x
Učitavanje

10.2 Mjere srednje vrijednosti

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Mnoštvo ženskih cipela različitih veličina.

U jednoj su anketi, provedenoj na uzorku od 20 učenica u dobi od 15 godina, dobiveni sljedeći podatci o veličini ženskih cipela:

36 , 37 , 37 , 37 , 37.5 , 38 , 38 , 38 , 38 , 38 , 38 , 39 , 39 , 39 , 40 , 40.5 , 41 , 41 , 41 , 42 .

Što možemo zaključiti iz dobivenih podataka?

Koja je prosječna veličina ženskih cipela? Što uopće podrazumijeva riječ "prosječna"?

Je li to broj

36 + 37 + 37 + 37 + 37.5 + 38 + 38 + 38 + 38 + 38 + 38 + 39 + 39 + 39 + 40.5 + 40 + 41 + 41 + 41 + 42 20 = 38.75 ?

Hoćete li reći da petnaestogodišnjakinje u "prosjeku" nose cipele broj 38.75 ?

Pogledajmo frekvencije prikupljenih podataka o veličini cipela.

Veličina Frekvencija
36 1
37 3
37.5 1
38 6
39 3
40 1
40.5 1
41 3
42 1

Većina ljudi neće računati aritmetičku sredinu, već će intuitivno zaključiti da djevojke u "prosjeku" nose cipele broj 38 jer je prirodnije promatrati veličinu cipela koja se najčešće pojavljuje, odnosno podatak s najvećom frekvencijom, broj 38 .

Srednja vrijednost

U svakodnevnim situacijama, promatrajući skup podataka, često pokušavamo odrediti  podatak koji najbolje reprezentira taj skup. Obično tražimo srednju vrijednost oko koje se kreće najviše podataka u toj pojavi. Pritom, intuitivno koristimo termin „prosjek“ ili „prosječna vrijednost“. Primjerice, prosječan broj učenika u razrednom odjeljenju, prosječna plaća u graditeljstvu, prosječna visina itd. Pritom, većina ljudi misli na aritmetičku sredinu. No, kao što smo vidjeli u prethodnom primjeru, postoje srednje vrijednosti koje će nam u nekim slučajevima dati bolju informaciju o promatranom skupu podataka nego aritmetička sredina.

Brojčanu vrijednost koja opisuje sredinu uzorka, odnosno reprezentira skup podataka koji imaju tendenciju grupiranja oko neke vrijednosti, nazivamo mjera centralne tendencije ili mjera srednje vrijednosti.

Pogledajmo koje su mjere srednje vrijednosti i kako se određuju.

Mod

Mod ili dominantna vrijednost je vrijednost koja je u nizu podataka najčešće postignuta, odnosno ima najveću frekvenciju.

Primjer 1.

Sljedeća tablica prikazuje broj golova koje je hrvatska nogometna A-reprezentacija postigla na kvalifikacijskim utakmicama za svjetsko prvenstvo (SP) ili na utakmicama SP od 1996. do 2017. godine (uključujući obje godine).

Broj golova
po utakmici
Broj utakmica na kojima je
postignut
0 15
1 28
2 15
3 11
4 8
5 0
6 1

Odredite mod ili dominantnu vrijednost prikazanih podataka. Što nam govori taj podatak?

Iz tablice se jasno vidi da je najveća frekvencija, odnosno mod jednak broju 1 . Dakle, A reprezentacija najčešće postiže 1 gol na utakmicama vezanima uz SP.


Primjer 2.

Promotrite sljedeće skupove brojeva i odredite njihov mod.

