Matematika 2 - Pojmovnik

Graf funkcije $f (x) = a {(x - x_{0})}^{2}$

Graf funkcije $f (x) = a {(x - x_{0})}^{2}$ je parabola koja se dobije pomakom grafa funkcije $f (x) = a x^{2}$ u smjeru osi $x$ za $x_{0}$ udesno ako je $x_{0} > 0$ , to jest ulijevo ako je $x_{0} < 0$ .

Točku $T (x_{0}, 0)$ nazivamo tjeme parabole $y = a {(x - x_{0})}^{2}$ . Ako je $a > 0$ , parabola je otvorena prema gore, dok je za $a < 0$ otvorena prema dolje.

Os simetrije je pravac $x = x_{0}$ .

Graf funkcije $f (x) = a {(x - x_{0})}^{2} + y_{0}$

Graf funkcije $f (x) = a {(x - x_{0})}^{2} + y_{0}$ je parabola koja se dobije pomakom grafa funkcije $f (x) = a x^{2}$ u smjeru osi $x$ za $x_{0}$ i u smjeru osi $y$ za $y_{0}$ .

Tjeme parabole je u točki $T (x_{0}, y_{0})$ . Ako je $a > 0$ , tjeme je najniža točka parabole (njegova ordinata je najmanja vrijednost funkcije), a ako je $a < 0$ , tjeme je najviša točka parabole (njegova ordinata je najveća vrijednost funkcije).

Os simetrije je pravac $x = x_{0}$ .

Graf funkcije $f (x) = a x^{2} + y_{0}$

Graf funkcije $f (x) = a x^{2} + y_{0}$ je parabola koja se dobije pomakom grafa funkcije $f (x) = a x^{2}$ u smjeru osi $y$ za $y_{0}$ prema gore ako je $y_{0} > 0$ , odnosno prema dolje ako je $y_{0} < 0$ .

Točku $T (0, y_{0})$ nazivamo tjeme parabole $y = a x^{2} + y_{0}$ . Ako je $a > 0$ , parabola je otvorena prema gore, dok je za $a < 0$ otvorena prema dolje.

Os simetrije je pravac $x = 0$ (jednadžba osi ordinate).

Iracionalne jednadžbe

Jednadžbe u kojima je nepoznanica pod znakom korijena nazivamo iracionalne jednadžbe. Prvi korak u njihovu rješavanju je potenciranje.

Kvadratna funkcija

Kvadratna funkcija ili polinom drugog stupnja je funkcija $f : R \to R$ definirana formulom $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

Koeficijenti $a, b i c$ su realni brojevi te vrijedi $a \neq 0$ .

Kvadratna nejednadžba

Kvadratna nejednadžba je nejednadžba oblika

$a x^{2} + b x + c < 0$ ili
$a x^{2} + b x + c > 0$ ili
$a x^{2} + b x + c \leq 0$ ili
$a x^{2} + b x + c \geq 0$ ,

gdje je $a \neq 0$ .

Nultočka kvadratne funkcije

Nultočka kvadratne funkcije $f (x) = a x^{2} + b x + c$ je točka $(x, f (x) = 0)$ presjeka grafa funkcije i osi apscisa.

Apscisa nultočke, tj. vrijednost varijable $x$ za koju je $f (x) = 0$ naziva se nulište funkcije.

Vrijednost nulišta kvadratne funkcije računamo tako da riješimo kvadratnu jednadžbu $a x^{2} + b x + c = 0$ .

Parabola

Graf kvadratne funkcije nazivamo parabola, s jednadžbom $y = a x^{2} + b x + c$ .

Parni korijen

Funkcija drugi korijen (i svaki parni korijen) nije definirana za negativne brojeve i uvijek je nenegativan realan broj.

Polinom jedne varijable

Funkciju oblika $\begin{matrix} f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} \end{matrix}$ , gdje su $a_{n}, a_{n - 1}, \dots, a_{1}$ , $a_{0} \in R$ , $a_{n} \neq 0$ nazivamo polinom jedne varijable n-tog stupnja (čitaj: entog stupnja).

$n$ je stupanj polinoma, dok $a_{n}$ nazivamo vodeći koeficijent. Polinomi su definirani za svaki realni broj $x$ pa je domena tih funkcija skup realnih brojeva.

Položaj pravca i parabole

Pravac i parabola mogu se naći u trima položajima:

parabola i pravac se ne sijeku
parabola i pravac imaju jednu zajedničku točku; pravac je tangenta parabole
parabola i pravac sijeku se u dvjema točkama; pravac je sekanta parabole.

Graf funkcije f x = a x - x 0 2

Graf funkcije f x = a x - x 0 2 + y 0

Graf funkcije f x = a x 2 + y 0