x
Učitavanje

3.8 Primjena kvadratne funkcije

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Na stranicama Nacionalnog centra za vanjsko vrednovanje možete pronaći sada već veliku galeriju zadataka s provedenih nacionalnih ispita i ispita državne mature. Na nacionalnom ispitu u veljači 2007. godine pojavio se sljedeći zadatak.

Na nogometnoj utakmici vratar ispucava loptu. Putanja lopte opisana je funkcijom h x = - 0.0126 x 2 + 0.635 x , gdje je h visina na kojoj je lopta iznad zemlje, a x horizontalna udaljenost od mjesta ispucavanja. Veličine h i x izražene su u metrima.

  1. Na kojoj je visini lopta kad je njezina horizontalna udaljenost od mjesta ispucavanja 15 m ?
  2. Na kojoj udaljenosti od mjesta ispucavanja lopta pada na tlo?
  3. Koju najveću visinu lopta postiže?

Riješite zadatak, a zatim rješenje provjerite u sljedećoj animaciji.

Kao u animaciji, postavimo jednu nultočku kod vratara. Vidimo i iz zadane funkcije da parabola prolazi kroz ishodište koordinatnog sustava ​ c = 0 .

  1. Traži se točka na paraboli u kojoj je:

    x = 15 m

    h = - 0.0126 · 15 2 + 0.635 · 15 = 6.69 m .

  2. Traži se druga nultočka:​

    h = 0

    x - 0.0126 x + 0.635 = 0 x 1 = 0 , x 2 = 50.4 .

    Lopta pada na tlo na udaljenosti od 50.4 m od gola.

  3. Traži se maksimum: y 0 = 4 a c - b 2 4 a = - 0.635 2 4 · - 0.0126 = 8 .

    Lopta postiže maksimalnu visinu od 8 m .


Primjena u fizici

Primjer 1.

Horizontalni hitac

S tornja visokog 50 m bacimo horizontalno kamen početnom brzinom 30 m/s . Koliko dugo će kamen padati? Na kojoj će udaljenosti od tornja pasti na tlo?

h = 50 m

v 0 = 30 m/s

g = 9.81 m/s

U ovim zadatcima zanemarimo otpor zraka.

Prijeđeni put ovisi o kvadratu vremena. Imamo kvadratnu funkciju:

h t = 1 2 g t 2 / · 2 g t 2 = 2 h / : g t 2 = 2 h g .

Korjenovanjem ove jednakosti dobijemo formulu kojom računamo vrijeme u ovisnosti o visini: t = 2 h g = 100 9.81 = 3.19 s .

U formulu za prijeđeni put s t = v 0 t uvrstimo t = 3.19 s da bismo dobili udaljenost od tornja na koju će kamen pasti, s = 95.7 m (domet kamena).

Kutak za znatiželjne

Grafički prikaz horizontalnog hica
Horizontalni hitac

Tijelo izbačeno u horizontalnom smjeru početnom brzinom v 0 m/s opisuje luk parabole. Neka je smjer početne brzine izbačenog tijela os x , a ishodište koordinatnog sustava početna točka.

Bez gravitacijske sile tijelo bi nakon t sekundi prešlo put s t = v 0 t metara (graf je pravac).

Zbog djelovanja gravitacijske sile nakon t  sekundi tijelo padne za h t = 1 2 g t 2 metara (graf je parabola).

Presjek tih dviju krivulja je točka u kojoj će biti tijelo nakon t sekundi, D v 0 t , - 1 2 g t 2 .

Izvedimo formulu za visinu h u ovisnosti o prijeđenom putu s (i obrnuto). (Pogledajte: Matematika 1, Sustav jednadžbi, metoda supstitucije).

t = s v 0 t 2 = s 2 v 0 2 h = - 1 2 g s 2 v 0 2 = - g s 2 2 v 0 2 / · - 2 v 0 2

- 2 v 0 2 h = g s 2 / : g

s 2 = - 2 v 0 2 h g /

s = v 0 · - 2 h g

Vidimo da je funkcija h s = - 1 2 g s 2 v 0 2 = - g s 2 2 v 0 2 parabola s tjemenom u ishodištu koordinatnog sustava (pogledajte prvu jedinicu ovog modula) okrenuta prema dolje.

