x
Učitavanje

10.1 Vrste i prikaz podataka

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Prikaz podataka

Svakodnevno smo okruženi informacijama u različitim oblicima, poput brojeva, slika, tablica i grafova, a njihovo čitanje, tumačenje i crtanje smatra se jednom od deset osnovnih matematičkih vještina.

Vrste podataka

Skupine istovrsnih elemenata koji imaju jedno ili više zajedničkih svojstava nazivamo skupom objekata.

Obilježje skupa objekata zajedničko je svojstvo objekata koje nas zanima na promatranom skupu. Obilježja mogu biti prikazana brojevima ili nekim drugim nizom vrijednosti.

Primjer 1.

Mačka

U jednome su razredu prikupljeni podatci o kućnim ljubimcima učenika. Troje učenika ima mačku, petero učenika psa, jedan učenik papigu, dvoje učenika ribu, dvoje učenika hrčka i jedan učenik ima zeca.

Skup svih kućnih ljubimaca, mačka, pas, papiga, riba, hrčak i zec, odnosno ono što prebrojavamo, skup je objekata.

Obilježje "kućni ljubimac" je nenumeričko ili kvalitativno obilježje.

Pogledajmo sljedeći primjer.

Primjer 2.

Igraća kocka

Kocku smo bacili 20 puta i dobiveni su sljedeći brojevi: 2 , 6 , 4 , 6 , 3 , 3 , 4 , 3 , 1 , 4 , 1 , 3 , 1 , 6 , 4 , 1 , 4 , 5 , 3 , 5 .

Skup objekata u ovome primjeru su svi brojevi na kocki, odnosno​ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 .

Obilježje ovoga skupa objekata je numeričko ili kvantitativno obilježje.

Podatak o tome koliko se puta pojavio neki broj prilikom bacanja kocke dobili smo prebrojavanjam. Takvo numeričko obilježje naziva se diskretnim.

Međutim, ako prikupljamo podatke o, primjerice, brzini automobila u gradu, to može biti bilo koji realni broj između  0 km/h i 80 km/h . To numeričko obilježje nazivamo kontinuiranim.

Zadatak 1.

Razvrstajte obilježja.

omiljeno voće

Kvalitativno obilježje

Kvantitativno diskretno obilježje

Kvantitativno kontinuirano obilježje

null
null

Organizacija diskretnih podataka

Tablica frekvencija

Podatke prikupljene u svrhu istraživanja potrebno je organizirati radi preglednosti i lakšeg uočavanja različitih svojstava.

U primjeru s kućnim ljubimcima dobivene podatke možemo jednostavno smjestiti u tablicu.

Vrsta kućnog ljubimca Broj
Mačka 3
Pas 5
Papiga 1
Riba 2
Hrčak 2
Zec 1

Broj u drugoj koloni koji nam govori koliko učenika ima koju vrstu kućnog ljubimca zovemo frekvencija pa se ovakva tablica zove tablica frekvencija.

U slučaju bacanja kocke podatke smještamo u tablicu frekvencija uz pomoć crtica.

Pogledajmo animaciju.

Zadatak 2.

U jednome razredu od 28 učenika bilježen je broj braće i sestara učenika toga razreda. Dobiveni su sljedeći podatci:

1 , 0 , 2 , 1 , 2 , 1 , 2 , 1 , 0 , 3 , 1 , 2 , 1 , 1 , 0 , 0 , 2 , 1 , 1 , 1 , 3 , 2 , 1 , 2 , 1 , 1 , 0 , 1 .

  1. Podatke organizirajte u tablicu frekvencija.
  2. Koji je najčešći broj braće i sestara u tome razredu?
Tablica frekvencija
Tablica frekvencija
  1. Tablica frekvencija
  2. Učenici najčešće imaju jednoga brata ili sestru.

Dijagram stablo-list

U dijagramu stablo-list stablo predstavlja nešto što je zajedničko skupini podataka, a listovi su nešto promjenjivo.

Primjer 3.

Dijagram stablo-list

Diktat iz engleskoga jezika pisalo je 36 učenika. Maksimalni broj bodova na testu je 50 . Postignuti su sljedeći rezultati:

42 , 36 , 24 , 33 , 32 , 43 , 28 , 33 , 42 , 50 , 34 , 23 , 20 , 28 , 30 , 22 , 40 , 32 ,

41 , 31 , 43 , 19 , 31 , 33 , 40 , 33 , 29 , 38 , 37 , 39 , 22 , 38 , 36 , 42 , 34 , 43 .

Za stablo ćemo uzeti prve znamenke 1 , 2 , 3 , 4 , 5 navedenih brojeva. Zatim ispisujemo odgovarajuće druge znamenke s obzirom na dane podatke u stupac list. Primjerice, za broj bodova 42 , stablo je 4 , a list 2 .

