Aktivnosti za samostalno učenje

Dizajn i poliedri

Praktična vježba

Snimite svoj dom. Na slici pronađite što više poliedara.

Promotrite priloženu sliku.

Zaigrajte igru s parom u klupi. Redom imenujte poliedre na slici. Pobjednik je onaj koji ih pronađe i imenuje više.

Projekt

Bojenje kuće ili stana​

Jedna od najčešćih primjena računanja oplošja poliedara je u svrhu bojenja zidova i ostalih površina u stanu ili kući.

1. Ovu vježbu možete raditi samostalno ili u paru. Odaberite kuću ili stan jednog od članova tima.
2. U jednom od grafičkih programa ili na papiru, uz pomoć geometrijskog pribora, napravite prikaz kuće ili stana koji ćete bojiti. Umjesto toga možete napraviti i maketu u određenom mjerilu.
3. Obiđite trgovine s materijalom za bojenje zidova i stropova ili se o tome informirajte na internetu.
4. Sastavite tablice u kojima ćete iskazati barem tri ponude i usporediti ih. Vodite računa o količini boje potrebne za bojenje.
   
5. Predložite najbolju ponudu.

Projekt

Izračunajte koliko bi „bez ruku„ koštalo bojenje odabranog prostora prema odabranoj ponudi. Ne zaboravite prostor prekriven pločicama, kao i podove, izostaviti iz dijela za bojenje.

Ne zaboravite da vam treba i pribor kao što su četke i valjci.

Graditeljstvo i poliedri

Projekt

Piramide

Grčki povjesničar i pisac Herodot (484. – 424. pr. Kr.) prilikom svog višegodišnjeg studijskog boravka u Egiptu u jednom od razgovora s hramskim svećenicima iz Heliopolisa saznao je zanimljive podatke o gradnji piramida iz Gize, koje je obišao oko 440. godine pr. Kr., dakle dva tisućljeća nakon pretpostavljenog vremena njihove izgradnje. Temeljem pomne analize jednog njegovog ne posve jasnog knjiškog zapisa John Taylor (1781.-1864.), engleski matematičar, astronom, egiptolog i izdavač te veliki zaljubljenik u piramide, zaključio je da je Velika piramida bila koncipirana i građena tako da je površina svakog jednakokračnog trokuta njezina plašta jednaka površini kvadrata čije su stranice jednake njezinoj visini.

Projekt

U tablici su podaci o veličinama sa slike. Radi se o piramidi u Gizi.

$a$	$b$	$c$	$v$
$232.8\mathrm{m}$	$188.5\mathrm{m}$	$221.5\mathrm{m}$	$148.2\mathrm{m}$

Projekt

Koristeći se ovim podacima riješite sljedeće zadatke:

1. Ispitajte tvrdnju Johna Taylora: Površina svakog jednakokračnog trokuta piramidalnog plašta jednaka je površini kvadrata čije su stranice jednake visini piramide.
   
2. Ispitajte tvrdnju: Cesta širine $2.5$ metara i debljine $10\mathrm{cm},$ koja bi spajala San Francisco s New Yorkom, mogla bi se smjestiti u unutrašnjost Velike piramide!
3. Izračunajte težinu piramide ako je ${\rho }_{kamena}=2000\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}.$
   
4. Ispitajte tvrdnju: Ako visinu piramide kvadriramo, dobit ćemo vrijednost površine bočnih stranica.
5. Koji poznati broj ćete dobiti ako opseg baze podijelite s dvostrukom visinom piramide?
   

Umjetnost i poliedri

Umjetnost i poliedri

Umjetnici se u svojim radovima, osobito u skulpturama, vole služiti poliedrima.

Praktična vježba

1. Pronađite još umjetničkih instalacija u kojima su upotrijebljeni poliedri. Napravite plakat u kojem ćete za svaku od prizmi pronaći po jedno umjetničko djelo u kojem je upotrijebljena.​
2. Izradite mala umjetnička djela rabeći različite materijale na temu poliedara. Neka vam inspiracija bude djelo osječkih srednjoškolaca.

Još ponešto o poliedrima

Kutak za znatiželjne

 Pravilni poliedar ima sljedeća svojstva:

• ​stranice su mu pravilni poligoni
• isti broj stranica spaja se u svakom vrhu.

​Ima devet pravilnih poliedara:

• ​pet je konveksnih ili Platonovih tijela
• četiri su zvijezde poliedri ili Kepler-Poinsot poliedri.
  

Mali zvjezdasti dodekaedar, veliki zvjezdasti dodekaedar, veliki dodekaedar, veliki ikozaedar.

Praktična vježba

Pogledajte ovu transformaciju kocke u romboidni dodecahedron. Pokušajte sami napraviti tu transformaciju. Papir, karton, drvo? Poigrajte se s materijalima.

Za rješavanje nekih od problema s poliedrima potrebno nam je i znanje o trigonometriji pravokutnog trokuta. Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 1.

Duljina prostorne dijagonale kocke je $a.$ Kolika je udaljenost prostorne dijagonale od bilo koje stranice?

$d=a\sqrt{2},$ $D=a\sqrt{3},$ $cos\alpha =\frac{d}{D}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{d}\Rightarrow d=\frac{a}{\mathrm{tg}\alpha },$

$sin\alpha =\frac{x}{\frac{d}{2}}\Rightarrow d=\frac{2x}{sin\alpha }$

$\begin{array}{l}\frac{2x}{sin\alpha }=\frac{a}{\mathrm{tg}\alpha }\Rightarrow x=\frac{a·cos\alpha }{2sin\alpha }·sin\alpha =\frac{a\sqrt{6}}{6}\end{array}$

Primjer 2.

Za pravilnu četverostranu piramidu zadan je bočni brid $b=2$ te kut između bočnog brida i dijagonale baze $\alpha =30°.$ Odredite volumen piramide.

$\cos \alpha =\frac{\frac{d}{2}}{b}\Rightarrow d=2b·\cos 30°,$ $a\sqrt{2}=2b·\cos 30°,$ $a=2\sqrt{\frac{3}{2}}$

$sin\alpha =\frac{h}{b}\Rightarrow h=b·sin30°=2·\frac{1}{2}=1$

$\begin{array}{l}V=\frac{B·h}{3}=\frac{a^2·h}{3}=\frac{{\left(2\sqrt{\frac{3}{2}}\right)}^2·1}{3}=2\end{array}$

Zadatak 1.

 A sada pokušajte riješiti nekoliko sličnih zadataka.

1. Za prizmu sa slike zadana je prostorna dijagonala $d=4\mathrm{cm}$ $.$ Zadana dijagonala s bočnim bridom zatvara kut $\alpha =30°.$ Koliki je volumen prizme?

   

   $9{\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}$

   $36{\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}$
   

   $18{\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}$  ​

   

   null

2. Pravilna šesterostrana piramida ima kut između dijagonale baze i bočnog brida od $30°$ i volumen $32{\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}$ $.$ Koliko iznosi brid baze?

   

   $16\mathrm{cm}$

   $4\mathrm{cm}$

   $8\mathrm{cm}$
   

   

   Pomoć:

   $\mathrm{tg\alpha =}\frac{h}{a}$  ​

   null