x
Učitavanje

5.1 Eksponencijalna funkcija

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Baloni

Ema priprema proslavu za svoj rođendan. Mama je predložila da pozove pet prijateljica i pet prijatelja. Tata je imao drukčiji prijedlog – neka pozove pet prijateljica ili prijatelja i neka svatko od pozvanih također pozove pet svojih prijateljica ili prijatelja. Koji vam se prijedlog čini boljim?

U ovom smo primjeru imali dva matematička modela. Prvi smo već jako dobro upoznali. To je linearni model. Drugi model nazivamo eksponencijalnim. U ovom ćemo modulu proučavati eksponencijalni model koristeći se eksponencijalnom funkcijom.

Potencije

Prisjetimo se potencija i računanja s potencijama (vidi Matematika 1, modul Potencije).

Potencija a n je umnožak u kojem se broj a pojavljuje n puta kao faktor. Broj a nazivamo baza potencije, a broj n N eksponent.

a n = a · a · . . . · a n   puta

a 1 = a

Zanimljivost

Rene Descartes
René Descartes (1596. 1650. g.)

Naziv potencija potječe od latinske riječi potencia što znači snaga, moć za izvođenje nečeg. Današnja oznaka za potenciju potječe iz 17. stoljeća od Renéa Descartesa.

Primjer 1.

2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32

- 3 4 = - 3 · - 3 · - 3 · - 3 = 81

1 5 3 = 1 5 · 1 5 · 1 5

0.1234 0 = 1

Potencija
Potencija

Zanimljivost

Spomenik Michaelu Stifelu u Annaburgu
Spomenik Michaelu Stifelu u Annaburgu

Naziv eksponent dolazi od latinskog exponere što znači izložiti, pokazati. Uvodi ga Michael Stifel 1544. godine. Spomenik Michaelu Stifelu nalazi se u njegovu rodnom gradu, današnjem Annaburgu u Njemačkoj.

Pojam potencije i zapis potencije s pozitivnim eksponentima možete ponoviti koristeći se idućim predloškom.

Povećaj ili smanji interakciju

Naučili smo da potencije mogu imati i negativni eksponent. S pomoću predloška pogledajte ideju za određivanje potencija s negativnim eksponentom.

Povećaj ili smanji interakciju

Za prirodni broj n i realni broj a različit od nule je a - n = 1 a n .

Uvježbajte određivanje vrijednosti potencije uparivanjem izraza s vrijednosti.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 1.

Izračunajte:​ 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 20 .


Računanje s potencijama jednakih baza

Prisjetimo se pravila za računanje s potencijama jednakih baza. Čemu je jednako a n · a m ,   a n : a m i ​ a n m za realan broj​ a te ako su​ m , n  cijeli brojevi različiti od nule?

Zadatak 2.

  1. Potencije jednakih baza množe se tako da se zajednička baza potencira
     
     njihovih eksponenata.
    Potencije jednakih baza dijele se tako da se zajednička baza potencira
     
     njihovih eksponenata.
    Potencija se potencira tako da se baza potencira
     
     eksponenata.
    Potencije možemo zbrajati samo ako imaju istu bazu i isti
     
    .
    U tom slučaju potenciju množimo zbrojem koeficijenata koji stoje uz potenciju.  

    umnoškom
    razlikom
    zbrojem
    eksponent

    null
    null
  2. Spojite pravila za računanje s potencijama jednakih baza.

    a m : a n  
    a m - n   
    a m n   ​
    a m + n   
    a m · a n  
    a m · n   ​
    null
    null

Koristeći se pravilom za dijeljenje potencija jednakih baza možemo odrediti koliko iznosi a 0 .

a 0 = a n - n = a n a n = 1  

Da biste uvježbali množenje potencija jednakih baza, iskoristite sljedeće zadatke.

Povećaj ili smanji interakciju

Za uvježbavanje dijeljenja potencija jednakih baza poslužit će zadatci koji slijede.

Povećaj ili smanji interakciju

Kako biste se prisjetili potenciranja potencija, riješite nekoliko zadataka iz iduće vježbalice.

Povećaj ili smanji interakciju

Računanje s potencijama jednakih eksponenata

Prisjetimo se kako se računa s potencijama jednakih eksponenta. Čemu je jednako​ a n · b n i a n : b n za realne brojeve​ a , b , a , b 0 , i cijeli broj​ n  različit od nule?

Zadatak 3.