Nakon što sve podatke upišemo u dijagram, dobivamo neuređeni dijagram stablo-list.

Dijagram stablo-list

Ako listove poredamo po veličini, dobit ćemo uređeni dijagram.

Zadatak 3.

Dijagram stablo-list

Dijagram stablo-list prikazuje broj elektroničkih poruka koje je Mihovil primio tijekom dvadeset dana.

Napomena: 3 1 predstavlja 31 elektroničku poruku.

  1. Koliko je Mihovil ukupno primio elektroničkih poruka tijekom dvadeset dana?
  2. Koliko je najmanje elektroničkih poruka u nekome danu primio?
  3. Koji je broj elektroničkih poruka najčešće primio?
  1. Mihovil je ukupno primio 436 poruka.
  2. Jedan dan je primio 4 poruke.
  3. Najčešće je primio 24 poruke.

Organizacija kontinuiranih podataka

Razmislite, hoćemo li na isti način organizirati tablice frekvencija za kontinuirane podatke?

Budući da kontinuirani podatci mogu poprimiti puno različitih vrijednosti, ovakav način ne bi bio praktičan. Imali bismo previše kategorija. Zbog toga ćemo kontinuirane podatke grupirati u razrede. 


Primjer 4.

Mjerena je visina 28 učenika jednoga razreda. Dobiveni su sljedeći podatci (u metrima):

1.68 , 1.58 , 1.65 , 1.72 , 1.80 , 1.72 , 1.65 , 1.72 , 1.69 , 1.82 , 1.69 , 1.76 , 1.60 , 1.68 ,

1.66 , 1.74 , 1.70 , 1.59 , 1.72 , 1.75 , 1.69 , 1.68 , 1.63 , 1.79 , 1.65 , 1.76 , 1.59 , 1.68 .

Kao što vidimo, ima puno različitih brojeva, stoga ćemo ih promatrati u intervalima, odnosno grupirati u razrede. Na primjer, 1.50 - 1.55 , 1.55 - 1.60 , itd.

Visina učenika (m) Frekvencija
1.55 v < 1.60 3
1.60 v < 1.65 2
1.65 v < 1.70 11
1.70 v < 1.75 6
1.75 v < 1.80 4
1.80 v < 1.85 2

Uočimo da je u svakom razredu raspon podataka isti i iznosi 5 cm . Taj raspon zovemo širina razreda.

Zadatak 4.

Ana je mjesec dana zapisivala koliko je minuta čekala tramvaj na putu u školu:

3 , 10 , 5 , 7 , 17 , 2 , 5 , 3 , 9 , 12 , 7 , 4 , 7 , 5 , 3 , 8 , 4 , 8 , 11 , 6 .

Odaberite prikladnu širinu razreda i podatke prikažite u tablici frekvencija.

Ovo je tablica za širinu razreda jednaku 5 .

Vrijeme t u minutama Frekvencija
0 t < 5 6
5 t < 10 10
10 t < 15 3
15 t < 20 1

Prikazivanje diskretnih podataka

Stupčasti dijagram

Stupčasti dijagram je način grafičkog prikazivanja podataka u kojem je visina stupaca određena vrijednostima podataka koji se prikazuju. U stupčastom dijagramu stupci su međusobno odvojeni i jednake su širine.

Zadatak 5.

Koji od navedenih stupčastih dijagrama prikazuje podatke iz dane tablice?

Ocjena 1 2 3 4 5
Broj učenika
2 5 8 5 7

Stupčasti dijagram

Supčasti dijagram

Supčasti dijagram

Stupčasti dijagram

null
null

Stupčasti dijagram primjeren je za prikazivanje kvalitativnih i kvantitativnih diskretnih podataka, odnosno kada imamo mali broj vrijednosti podataka.

Zadatak 6.

U salonu ženske obuće prošli je mjesec prodano 20 pari cipela sljedećih veličina:

39 , 36 , 39 , 40 , 37 , 37 , 36 , 40 , 39 , 38 , 38 , 38 , 36 , 36 , 39 , 39 , 36 , 39 , 39 , 38 .

  1. Prikažite podatke u tablici frekvencija.
  2. Nacrtajte odgovarajući stupčasti dijagram.
Stupčasti dijagram
b. Stupčasti dijagram

a. Tablica frekvencija

Broj cipela
Frekvencija
36 5
37 2
38 4
39 7
40 2

b. Stupčasti dijagram


Linijski dijagram

Linijski dijagram ili poligon frekvencija nastaje spajanjem točaka kojima su prikazane vrijednosti podataka. Linijski je dijagram pogodan kada obilježja ovise o vremenu, primjerice, promjene populacije, količine padalina, cijena i slično.