  1. Mod skupa brojeva 12 , 8 , 15 , 9 , 4 , 10 , 10 , 12 , 15 , 12 , 14 , 11 , 12 , 14 , 14 , 9 , 12 je .

    null
    null
  2. Za skup brojeva ​ 173 , 152 , 156 , 167 , 166 , 183 , 175 , 172 , 169 , 170 , 181 , 168 mod je .

    null
    null
  3. Za skup brojeva 2 , 0 , 1 , 0 , 2 , 3 , 3 , 2 , 1 , 1 , 2 , 5 , 1 mod je .

    null
    null

Skup podataka može imati više od jednog moda. Primjerice, prema istraživanju o cijeni kave s mlijekom u nekom gradu najčešća cijena takve kave je 10 kn ili 12 kn . U ovom se slučaju radi o dva podatka koji imaju istu frekvenciju, odnosno dva moda, pa još govorimo o bimodalnoj raspršenosti podataka.

Ako skup ima više od dva moda govorimo o multimodalnoj raspršenosti podataka.

Ne mora svaki skup podataka imati mod. Može se dogoditi da niti jedan podatak u skupu ne dominira, odnosno da se svi podatci pojavljuju isti broj puta.

Uočimo da se mod, ako postoji, uvijek nalazi unutar promatranog skupa podataka.

Aritmetička sredina

Pogledajmo sljedeću animaciju.

O pojmu aritmetičke sredine ili prosjeku konačnog skupa brojeva govorili smo već u Modulu 1 (1.6. Primjena).

U matematičkoj se statistici za aritmetičku sredinu koristi oznaka x - ili μ .

Ako su podatci zadani kao niz brojeva x 1 , x 2 , x 3 , . . . x n , aritmetička sredina računa se kao količnik zbroja članova toga niza i broja članova toga skupa, odnosno

x ¯ = x 1 + x 2 + x 3 + + x n n .

Slično se računa i ako su podatci zadani pomoću frekvencija:

Broj
x 1 x 2 x 3 ... x k
Frekvencija f 1 f 2 f 3 ... f k

gdje je n = f 1 + f 2 + . . . + f k .

Tada aritmetičku sredinu računamo x - = x 1 f 1 + x 2 f 2 + . . . + x k f k n .

Kažemo da aritmetička sredina predstavlja ravnotežno mjesto skupa podataka.

Potražite obrazloženje u sljedećoj interakciji.

Povećaj ili smanji interakciju

Ukupno odstupanje podataka koji su iznad aritmetičke sredine uvijek je ukupnom odstupanju podataka koji su ispod aritmetičke sredine. Na grafičkom je prikazu aritmetička sredina mjesto ravnoteže ili točka oko koje je zbroj svih pozitivnih i negativnih odstupanja jednak .

null
null

Zadatak 1.

Slika prikazuje nogometni gol i nekoliko lopti u mreži.

Odredite aritmetičku sredinu podataka o broju golova iz Primjera 1. Interpretirajte rezultat.

x - = 0 · 15 + 1 · 28 + 2 · 15 + 3 · 11 + 4 · 8 + 5 · 0 + 6 · 1 15 + 28 + 15 + 11 + 8 + 1 = 129 78 1.7 .

Broj je postignutih golova po utakmici u prosjeku veći od 1 i iznosi 1.7 .


Uočite da aritmetička sredina ne mora biti jedan od podataka iz promatranog uzorka. Ako njezina vrijednost nije cijeli broj, zapisujemo je u decimalnom obliku, čak i u slučaju da se radi o podatcima koji mogu imati samo cjelobrojnu vrijednost.

Obično se zaokružuje na jednu decimalu više nego što je imaju originalni podatci.

Medijan

Primjer 3.

Karikatura poslovnog čovijeka.

U tablici su 1. i 2. podatci o prosječnim mjesečnim neto plaćama zaposlenika u tvrtkama A i B. Koju biste tvrtku izabrali za zaposlenje? Koja mjera srednje vrijednosti najbolje opisuje dane podatke?

Sve su vrijednosti izražene u kunama.