Zato je h  uvijek negativan broj pa je izraz pod korijenom iracionalne funkcije s h = v 0 · - 2 h g dobro definiran (uvijek pozitivan broj).

Vratimo se na zadatak. Sada izravno, neovisno o t , možemo dobiti domet kamena uz zadanu visinu h , s = 95.78 m .

Razlika u računu pojavila se zbog greške zaokruživanja vremena t na dvije decimale koje smo uvrštavali u formulu za s .

Zadatak 1.

S tornja visokog 30 m bacimo horizontalno kamen početnom brzinom 10 m/s . Koliko dugo će kamen padati? Koliki mu je domet? Kojom će brzinom pasti na tlo?

Kamen će padati t = 2.47 s .

Domet kamena je s = 24.7 m .

Brzina kojom će pasti na tlo je v = v 0 2 + g · t 2 = 26.21 m/s .


Zanimljivost

Galileo Galilei (1564. – 1642.), utemeljitelj moderne fizike, poznat je u široj javnosti po svojemu zastupanju Kopernikova heliocentričnog sustava. Osim velikog doprinosa u astronomiji, izuzetno je važan njegov doprinos u prvoj polovici 17. stoljeća u stvaranju novovjekog učenja o gibanju tijela.

Povezani sadržaji

Galileo je vrlo detaljno pristupio proučavanju gibanja tijela niz kosinu. To je gibanje smatrao srodnim slobodnom padu, ali sporijim tako da je mogao točno mjeriti prijeđene putove i odgovarajuće vremenske intervale. Analizirajući dobivene podatke spoznao je pravilnost jednolikoga ubrzanoga gibanja.

Pronađite više o toj temi u Mehanici Antonija Dulčića, poglavlje Newtonovi zakoni gibanja (str. 57.). Vizualizirajte pokus Nedeljkovom GeoGebrom, Galileo Galilei i pojam inercije. O Galileu nekoliko zanimljivosti možete pronaći u tekstu Doroteje Luzine te na Wikipediji.

Provedite sami istraživanje o tom Galileovu zapažanju. Kao motivaciju pogledajte što su napravili učenici Osnovne škole Fran Franković iz Rijeke, Inspirirani Galileom.

Zadatak 2.

Visina na kojoj se nalazi projektil t  sekundi nakon ispaljivanja dana je formulom h t = - 2 t - 11 2 + 310  ( h   je izraženo u metrima). Koliko će sekundi projektil biti na visini iznad 182 m ? (Zadatak je s državne mature.)​

U 3 . sekundi (dok projektil ide prema gore) i u 19 . sekundi (ide prema dolje) projektil je na visini od 182 m . Ukupno vrijeme koje je projektil proveo iznad 182 m je 16  sekundi.


Povezani sadržaji

Vertikalni hitac je složeno gibanje koje se sastoji od jednolikoga gibanja po pravcu i slobodnog pada. Pomak kod vertikalnog hica je funkcija koja ovisi o kvadratu vremena s t = v 0 t - 1 2 g t 2 , gdje je v 0  brzina kojom je tijelo izbačeno uvis.

Zadatak 3.

Grafički prikaz vertikalnog hica

Na slici je grafički prikaz vertikalnog hica. Odgovorite na pitanja koristeći se nacrtanim grafom.

  1. Koliki je domet vertikalnog hica?
  2. U kojem je trenutku tijelo u najvišoj točki svoje putanje?
  3. Nakon koliko vremena tijelo pada na tlo?
  4. Koliko je dugo tijelo na visini iznad 100 m ?
  5. Izračunajte kolika je početna brzina izbačenog tijela?
  1. Domet je 180 m .
  2. Na visini od 182 m tijelo će biti u 6 . sekundi.
  3. Tijelo pada na tlo nakon 12 s .
  4. Na visini iznad 100 m tijelo je 8 s .
  5. Početna je brzina 60 m/s .