  1. Potencije s jednakim eksponentima množe se tako da se 
     
     baza potencira zajedničkim eksponentom.
    Potencije s jednakim eksponentima dijele se tako da se 
     
     baza potencira zajedničkim eksponentom.

    umnožak
    kvocijent

    null
    null
  2. Spoji pravila za računanje s jednakim eksponentima.

    a m : b m  
    a · b m   ​
    a m · b m  
    a b m , b 0   
    null
    null

Kako biste uvježbali množenje potencija s jednakim eksponentima, možete iskoristiti zadatke koji slijede.

Povećaj ili smanji interakciju

Za uvježbavanje dijeljenja potencija s jednakim eksponentima upotrijebite sljedeće zadatke.

Povećaj ili smanji interakciju

Znanstveni zapis realnog broja

Potencije upotrebljavamo u znanstvenom zapisu najčešće jako velikih ili jako malih pozitivnih brojeva.

Primjer 2.

Srednja udaljenost između Sunca i Zemlje je približno 149 600 000 km . Prikazano u znanstvenom zapisu to je​ 1.496 · 10 8 .

Zadatak 4.

Znanstveni zapis je zapis u kojem se pozitivni broj zapisuje kao

 
realnih brojeva između
 
i 10 i potencije broja
 
.

1
10
umnožak

null
null

Za uvježbavanje znanstvenog zapisa brojeva možete iskoristiti vježbalicu napravljenu u GeoGebri.

Povećaj ili smanji interakciju

Do sada smo ponovili potencije kod kojih je baza bilo koji realan broj osim 0 , a eksponent cijeli broj, tj. možemo izračunati a z , gdje je z Z   i a R , a 0 .

Može li potencija imati racionalni eksponent?

Pomoć:

Prisjeti se korijena.

null

Potenciranje pozitivnog realnog broja a recipročnim brojem prirodnog broja možemo zapisati s pomoću korijena a 1 n = a n .

U prethodnoj smo definiciji odredili da a  mora biti pozitivan realan broj. Zašto?

Zadatak 5.

Razvrstaj prema vrijednostima korijena.

- 1 10

pozitivna vrijednost

negativna vrijednost

 nije realan broj

 

null

Vidjeli smo da parni korijeni iz negativnih realnih brojeva nisu realni brojevi. A što je s nulom?

 Koliko iznosi ​ 0 0 ?

null
null

Kutak za znatiželjne

Proučite kako je kroz povijest definiran izraz​ 0 0 . Razmislite o argumetima koje su matematičari imali.

Vježbajte računanje potencija s racionalnim eksponentima.

 
Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 6.

  1. Potenciju 3 5 prikažite s pomoću umnoška.
    null
    null
  2. Koliko iznosi - 2 5 ?
    null
    null
  3. Odredite 43 0 .
    null
    null
  4. Koliko iznosi​ 1.2 1 ?
    null
    null
  5. Čemu je jednako 2 - 3 ?

    null
    null
  6. Izračunajte​ 3 - 2 6 - 3 .
    null
    null
  7. Izračunajte 64 1 3 · 27 3 0.25 - 1 2 .
    null
    null

Do sada smo računali vrijednosti potencija s racionalnim eksponentima. Možemo li izračunati vrijednost potencije s iracionalnim eksponentom, npr. 2 2 ?

2 ima beskonačan neperiodičan zapis pa ga možemo zapisati samo s određenom točnošću. Uzmimo točnost na dvije decimale 1.41 < 2 < 1.42.

Tada dobivamo 2 1.41 < 2 2 < 2 1.42 , tj. 2.657371628 < 2 2 < 2.67585511   (ovdje smo primijenili svojstvo monotonosti, koja će poslije biti detaljnije objašnjena). Što je aproksimacija broja 2  točnija, to će i vrijednost potencije 2 2  biti točnija.

Ove vrijednosti možemo točnije odrediti koristeći se džepnim računalom. Tipka koja nam daje mogućnost izračunavanja potencije s bilo kojim eksponentom jest ona označena s​ x y ili .

Računamo li s potencijama čiji su eksponenti realni brojevi vrijede ista pravila koja smo spomenuli i za cjelobrojne, odnosno racionalne eksponente.

Primjer 3.

Odredimo 2 2 .

2 2 2.665144143 2.6651  

Zadatak 7.

Izračunajte​ 2 2 · 2 2 4 2 .

2 2 2 4 2 = 4 2 4 2 = 1   ​


Eksponencijalna funkcija

Sada kada znamo određivati vrijednosti potencije za bilo koji eksponent iz skupa realnih brojeva, možemo definirati eksponencijalnu funkciju.

Eksponencijalna funkcija s bazom a je realna funkcija f : R R zadana s f x = a x , gdje je a > 0 i a 1 , a x bilo koji realan broj.

U definiciji smo izostavili bazu 1 . Zašto? Može li potencija imati bazu 1 ?