Tablica 1. (Tvrtka A)

15 199 12 310 5 525 6 830 9 545
23 105 4 702 6 830 7 542 10 235
18 715 210 110 8 110 13 420 12 145

Tablica 2. (Tvrtka B)

14 097 12 235 5 670 5 670 15 235
8 755 9 546 8 354 19 665 18 450
18 880 16 450 7 340 13 905 9 800
14 550 8 230 15 875 15 560 13 552

Mod za podatke o plaćama u tvrtki A je kn , a mod za podatke tvrtke B je kn .
null
null
Aritmetička sredina svih plaća u tvrtki A je kn . Aritmetička sredina svih plaća u tvrtki B je kn .
null
null

Prema ovim bismo rezultatima trebali zaključiti da je isplativije biti zaposlenik tvrtke A.

No, je li to doista tako?

Uočimo da se u nizu podataka za tvrtku A pojavljuje ekstremna vrijednost, podatak koji znatno odstupa od ostalih. Taj podatak znatno utječe na aritmetičku sredinu. Stoga aritmetička sredina također nije dobra mjera srednje vrijednosti u slučaju tvrtke A.

Takve će podatke puno bolje opisati mjera srednje vrijednosti koju nazivamo medijan.

Medijan je vrijednost koja se u nizu podataka, poredanih po veličini, nalazi točno u sredini. Ako su u sredini dva broja, medijan se računa kao njihova aritmetička sredina.

Primjer 4.

Niz se podataka sastoji od 9 brojeva poredanih po veličini. Odredimo medijan.

Prikaz određivanja medijana s neparnim brojem podataka.

Primjer 5.

Niz se podataka sastoji od 10 brojeva poredanih po veličini. Odredimo medijan.

Određivanje medijana za paran broj podataka.

Zadatak 2.

Odredite medijan za podatke o plaćama u tvrtki A i tvrtki B iz Primjera 3.  Koju biste sad tvrtku odabrali za zaposlenje?

Medijan za tvrtku A je 10 235 kn , a za tvrtku B je 13 728.5 kn . To znači da polovica svih zaposlenih u tvrtki B ima plaću iznad 13 728.5 kuna. Povoljnije je zaposliti se u tvrtki B jer u tvrtki A samo četiri zaposlenika, ili 26.6 % , ima plaću iznad te svote.

S obzirom da u tvrtki A jedna osoba ima ekstremno veliku plaću, kao mjeru srednje vrijednosti realnije je koristiti medijan, jer ekstremne vrijednosti nemaju utjecaj na središnju poziciju i vrijednost podatka koji se na njoj nalazi (medijan).


Zadatak 3.

  1. Medijan je vrijednost do koje se nalazi točno 50 % svih podataka iz promatranog uzorka, a ostalih se 50 % nalazi iza.

    null
  2. Niz podataka moramo uvijek poredati po veličini od najmanjeg prema najvećem kako bismo odredili medijan.

    null

    Postupak:

    Poredak može biti i od najvećeg prema najmanjem.

  3. Medijan je niza podataka i sam dio toga niza.

    Postupak:

    Medijan je dio skupa podataka u slučaju da niz ima neparan broj podataka.

  4. Ako se neki niz podataka, poredanih po veličini, sastoji od 25 brojeva, medijan je

     

  5. Ako se neki niz podataka, poredanih po veličini, sastoji od 58 brojeva, medijan je

     

    null

Ako neki niz ima n podataka, vrijednost izraza n + 1 2 određuje središnju poziciju tog niza na kojoj se nalazi medijan (za neparan n ) ili dvije središnje pozicije (za paran n ) brojeva  čija je aritmetička sredina medijan.

Zadatak 4.

U nizu od 49 mjerenja 19 mjerenja ima vrijednost manju od 68 , a 23 mjerenja imaju vrijednost veću od 69 . Preostala mjerenja su 68.1 , 68.3 , 68.3 , 68.5 , 68.5 , 68.7 , 68.8 . Tada je medijan jednak broju .
null
null

Zadatak 5.

Sljedeći niz brojeva predstavlja redom mjesečne količine (u mm ) oborina u Puli za 2016. godinu: 133.5 , 161.4 , 105.5 , 39.5 , 82.5 , 12.2 , 7.7 , 48.2 , 108.2 , 179.5 , 155 , 0.2.