Primjena u arhitekturi

Zanimljivost

Najčešća je zabluda da lukovi mostova imaju oblik parabole. To su uglavnom dijelovi kružnice ili tzv. lančanice. Jedan od rijetkih mostova koji slijede oblik parabole je Zeleni most u Zagrebu.

Primjer 2.

Slika željezničkog mosta
Izvor: https://commons.wikimedia.org; Autor: By Epepe - Own work; Licencija: GFDL

Luk mosta

Odredimo jednadžbu parabole Željezničkog (Zelenog) mosta na Savi ako je duljina mosta nad kojim se pruža luk 135 m te maksimalna visina luka 17.3 m .

Smjestimo most u koordinatni sustav tako da mu je najviša točka (tjeme) na osi y . Znamo da je tada jednadžba parabole y = a x 2 + y 0 . Koordinate tjemena T 0 , 17.3 imamo, još moramo izračunati vodeći koeficijent. Kako nam je raspon luka 135 m , to je zapravo udaljenost između dviju nultočki. Odredimo koordinate nultočki: x 1,2 = ± 135 2 = ± 67.5 ± 67.5 , 0 .

Dobivene nultočke uvrstimo u jednadžbu parabole i izračunamo vodeći koeficijent:

0 = a · 67.5 2 + 17.3 a = - 17.3 4 556,25 = - 0.0038 .

Jednadžba parabole Zelenog mosta je y = - 0.0038 x 2 + 17.3 .

Povezani sadržaji

Željeznički most preko Save u Zagrebu ima zanimljivu povijest. Službeni je naziv mosta  Novi željeznički most, iako mu je već 80-ak godina (izgrađen je potkraj 1939. godine pokraj Staroga željezničkog mosta iz 1862.). Obično ga zovu Željeznički most, odnosno Zeleni most zbog njegove zelene boje. U posljednje je vrijeme krenula inicijativa mladih da se naziv mosta promijeni u Hendrixov most, prema slavnom grafitu napisanom dva puta na mostu, Hendrix. Hendrixova (Jimy Hendrix, 1942. – 1970.) biografija Room full of mirrors ima na prvoj stranici fotografiju zagrebačkog mosta (i sam je grafit u jednom njemačkom forumu svrstan na drugo mjesto).

Još zanimljivosti o mostu, tehničkim obilježjima i tijeku obnove mosta pročitajte u časopisu Građevinar 8/2014, članak Građevina s posebnom aurom.

Zadatak 4.

Luk koji podupire most ima oblik parabole y = - 1 120 x 2 , najveća visina mosta iznosi 7.5 m . Kolika je duljina mosta?

Grafički prikaz rješenja

Ako vrh mosta (tjeme parabole) smjestimo u ishodište koordinatnog sustava (kao na slici) dobivamo da je duljina mosta 60  metara.


Zadatak 5.

Fontana u parku
Izvor: Commons.wikimedia.org/wiki Licenca: CC BY-SA 4.0 Autor: Rabsum

Pri preuređenju parka arhitekt je predložio izradu fontane. Širina luka vodoskoka je maksimalno 2 m (od točke gdje voda izlazi do mjesta gdje se vraća u fontanu) te je jednaka maksimalnoj visini koju vodoskok smije dosegnuti. Koja je jednadžba parabole koju će vodoskok oblikovati?

Grafičko rješenje

Tjeme ima koordinate T 1 , 2 y = a x - 1 2 + 2 .

Imamo točku na paraboli 0 , 0 , uvrstimo u jednadžbu, dobijemo a pa je y = - 2 x - 1 2 + 2 . Kvadriranjem i sređivanjem jednadžbe dobijemo parabolu: y = - 2 x 2 + 4 x .


