Pojmovnik

Eksponencijalna funkcija

Povratak

Eksponencijalna funkcija s bazom $a$ je realna funkcija $f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$ zadana s $f\left(x\right)=a^x$, gdje je $a>0$ i $a\ne 1$, a $x$ bilo koji realan broj.

Horizontalni test

Povratak

Horizontalnim testom provjeravamo je li funkcija injekcija. Funkcija je injekcija ako pravac usporedan s osi apscisa siječe graf funkcije u najviše jednoj točki.

Svojstva eksponencijalne funkcije

Povratak

Eksponencijalna funkcija $f\left(x\right)=a^x,a\in {\mathbb{R}}^{+},a\ne 1$ ima sljedeća svojstva.

• Funkcija je definirana za sve realne brojeve, $D_f=\mathbb{R}$.
• Slika funkcije su pozitivni realni brojevi, $R_f=⟨0,+\infty ⟩$.
• Za proizvoljne realne brojeve $x_1\mathrm{i}{x}_2$ vrijedi $a^{x_1}·a^{x_2}=a^{x_1+x_2}$.
• Za proizvoljne realne brojeve $x_1\mathrm{i}{x}_2$ vrijedi ${\left(a^{x_1}\right)}^{x_2}=a^{x_1·x_2}$.
• Zajednička točka svim krivuljama je $\left(0,1\right),a^0=1$.
• Ako je $a>1$, funkcija je rastuća, $x_1<x_2\Rightarrow a^{x_1}<a^{x_1}$  za proizvoljne realne brojeve $x_1\mathrm{i}{x}_2$.
• Ako je $0<a<1$,  funkcija je padajuća, $x_1<x_2\Rightarrow a^{x_1}>a^{x_1}$  za proizvoljne realne brojeve $x_1\mathrm{i}{x}_2$
• Asimptota eksponencijalne funkcije je os apscisa, $y=0$.
• Funkcije $f\left(x\right)=a^{x}if\left(x\right)=a^{-x}={\left(\frac{1}{a}\right)}^x$ su simetrične s obzirom na os ordinatu.

Ako je $a^{x_1}=a^{x_2}$, tada vrijedi $x_1=x_2$. To se svojstvo naziva injektivnost funkcije.