Napišite podatke u redoslijedu pogodnom za određivanje medijana, a zatim odgovorite na pitanja koja slijede neposredno nakon toga.

  • 155
  • 82.5
  • 12.2
  • 48.2
  • 7.7
  • 179.5
  • 0.2
  • 105.5
  • 39.5
  • 161.4
  • 133.5
  • 108.2
null
null

 Koji broj određuje poziciju u nizu na kojoj se nalazi medijan?

Pomoć:

Poziciju određuje broj n + 1 2 .

null

Medijan zadanog niza podataka je

 

null
U 2016. godini je 50 % vremena mjesečna količina oborina bila ispod mm .

Pomoć:

Polovica svih podataka u nizu ima vrijednost ispod medijana.

null

Zadatak 6.

prikazana je hrpa knjiga

Na slučajnom uzorku od 50 osoba izvršeno je istraživanje o broju pročitanih knjiga u siječnju. Dobiveni su sljedeći rezultati.

Broj pročitanih
knjiga
Broj osoba koje
su ih pročitale (frekvencija)
0 11
1 13
2
10
3 9
4 5
5 2

 Medijan se nalazi između Medijan je  . Mod je . Aritmetička sredina je  .

Pomoć:

Ako je medijan artmetička sredina 25. i 26. podatka, a na početku niza je 11 nula i 13 jedinica, što je ukupno 24 broja. Slijedi 10 dvojki, što znači da je medijan jedan od tih brojeva.

null

Kako odabrati?

Kako bismo lakše odlučili koju od mjera srednje vrijednosti odabrati, dobro je znati  njihove prednosti i nedostatke.

  1.   Grupirajte glavne prednosti i nedostatke za aritmetičku sredinu.

    Nije uvijek među podatcima u nizu.

    Prednosti aritmetičke sredine

    Nedostatci aritmetičke sredine

    null
    null
  2. Grupirajte prednosti i nedostatke medijana.

    Ignorira sve udaljene vrijednosti.

    Prednosti medijana

    Nedostatci medijana

    null
    null
  3. Grupirajte prednosti i nedostatke moda.

    Jako ovisi o grupiranju u razrede.

    Prednosti moda

    Nedostatci moda

    null
    null

Zadatak 7.

Kupac sa sjevera kontinenta želi kupiti kuću s bazenom u Rovinju. Među kućama oglašenima za prodaju pronašao je 12 kuća koje odgovaraju njegovim zahtjevima. Cijene tih kuća, izražene u eurima, dane su u sljedećoj tablici.

480 000 380 000 450 000 1 000 000
420 000 495 000 440 000 480 000
900 000 480 000 285 000 260 000

Koja mjera srednje vrijednosti najviše odgovara kupcu, a koja agentu nekretninama?

Mod je 480 000 EUR .

Aritmetička sredina je 505 833 EUR .

Medijan je 465 000 EUR .

Kupcu odgovara što niža cijena, pa će govoreći o cijenama kuća koristiti medijan, a agentu odgovara što viša cijena pa će koristiti aritmetičku sredinu.


Zadatak 8.

Slika prikazuje orkestar.

Broj koncerata (događanja) tijekom 2017. godine u velikoj dvorani KD "Vatroslav Lisinski",  dan je tablicom:

Mjesec Broj koncerata
(događanja)
Siječanj 8
Veljača 15
Ožujak 21
Travanj 18
Svibanj 22
Lipanj 4
Srpanj 1
Kolovoz 0
Rujan 8
Listopad 24
Studeni 25
Prosinac 24

Uparite aritmetičku sredinu, medijan i mod s pripadajućim vrijednostima za dani skup podataka.

Aritmetička sredina
8 i 24
Mod
14.2
Medijan
16.5
null
null

Prodiskutirajte svaku mjeru srednje vrijednosti iz prethodnog primjera.