Primjena u ekonomiji

Povezani sadržaji

Prije nego što prijeđete na sljedeći zadatak iz ekonomije, potražite definicije pojmova koji se u primjeru rabe (ponuda i potražnja, cijena proizvoda, trošak, dobit, prihod, rentabilnost, gubitak) u Riječniku pojmova iz ekonomije i definicije, prof. dr. sc. Vjekoslava Para. Definicije također možete pronaći u Ekonomskom riječniku na stranicama Ekonomskog portala. Ako se dodatno želite upoznati s pojmom rentabilnosti, pročitajte članak Produktivnost, ekonomičnost, rentabilnost autora mag. oecc. Bajra Sarića. Potražite na internetu ili u školskoj/gradskoj knjižnici još sadržaja o pojmovima iz ekonomije te ih prezentirajte u razredu.

Primjer 3.

Funkcija dobiti

Prosječni mjesečni troškovi jednog poduzeća izraženi su u kunama formulom T - x = 3 x + 1 900 x . Ako je mjesečna potražnja proizvoda x = 400 - p , gdje je p cijena proizvoda, odredimo:

  1. ​optimalnu količinu mjesečne prodaje za maksimalnu dobit​
  2. ​maksimalni ukupni mjesečni prihod
  3. ​interval rentabilnosti
  4. ​grafički prikaz funkcija ukupnih prihoda, ukupnih troškova te dobiti.

Neka je P x = p · x funkcija ukupnih prihoda. Uvrstimo p = 400 - x , pa imamo:

P x = p · x = 400 - x · x = 400 x - x 2 .

Nadalje, s T x = x · T - x označimo funkciju ukupnih troškova pa je:

T x = x 3 x + 1 900 x = 3 x 2 + 1 900 .

Konačno, D x = P x - T x je funfcija dobiti:

D x = 400 x - x 2 - 3 x 2 - 1 900 = - 4 x 2 + 400 x - 1 900 .

Prvi i drugi zadatak riješit ćemo tako da potražimo maksimalnu vrijedost funkcije D x , odnosno P x . Pokušajte sami doći do rješenja.

U trećem zadatku, da bismo bili rentabilni, tj. poslovali bez gubitaka, moramo imati pozitivnu dobit. Dakle, nađemo rješenje nejednadžbe D x 0 . Odredite traženi interval za x .

Prikažite sve funkcije grafički, a zatim s pomoću predloška u nastavku provjerite dobivena rješenja.

U označena polja upišite koeficijente kvadratne funkcije, zatim pomičite točku po paraboli i usporedite rješenja.

Savjet: Prije upisivanja novih vrijednosti koeficijenata, točku na krivulji vratite na početak krivulje (kako biste ju mogli upotrijebiti i u drugim grafovima).

Povećaj ili smanji interakciju
Grafičko rješenje zadatka
  1. Maksimalna dobit je 8 100 kn , za koju je potrebno na mjesec prodati 50  proizvoda.
  2. ​Maksimalni mjesečni prihod od 40 000 kn ostvari se uz prodaju 200  proizvoda.
  3. x 5 , 95
  4. Pogledajte sliku. Uočite da smo koordinatni sustav prilagodili vrijednostima kako bi nam graf bio pregledniji. Pri modeliranju se često mogu vidjeti grafovi čiji omjer koordinatnih osi nije uvijek 1 : 1 .


Zadatak 6.

Agencija nudi jednodnevni izlet brodom. Cijena je izleta 300 kn po osobi. Za svaku sljedeću osobu cijena se umanjuje za 20 kn . Ako dvije osobe idu na izlet, cijena po osobi je 280 kn , za tri osobe 260 kn itd. Kapacitet broda je 12  osoba. Koliko bi osoba trebalo biti prijavljeno za izlet da bi agencija poslovala rentabilno? Ukupni troškovi agencije iznose 1 000 kn . Kada će agencija postići maksimalnu dobit? Koji je maksimalni ukupni prihod agencije? Nacrtajte grafove funkcija prihoda i dobiti.

