Matematika 2 - 2.6 Faktorizacija kvadratnog trinoma

Ponovimo

Primjer 1.

Prisjetimo se primjera skraćivanja algebarskih razlomaka kada su u brojniku i nazivniku kvadratni trinomi:

Skratimo razlomak $\frac{2 x^{2} - 5 x - 3}{x^{2} + 4 x - 21} .$

Znamo da prije skraćivanja trebamo faktorizirati brojnik i nazivnik.

Možemo li u brojniku ili nazivniku izlučiti neki zajednički faktor?

Ne možemo.

Prepoznajemo li koju od poznatih formula u brojniku i nazivniku?

Kvadratni trinomi u brojniku i nazivniku nisu kvadrati binoma.

Pokušajmo primjeniti metodu rastavljanja po srednjem članu.

Brojnik zapišimo u sljedećem obliku:

$\begin{array}{l} 2 x^{2} - 5 x - 3 = 2 x^{2} + x - 6 x - 3 = x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1) = (x - 3) (2 x + 1) \end{array} .$

U nazivniku možemo rastaviti srednji član na $7 x - 3 x .$

$\begin{array}{l} x^{2} + 4 x - 21 = x^{2} + 7 x - 3 x - 3 \cdot 7 = x \cdot (\begin{array}{l} x + 7 \end{array}) - 3 \cdot (\begin{array}{l} x + 7 \end{array}) = (\begin{array}{l} x + 7 \end{array}) (\begin{array}{l} x - 3 \end{array}) \end{array} .$

U ovom obliku razlomak možemo skratiti:

$\frac{(\begin{array}{l} x - 3 \end{array}) (\begin{array}{l} 2 x + 1 \end{array})}{(\begin{array}{l} x + 7 \end{array}) (\begin{array}{l} x - 3 \end{array})} = \frac{2 x + 1}{x + 7} .$

Nije jednostavno sjetiti se rastavljanja srednjeg pribrojnika kako bismo mogli primijeniti grupiranje te izlučivanje zajedničkog faktora.

Postoji li jednostavnija metoda?

Postoji li veza između kvadratnog trinoma i kvadratne jednadžbe?

Faktorizacija kvadratnog trinoma

Pogledajmo što vrijedi za izraze koji imaju oblik kao izraz iz brojnika.

Kvadratni trinom zapišimo

$a x^{2} + b x + c = a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}) .$

Primijetimo koeficijente u zagradi.

Primijenimo Vietèove formule.

$\begin{array}{l} a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}) = a [x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} \cdot x_{2}] \end{array}$

$= a [x (x - x_{1}) - x_{2} (x - x_{1})]$

$= a (x - x_{1}) (x - x_{2}) .$

Primijenimo sada dobivenu formulu na naš primjer.

Rješenja pripadajuće kvadratne jednadžbe iz brojnika su $x_{1} = 3$ i $x_{2} = - \frac{1}{2} .$

Brojnik možemo zapisati $2 x^{2} - 5 x - 3 = 2 \cdot (x - 3) (x + \frac{1}{2}) .$

Pomnožimo li izraz u drugoj zagradi s $2,$ dobivamo $(\begin{array}{l} x - 3 \end{array}) (\begin{array}{l} 2 x + 1 \end{array}) .$

Zapišimo zaključak:

Svaki kvadratni trinom može se zapisati u obliku

$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2}),$

gdje su $x_{1}$ i $x_{2}$ rješenja pripadajuće kvadratne jednadžbe $a x^{2} + b x + c = 0.$

Koja od navedenih kvadratnih jednadžbi ima rješenja $x_{1} = 1$ i $x_{2} = 3 ?$

3 (\begin{array}{l} x - 3 \end{array}) (\begin{array}{l} x + 1 \end{array}) = 0

Rješenja ove kvadratne jednadžbe su

- 1

3 .

2 (\begin{array}{l} x - 3 \end{array}) (\begin{array}{l} x - 2 \end{array}) = 0

Rješenja ove kvadratne jednadžbe su

2

3 .

(\begin{array}{l} x - 1 \end{array}) (\begin{array}{l} x - 3 \end{array}) = 0

Odgovor je točan.

(\begin{array}{l} x + 1 \end{array}) (\begin{array}{l} x + 3 \end{array}) = 0

Rješenja ove kvadratne jednadžbe su

- 1

3 .

null

Postupak:

Kvadratna jednadžba može se zapisati u obliku $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0$ $.$

Primjer 2.

