polumjer baze
a izvodnica
Uz uočavanje pravokutnog trokuta s katetama
i
možemo izračunati volumen kuglina isječka:
Primjer 4.
Domaćica želi iznenaditi goste. Kupila je lubenicu u obliku kugle. Iz lubenice će rezati dijelove u obliku kuglina isječka i poslužiti ih gostima. Polumjer lubenice iznosi
Polumjer isječka iznosi
Koliko takvih komada može dobiti od jedne lubenice?
Iz pravokutnog trokuta računamo visinu stošca koja je
Iz toga slijedi da je visina
Volumen kuglina isječka je
Volumen kugle je
Vidljivo je da je volumen isječka deseti dio volumena kugle.
Iz jedne je lubenice moguće dobiti
porcija.
Volumen kuglina sloja
Ako kuglu presiječemo s dvije usporedne ravnine, dobili smo kuglin sloj.
Volumen kuglina sloja možemo izvesti s pomoću polumjera prvoga presječnog kruga drugoga presječnog kruga i visine sloja, koju ćemo označiti s
Na isti način na koji smo izveli volumen kugle s pomoću Cavalierijeva principa, možemo to napraviti i za kuglin sloj. Volumen kuglina sloja jednak je volumenu valjka visine iz kojeg je izrezan krnji stožac iste visine.
Ako je drugi polumjer jednak nuli, tada imamo još jedan oblik formule za volumen kuglina odsječka:
Uparite formulu za volumen s kuglinim elementom.
Kuglin isječak
Kuglin sloj
Kuglin odsječak
null
null
Površina kugline kapice i pojasa
Primjer 5.
Odredimo formulu za površinu kugline kapice.
Možemo postupiti na sličan način na koji smo došli do volumena kugle i obrnuti ga. Kuglu smo razrezali na malih piramida.
Jednako tako, volumen isječka jest:
Sada imamo sljedeće:
i ako uvrstimo formulu za volumen kuglina isječka, dobit ćemo da je površina kugline kapice:
Zadatak 7.
Izračunajte površinu kuglina pojasa koristeći se formulom za površinu kugline kapice.
Površinu kuglina sloja dobijemo kao razliku površina dviju kuglinih kapica s visinama i
pri čemu je visina sloja.
Ako je polumjer kugle, a visina kugline kapice i kuglina sloja, onda je njihova površina:
...i na kraju
Sjećate li se zadatka iz trigonometrije pravokutnog trokuta?
Geostacionarni sateliti kruže oko Zemlje na visini od
Kolika je udaljenost točaka na Zemljinoj površini koje se sa satelita vide u isto vrijeme? Uzmite za polumjer
Na kraju zadataka zaključili smo da bi
do
satelita bilo dovoljno.
Problem sada možemo rješavati i na drugi način.
Izračunajmo oplošje Zemlje (uz pretpostavku da je kugla, premda znamo da nije). Zatim izračunajmo oplošje kugline kapice, tj. površinu koju pokriva jedan satelit.
Ako sada podjelimo oplošje Zemlje s oplošjem kugline kapice, dobit ćemo broj koji nam kaže koliko satelita trebamo.
Geostacionarni satelit
Za početak zadane veličine:
Iz sličnih trokuta
i
slijedi:
Kada te dvije površine podijelimo, dobijemo broj
Dakle, za pokrivanje Zemlje satelitima dovoljna su nam tri satelita.
Naš prvi izračun nije bio sasvim precizan jer nismo uzeli u obzir 3D.