Grafički prikaz rješenja zadatka
  • cijena po osobi, p = 300 - 20 x - 1 = 320 - 20 x
  • x ... broj osoba na izletu
  • prihod agencije, P x = p · x = 320 - 20 x · x = 320 x - 20 x 2  
  • dobit agencije, D x = P x - 1 000 = - 20 x 2 + 320 x - 1 000  

Pokušajte rješenje dobiti s pomoću prethodnog predloška. Zbog manjih vrijednosti potrebno je povećati prikaz koordinatnog sustava. Svakako točku na paraboli prije upisivanja koeficijenata pomaknite na početak, blizu nule, kako biste ju mogli upotrijebiti i dalje za čitanje vrijednosti na paraboli.

Rentabilno poslovanje znači poslovanje bez gubitka, tj. D x 0 . Rješenje nejednadžbe je x 8 - 14 , 8 + 14 poslovanje je rentabilno ako na izlet ide između 5  i 11  osoba.

Maksimalnu dobit ( 280 kn ) te maksimalan ukupni prihod ( 1   280 kn ) agencija ostvaruje ako je na izletu 8  osoba.


Primjena u svakodnevnom životu

Primjer 4.

Postavljanje ograde

Perica je kupio ogradu dugu 100 metra za travnjak u obliku pravokutnika. Koje će dimenzije imati stranice Peričina travnjaka a da mu površina bude najveća moguća? Kolika će biti ta površina?

Duljina ograde jednaka je opsegu pravokutnika sa stranicama budućeg travnjaka, x i y : 2 x + 2 y = 100 .

Kako tražimo maksimalnu površinu P = x · y , definirajmo je kao funkciju u ovisnosti o stranici x . Drugu stranicu prikažimo s pomoću x : 2 y = 100 - 2 x / : 2 y = 50 - x i uvrstimo u formulu za površinu:

P x = x · y = x · 50 - x = 50 x - x 2 = - x 2 + 50 x .

Imamo kvadratnu funkciju kojoj je ​ a < 0 pa funkcija ima maksimalnu vrijednost, odnosno maksimalnu površinu u tjemenu parabole:

y 0 = 4 a c - b 2 4 a = - 2 500 - 4 = 625 maksimalna je površina travnjaka 625 m 2 .

Još moramo odrediti dimenzije travnjaka. Maksimum se postiže za x = x 0 = - b 2 a = - 50 - 2 = 25 m pa je druga stranica pravokutnika y = 50 - x = 50 - 25 = 25 m .

Zaključimo: Peričin je travnjak kvadratnog oblika, stranice 25 m i maksimalne površine 625 m 2 .

Zadatak 7.

Slika travnjaka s fontanom.
Izvor: https://commons.wikimedia.org Licenca: Public domain

Perica je vidio da su travnjaci uglavnom pravokutnog oblika pa se predomislio i odlučio napraviti travnjak u obliku kruga, s fontanom u sredini. Kolika će biti površina ograđenog dijela a da se iskoristi svih 100 m kupljene ograde? Koliki je promjer ograđenog dijela?

Riješite zadatak odgovarajući na sljedeća pitanja.

  1. Povežite pojam s pripadajućom formulom.

    opseg kruga, o  
    2 r π
     polumjer
    r
    površina kruga, P  
    r 2 π
     promjer
    2 r
    null
  2. Ako je opseg kruga o , koliki je r o ?

    Pomoć:

    Opseg podijelite s ​ 2 π .  

     

  3. Dobiveni r uvrstite u formulu za površinu kruga. Dobije se kvadratna funkcija:

     

     

  4. Odgovorite na pitanja u zadatku. Rješenja zaokružite na dvije decimale. Površina ograđenog dijela iznosi , a promjer ograđenog dijela je .

     

     

Zadatak 8.

U slobodno vrijeme kao hobi izrađujete glinene posude. Prodajete ih po 62 kn . Za svaku dodatnu kupljenu posudu spuštate cijenu za 2 kn . S koliko prodanih posuda jednoj osobi ćete najbolje zaraditi?

Cijena p = 62 - 2 x - 1 , gdje je x   broj prodanih posuda jednoj osobi.

Zarada z x = p · x , uvrstite p i rješenje ćete dobiti računajući maksimalnu zaradu, odnosno koordinate tjemena parabole z x = - 2 x 2 + 64 x .