Zapišimo zadane polinome kao umnoške polinoma I. stupnja primjenom postupka faktorizacije kvadratnog trinoma:

a) $5 x^{2} + 2 x - 3$

Riješimo pripadajuću kvadratnu jednadžbu $5 x^{2} + 2 x - 3 = 0 .$

Njezina rješenja su brojevi $- 1$ i $\frac{3}{5} .$ Prema formuli za rastavljanje kvadratnog trinoma dobivamo $5 x^{2} + 2 x - 3 = 5 (x + 1) (x - \frac{3}{5}),$ što je nakon sređivanja (množenje druge zagrade s $5$ ): $5 x^{2} + 2 x - 3 = (x + 1) (5 x - 3) .$

b) ${(2 x^{2} + 7 x)}^{2} - 12 (2 x^{2} + 7 x) - 45 .$

Promotrimo dani primjer. Uočimo izraz $2 x^{2} + 7 x .$ Pojavljuje se kao baza potencije s eksponentom $2$ i još jednom u izrazu. Uvedimo supstituciju $2 x^{2} + 7 x = m$ i riješimo pripadajuću kvadratnu jednadžbu.

Slijedi: $m^{2} - 12 m - 45 = 0 .$

Rješenja te jednadžbe su brojevi $- 3$ i $15 .$

Dobivamo: $m^{2} - 12 m - 45 = (m + 3) (m - 15) .$

Vratimo li početni izraz iz supstitucije, imamo $\begin{array}{l} {(2 x^{2} + 7 x)}^{2} - 12 (2 x^{2} + 7 x) - 45 = (2 x^{2} + 7 x + 3) (2 x^{2} + 7 x - 15) \end{array} .$

Primijenimo li postupak iz zadatka a) na svaku od zagrada, dobivamo

$\begin{array}{l} (2 x^{2} + 7 x + 3) (2 x^{2} + 7 x - 15) = 2 (x - \frac{3}{2}) (x + 5) \cdot 2 (x + 3) (x + \frac{1}{2}) = (2 x - 3) (x + 5) (x + 3) (2 x + 1) \end{array} .$

To je ujedno i rješenje zadatka b).

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Kvadratni trinom ili binom uparite s odgovarajućim faktoriziranim izrazom povlačenjem uz pomoć miša.

$2 x^{2} - 5 x + 2$	$3 (x - 2) (x + 1)$
$3 x^{2} - 3 x - 6$	$(x - 6) (x + 2)$
$x^{2} - x - 20$	$(2 x - 1) (x - 2)$
$x^{2} - 4 x - 12$	$(x + 4) (x - 5)$

Pomoć:

Sjetite se kako možete zapisati kvadratni trinom primjenjujući rješenja pripadajuće kvadratne jednadžbe.

Postupak:

Riješite pripadajuću kvadratnu jednadžbu te primjenjujući formulu $\begin{array}{l} a x^{2} + b x + c = a (\begin{array}{l} x - x_{1} \end{array}) (\begin{array}{l} x - x_{2} \end{array}) \end{array}$ zapišite izraz.

Zadatak 2.

Napišite na papir u obliku umnoška polinoma I. stupnja sljedeće polinome:

$4 x^{2} - 5 x + 1$
${(\begin{array}{l} x^{2} + 3 x \end{array})}^{2} - 2 (\begin{array}{l} x^{2} + 3 x \end{array}) - 8$

$(4 x - 1) (x - 1)$
$(x - 1) (x + 1) (x + 2) (x + 4)$

Zadatak 3.

Skratite razlomke:

$\frac{x^{2} + 8 x + 15}{x^{2} - 4 x - 21}$
$\frac{10 x^{2} + 3 x - 4}{10 x^{2} - 3 x - 1}$

$\frac{x + 5}{x - 7}$
$\frac{5 x + 4}{5 x + 1}$

Zatvori

Određivanje kvadratne jednadžbe

Do sada smo rješavali jednadžbe i provjeravali rješenja. Možemo li obrnutim postupkom iz rješenja dobiti jednadžbu?

Pogledajmo. U prethodnim primjerima upotrijebili smo raspis kvadratne jednadžbe:

$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) .$

To znači da u izraz s desne strane možemo uvrstiti rješenja kvadratne jednadžbe i množenjem ćemo doći do izraza na lijevoj strani, tj. do kvadratne jednadžbe kojoj rješenja pripadaju.