Zadatak 7.

Na slici je prikazan linijski dijagram koji prikazuje podatke o prosječnoj maksimalnoj dnevnoj temperaturi u Malom Lošinju u razdoblju od 1961. do 1990. godine. Proučite ga i odgovorite na pitanja.

Linijski dijagram
  1. U danome je razdoblju prosječna maksimalna dnevna temperatura u Malom Lošinju najveća tijekom  i iznosi °C .
  2. Prosječna maksimalna dnevna temperatura niža je od 10 °C tijekom  .
null
null

Poredajte mjesece od onoga koji ima najnižu temperaturu do onoga koji ima najvišu temperaturu.

  • ožujak
  • travanj
  • srpanj
  • rujan
  • siječanj
  • veljača i prosinac
  • svibanj
  • lipanj
  •  studeni
  • listopad
  • kolovoz
null
null

 Piktogram

U piktogramu ili slikovnom dijagramu podatke prikazujemo grafički pomoću točaka ili sličica.

Primjer 5.

Piktogram

U tablici je prikazan broj golova koje je hokejaš postigao u zadnjih 30 utakmica.

Broj golova po utakmici Frekvencija
0 4
1 8
2 7
3 5
4 3
5 2
6 0
7 1

Prikažimo podatke piktogramom.

Zadatak 8.

Na pakiranju čavlića za plutenu ploču piše da sadrži 50 komada. U slučajno odabranim pakiranjima izbrojan je broj čavlića i dobiveni rezultat prikazan sljedećim piktogramom.

  1. Koliko je pakiranja slučajno odabrano?
  2. Nacrtajte pripadnu tablicu frekvencija.
  3. U koliko je pakiranja bilo manje od 50 čavlića?
  1. Slučajno je odabrano 25 pakiranja.
  2. Tablica frekvencija

    Broj čavlića u pakiranju
    Frekvencija
    46 2
    47 6
    48 7
    49 5
    50 4
    51 1
  3. U 20 je pakiranja manje od 50 čavlića.

Prikazivanje kontinuiranih podataka

U tablici su dana mjerenja visine za 223 učenika prvih razreda u jednoj gimnaziji. Podatci su grupirani u razrede:

Visina v u cm
Frekvencija
140 v 149 13
150 v 159 75
160 v 169 67
170 v 179 52
180 v 189 11
190 v 199 5

Što točno znači visina između 140 i 149 centimetara i pripadna frekvencija 13 ? Možemo li iz tablice zaključiti koliko je učenika visoko 148 cm ?

Znači da među učenicima ima njih 13 čija je visina u intervalu od 140 do 149 centimetara.

Ne znamo koliko ih ima koju visinu u tome intervalu.


Histogram koji prikazuje visinu učenika prvih razreda

Kontinuirane ćemo podatke prikazati povezanim stupcima koje nazivamo histogram. Uočimo da su na horizontalnoj osi označeni brojevi 145 , 155 ... Oni predstavljaju sredinu razreda.

Poligon frekvencija visina učenika prvih razreda

Podatke možemo prikazati i poligonom frekvencija tako da spajamo točke čija je prva koordinata sredina razreda, a druga odgovarajuća frekvencija razreda.

Zadatak 9.

Histogram mjerenja brzine vozila

Na jednoj je gradskoj prometnici mjerena brzina vozila. Rezultati mjerenja prikazani su sljedećim histogramom.

  1. Koliko je vozila sudjelovalo u mjerenju?
  2. Koliko se vozila kretalo brzinom između 60 km/h i 70 km/h ?
  3. Ograničenje je brzine na toj gradskoj prometnici 70 km/h . Koliki je postotak vozila prekoračio dozvoljenu brzinu?
  1. U mjerenju je sudjelovalo 420 vozila.
  2. 80 se vozila kretalo brzinom između 60 km/h i 70 km/h .
  3. Približno je 12 % vozila prekoračilo dozvoljenu brzinu.

...i na kraju

Poigrajte se u sljedećoj interakciji bacanjem kockice. Možete mijenjati broj bacanja kockice. Frekvencija pojavljivanja pojedinog broja na kockici prikazana je u tablici frekvencija i na stupčastom dijagramu s lijeve strane.

Što je prikazano na stupčastom dijagramu s desne strane? Što je to relativna frekvencija?

Povećaj ili smanji interakciju

Relativna frekvencija je udjel frekvencije neke vrijednosti u odnosu prema ukupnom broju promatranih podataka.

Idemo na sljedeću jedinicu

10.2 Mjere srednje vrijednosti