Zarada je najveća za 16  prodanih glinenih posuda odjedanput i iznosi 512 kn .


Primjena u matematici

Zadatak 9.

Rastavite broj 18  na pribrojnike tako da umnožak pribrojnika bude što veći.

x + y = 18 y = 18 - x P x = x · y = - x 2 + 18 x ​Pribrojnici su jednaki, x = y = 9 , a umnožak je 81 .


Primjer 5.

Grafički prikaz rješenja

U polukružnicu promjera 10  upišemo trapez čija je dulja osnovica jednaka promjeru, a opseg najveći mogući.

Uočimo dva pravokutna trokuta (kao na slici). Metodom supstitucije uvrstimo v iz jedne jednakosti u drugu, sredimo jednakost i dobijemo stranicu c u ovisnosti o b . U formulu za opseg uvrstimo a = 10  i c = 10 - 1 5 b 2 .

Kako se traži da je opseg najveći mogući, potražimo koordinate tjemena dobivene kvadratne funkcije o b = - 1 5 b 2 + 2 b + 20 .

Za ​ a = 10 , b = 5 i c = 5 opseg trapeza je najveći i iznosi ​ o = 25 cm .

Zadatak 10.

Od žice duljine 90 cm treba napraviti kvadrat i jednakostranični trokut. Kolike moraju biti stranice dobivenih likova da bi zbroj njihovih površina bio najmanji?

Stranicu kvadrata označimo s x pa je stranica jednakostraničnog trokuta y = 30 - 4 3 x . Kvadratna funkcija za koju tražimo minimum je P x = 1 + 4 3 9 x 2 - 20 3 · x + 225 3 .

Minimalni zbroj površina iznosi P m i n = 18 225 3 3 - 4 11 za kvadrat stranice x = 90 3 3 - 4 11 te jednakostranični trokut stranice y = 90 9 - 4 3 11 .


Zadatak 11.

U modulu Kvadratna jednadžba rješavali ste problem bakina vrta: Baka je kupila 16 m žice. Kako može ograditi svoj vrt pravokutnog oblika a da površina ograđenog dijela bude najveća?

Prisjetite se predloška kojim ste došli do rješenja (u nastavku).

Prikažite stranicu b kao funkciju stranice a .

Napišite u bilježnicu kvadratnu funkciju kojom možete riješiti problem maksimalne površine te izračunajte duljine stranica ograđenog vrta.

Povećaj ili smanji interakciju

2 a + 2 b = 16 b ( a ) = 8 - a , b kao funkcija stranice a .

P = a b P a = a 8 - a = - a 2 + 8 a .

a = - b 2 a = - 8 - 2 = 4  metra. Stranice su jednake.


Možete li generalizirati problem minimuma/maksimuma za geometrijske likove?

...i na kraju

Vidjeli smo samo mali dio primjene kvadratne funkcije.

U svim sportovima (nogomet, košarka, odbojka, tenis...) u kojima se ispucava lopta, početni položaj postavimo na os y  (visina lopte u trenutku prije ispucavanja), a lopta u letu opisuje parabolu. Luk parabole i maksimalna visina koju lopta dostiže ovise o više faktora (kut ispucavanja, početna brzina...).

Lukovi u arhitekturi ne moraju biti samo lukovi mostova. Tu su razni portali, prozori, kupole, krovovi, spomenici, tračnice u lunaparku...

Razne stvari koje nas okružuju imaju oblik parabole (umjetničke slike, naslonjači stolica, fontane, oblikovana živica). Primjenjujući svojstva funkcije možemo ograditi vrtove, dječja igrališta, prostore za kućne ljubimce u različitim oblicima (okrugle, pravokutne, trokutaste), tako da dobijemo maksimalnu površinu s obzirom na materijal koji imamo.

U ekonomiji je primjena parabola izuzetno važna zbog izračuna rentabilnosti poslovanja te povećanja dobiti.

Naravno, u fizici i matematici parabola je nezaobilazan alat za rad.