Riješimo sada nekoliko primjera.

Primjer 3.

Napišimo kvadratnu jednadžbu kojoj su rješenja brojevi $2$ i $- 4 .$

Uvrstimo li u jednadžbu $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0$ rješenja jednadžbe, dobijemo:

$\begin{array}{l} a (\begin{array}{l} x - 2 \end{array}) (\begin{array}{l} x + 4 \end{array}) = a (\begin{array}{l} x^{2} + 2 x - 8 \end{array}) = 0 . \end{array}$

Primijetimo da $a$ može biti bilo koji realan broj različit od nule. Istu jednadžbu dobivamo izravnom primjenom Vièteovih formula

$\begin{array}{l} a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}) = a [x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} \cdot x_{2}] \end{array} .$

Primjer 4.

Odredimo kvadratnu jednadžbu kojoj je jedno od rješenja broj $\frac{1}{1 - i} .$

Znamo da kod kvadratne jednadžbe kompleksna rješenja dolaze u paru. Stoga, ako znamo jedno, drugo rješenje će biti konjugirano kompleksni par danog rješenja. Pogledajmo čemu je jednak broj $\frac{1}{1 - i} = \frac{1}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{1 + i}{2} .$

Slijedi da je drugo rješenje broj $\frac{1 - i}{2} .$

Pripadajuća kvadratna jednadžba je $\begin{array}{l} x^{2} - (\frac{1 + i}{2} + \frac{1 - i}{2}) x + \frac{1 + i}{2} \cdot \frac{1 - i}{2} = 0 \end{array} .$

Nakon sređivanja dobivamo jednadžbu $x^{2} - x + \frac{1}{2} = 0 .$

Kvadratna jednadžba kojoj je jedno od rješenja

1 + \sqrt{7}

glasi

x^{2} + b x + c = 0 .

Koeficijenti su:

b =

Točan odgovor je

- 2 .

, a

c =

Točan odgovor je

- 6 .

Pomoć:

Primijenite formulu $a x^{2} - (\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} \end{array}) x + x_{1} x_{2} = 0 .$

Postupak:

Ako je jedno rješenje $1 + \sqrt{7,}$ tada je drugo jednako $1 - \sqrt{7} .$ Uvrštavanjem u formulu dobije se tražena kvadratna jednadžba.

Primjer 5.

Zadana je kvadratna jednadžba $5 x^{2} - 3 x + 1 = 0 .$

Napišite u bilježnicu kvadratnu jednadžbu ako je zadano da je razlika između rješenja tražene i zadane jednadžbe jednaka $2 .$

Zadatak 4.

Pokušajte sada sami riješiti sljedeći zadatak. Za pomoć kod rješavanja pogledajte prethodni video.

Zadana je kvadratna jednadžbe $5 x^{2} - 3 x + 1 = 0 .$

Napišite u bilježnicu kvadratnu jednadžbu ako je kvocjent rješenja tražene i zadane jednadžbe jednak $5 .$

Nazovimo rješenja tražene jednadžbe sa $t_{1}$ i $t_{2} .$ Za njih tada vrijedi $t_{1} = 5 x_{1}, t_{2} = 5 x_{2} .$

Kako vrijedi $t^{2} - (\begin{array}{l} t_{1} + t_{2} \end{array}) t + t_{1} t_{2} = 0$ uvrštavanjem dobivamo $t^{2} - (5 x_{1} + 5 x_{2}) t + 5 x_{1} \cdot 5 x_{2} = 0 .$

Primijenimo li Vièteove formule na početnu jednadžbu dobivamo $t^{2} - 5 \cdot \frac{3}{5} t + 25 \cdot \frac{1}{5} = 0 .$ Konačno rješenje je $t^{2} - 3 t + 5 = 0 .$

Zanimljivost

Metode faktorizacije polinoma nisu tako stare kako biste pomislili.

Jedan od matematičara koji se bavio faktorizacijom polinoma je Adrien Marie Legendre's (1752.-1833.).

2.6 Faktorizacija kvadratnog trinoma

Na početku...

Ponovimo

Faktorizacija kvadratnog trinoma

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Određivanje kvadratne jednadžbe

Zadatak 4.

Zanimljivost

...i na kraju

2.7 Sustavi kvadratne i linearne jednadžbe