Uz pomoć tehnologije

Statistička je obrada podataka prisutna u svim područjima ljudskog života i koristi veliku količinu različitih podataka. Prikazivanje, razni izračuni i analiza tih podataka bilo bi jako sporo i neprecizno, gotovo nemoguće bez korištenja tehnologije. Postoji mnoštvo alata s proračunskim tablicama koji se mogu koristiti putem računala, pametnih telefona, ali i džepnih računala. Dovoljno je upisati prikupljene podatke u tablicu, a zatim odabirom željenog prikaza, analize ili samo neke od funkcija računalo u nekoliko sekundi prikaže sve što nam treba na ekranu.

Pogledajmo kako to izgleda u GeoGebrinoj interakciji.

Koristeći dani applet (ili bilo koje proračunske tablice ili grafičko računalo), upišite sljedeće podatke o postignutom broju bodova na godišnjoj provjeri znanja u jednoj gimnaziji.

Povećaj ili smanji interakciju
Postignuti broj bodova (maksimum = 22) Broj učenika
0 0
1 1
2 0
3 1
4 1
5 1
6 3
7 2
8 3
9 7
10 7
11 7
12 14
13 12
14 14
15 18
16 14
17 23
18 17
19 17
20 22
21 11
22 17

Zadatak 9.

Pomoću ponuđenih alata odredite mod, aritmetičku sredinu i medijan. Interpretirajte dobivene rezultate, kao da pišete izvještaj o rezultatima godišnjeg ispita.

...i na kraju

Izradi vježbu

Razmislite i prodiskutirajte o situacijama u kojima ćete koristiti aritmetičku sredinu, medijan, odnosno mod, kao mjeru koja najbolje reprezentira podatke vezane?

Odaberite jednu od situacija o kojima ste diskutirali te prikupite potrebne podatke. Prikažite ih pogodnim dijagramom, grafom, a zatim odredite aritmetičku sredinu, mod i medijan.

Interpretirajte i obrazložite svaku od odabranih mjera srednje vrijednosti. Prezentirajte u razredu.

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Uparite mjeru srednje vrijednosti s njezinim opisom.

Medijan
Središnji podatak u nizu poredanih podataka.
Aritmetička sredina
Zbroj svih vrijednosti podataka podijeljen s ukupnim brojem podataka.
Mode
Podatak s najvećom frekvencijom.
null
null
2

Podatci s ekstremnim vrijednostima ne utječu na

null
null
3

Srednja vrijednost koja se uvijek nalazi među podatcima je

null
null
4

Odredite aritmetičku sredinu, mod i medijan skupa 3 , 5 , 1 , 2 , 5 , 7 , 4 , 4 , 5 , 6 , 4 , 9 , 7 , 8 , 4 .

Medijan
Aritmetička sredina
 Mod
null
5
Pedeset je učenika (u dobi od 14 do 15 godina) ispitano koliko puta tjedno izlaze u grad s prijateljima. Rezultati ispitivanja dani su tablicom.
Broj izlazaka 0 1 2 3 4 5 6 7
Broj učenika 1 14 16 12 3 1 2 1
Mod danih podataka je  jer je to broj s najvećom frekvencijom. Medijan je Koliko iznosi aritmetička sredina svih podataka? .

 

null
6

Aritmetička sredina skupa od 10 podataka iznosi 8 , a mod je 7 .

Podatci su 8 , 11 , 7 , 10 , 8 , 9 , 7 , 10 , a , b , gdje je b > a . Tada je

null
7

U tablici su dani podatci o broju novorođenčadi po tjednima za razdoblje od godinu dana u jednoj lokalnoj bolnici.

Broj novorođenih 1 2 3 4 5 6 7 8
Broj tjedana 3 2 7 14 5 17 3 1

Aritmetička sredina
 
.
Medijan je
 
.
Mod je
 
.

4.5
4.6
6

null
null
8

Cijene rada u kunama po satu za sedam anketiranih studenata su: 19 , 20 , 20 , 23 , 24 , 25 , 60 .

x - =  
Medijan je
Mod je
null
null
9

Koja mjera srednje vrijednosti najbolje reprezentira tipičnu cijenu sata iz prethodnog zadatka?

null
null
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

10.3 Raspršenost podataka