S pomoću nastavnika STEM područja, ali i umjetnosti i nekih drugih predmeta možete napraviti malu prezentaciju primjene parabola. Pronađite i prezentirajte primjenu u jedinicama onih predmeta (koje ste do sada učili ili ih učite) gdje se primjenjuje kvadratna funkcija. Isto tako možete fotografirati razne parbolične oblike te s pomoću GeoGebrina predloška (slika se lako ubaci u GGB), pomičući koeficijente dobiti jednadžbu parabole koja najbolje odgovara obliku sa slike. Kao ideju pogledajte kako su to učinili učenici Srednje škole Markantuna de Dominisa iz Raba u sklopu eTwinning projekta u povodu Večeri matematike.

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1
Pravac y = a x + b i parabola y = a x 2 + b x + c mogu biti u moguća položaja.
Ako se sijeku u jednoj točki, pravac je paraboli.
Takvu točku nazivamo pravca i parabole.
Ako se sijeku u dvjema točkama, za pravac kažemo da je parabole.
null
null
2

Presjek pravca i parabole dobijemo rješavajući sustav linearne i kvadratne jednadžbe. Kako položaj pravca i parabole ovisi o diskriminanti kvadratne jednadžbe dobivene rješavanjem sustava, a x 2 + b - k x + c - l = 0 ?

 pravac i parabola se ne sijeku
  D < 0
pravac je sekanta parabole
  D = 0
pravac je tangenta parabole
  D > 0
null
null
3

Presjek pravca y = x + 1 i parabole y = x 2 - x je:

null
null
4

Koje su od sljedećih nejednadžbi kvadratne?

null
null
5

Odaberite kvadratnu nejednadžbu za grafičko rješenje (dobiveno s pomoću GGB-a).

1. grafičko rješenje nejednadžbe

 

null
6

Odaberite kvadratnu nejednadžbu za grafičko rješenje (dobiveno s pomoću GGB-a).

2. grafičko rješenje nejednadžbe

null
7

Odaberite kvadratnu nejednadžbu za grafičko rješenje (dobiveno s pomoću GGB-a).

3. grafičko rješenje nejednadžbe

null
null
8

Odaberite kvadratnu nejednadžbu za grafičko rješenje (dobiveno s pomoću GGB-a).

4. grafičko rješenje nejednadžbe

null
null
9

Rješenja nejednadžbi iz prošlog zadatka prikažite u obliku intervala.

x 2 - x 0  
- 3 , 1
  - x 2 - 2 x + 3 0   ​
- , 0 1 , +  
- 1 2 x 2 + x + 4 0  

1 , 5
1 2 x 2 - 3 x + 5 2 < 0   ​
- , - 2 4 , +  
10

Koji uvjet na rješenje x mora biti zadovoljen u sljedećim iracionalnim jednadžbama?

x 2 + 4 x + 4 + x 2 - 10 x + 25 = 10   ​
x 4   ​
x 2 - 5 x + 10 = 8 - 2 x  
x 0   ​
x + 5 + 5 = 5  
x R   ​
4 x 2 + 9 x + 5 - 2 x 2 + x - 1 = x 2 - 1   ​
x 1  
null
11

Odaberite točno rješenje iracionalnih jednadžbi.

x 2 - 5 x + 10 = 8 - 2 x  
2 x + 5 - x + 2 = x - 1  
2 x 2 + 7 = x 2 - 4   ​

 

null
12
Za kvadratnu nejednadžbu x 2 - 2 x + 1 - 3 x + 8 < 0 vrijedi: x >  i x < .
null
13

Riješite sustav jednadžbi 2 x + 1 < 0 1 - x 2 0 .

null
null
14
Graf jednolikog ubrzanog gibanja




Tijelo se giba jednoliko ubrzano po pravcu akceleracijom 4 m/s 2 . Iz grafa pročitajte prijeđeni put. Prijeđeni put je jednu sekundu od početka gibanja m , dvije sekunde od početka gibanja prijeđeni put je   m , a tri sekunde od početka gibanja   m .

 

 

ZAVRŠITE PROCJENU