Odredite potencije broja 1 u idućem zadatku.

Zadatak 8.

Odredite potencije broja 1 .
  1. 1 3 =
  2. 1 10 =
  3. 1 - 2 =
  4. 1 1 2 =
null
null

Kada bi baza potencije bila 1 , ne bi se radilo o eksponencijalnoj nego o konstantnoj funkciji.

Grafički prikaz funkcije​ f x = 1 x dan je na slici.  

Graf konstantne funkcije

Kutak za znatiželjne

Računamo li s potencijama čiji su eksponenti realni brojevi vrijede ista pravila koja smo spomenuli i za cjelobrojne, odnosno racionalne eksponente.

Pogledajte​ f n = - 2 n,  za n prirodan broj. Kakve vrijednosti dobijemo uvrštavajući n   =   1 ,   2 ,   3.. . ? Kako nazivamo takav tip ovisnosti? Odgovore potražite na internetu upotrebom ključne riječi „geometrijski niz”.

Zanimljivost

Pojam eksponencijalna funkcija javlja se kod Eulera pod nazivom eksponencijalna kvantiteta. Eksponencijalna funkcija je proširenje pojma potencije.

Razvrstaj funkcije u pripadajuće skupine.

f x = 2

polinomi

eksponencijalne funkcije

null
null

Zadatak 9.

Odredite vrijednosti funkcije f x = 2 x za:

  1. x = - 2
  2. x = - 1
  3. x = 0
  4. x = 1 2
  5. x = 1
  6. x = - 1 .
  1. f - 2 = 1 4 = 0.25
  2. f - 1 = 1 2 = 0.5
  3. f 0 = 1
  4. f 1 2 = 2 1.41
  5. f 1 = 2
  6. f 2 = 4

Zadatak 10.

Odredite vrijednosti funkcije f x = 1 2 x za:

  1. x = - 2
  2. x = - 1
  3. x = 0
  4. x = 1 2
  5. x = 1
  6. x = - 1 .
  1. f - 2 = 4
  2. f - 1 = 2
  3. f 0 = 1
  4. f 1 2 = 2 2 0.71
  5. f 1 = 1 2 = 0.5
  6. f 2 = 1 4 = 0.25

Gledajući rješenja iz prethodnih dvaju zadataka možemo uočiti da se vrijednosti eksponencijalne funkcije u prvom zadatku stalno povećavaju, a u drugom stalno smanjuju, tj. eksponencijalne funkcije su monotone (prva monotono rastuća, a druga monotono padajuća). Više o tome naučit ćete u idućoj jedinici.

Najpoznatije eksponencijalne funkcije su f 1 x = 10 x , f 2 x = 2 x i f 3 x = e x .

Funkcija f x = 10 x  nam je važna zbog računanja u dekadskom brojevnom sustavu, f 2 x = 2 x je važnost dobila pojavom računala u kojima se sve zasniva na binarnom brojevnom sustavu, a f 3 x = e x   nas svakodnevno okružuje. U idućim cjelinama upoznat ćete se s raznim primjerima iz gotovo svih područja ljudskog života (fizika, biologija, kemija, ekonomija, tehnika...) u kojima se javlja ta funkcija.

Broj e se naziva Eulerov broj. Transcedentan je, a njegova najbliža racionalna aproksimacija je 878 323 . Zbog velikog značaja na džepnim se računalima javlja posebna tipka e x kojom možete dobiti najtočniju vrijednost za svoje džepno računalo uvrštavajući kao eksponent broj 1 .

e 1 2.718281828

Zanimljivost

Broj e  naziva se Eulerov broj prema švicarskom matematičaru Leonhardu Euleru. On je 1727. godine taj broj nazvao slovom e  najvjerojatnije prema početnom slovu riječi eksponent. 

Sve točnije vrijednost Eulerova broja dobili bi povećanjem broja n  u izrazu ( 1 + 1 n ) n .

Projekt

Postoji još načina za određivanje točne vrijednosti Eulerova broja. Proučite!

...i na kraju

Eksponencijalna funkcija s bazom a je realna funkcija oblika​ f x = a x , gdje je a > 0 i a 1, a x može biti bilo koji realan broj.

Baza mora biti pozitivan realan broj različit od 0 .

Eksponent je nezavisna varijabla funkcije i može poprimati bilo koju realnu vrijednost.

Pripazite!

Polinomi:

f x = x 2 (kvadratna funkcija), f x = x 3 (kubna funkcija), f x = e x   (linearna funkcija)...

Eksponencijalne funkcije:

f x = 2 x , f x = 3 x , f x = e x . . .

Idemo na sljedeću jedinicu

5.2 Graf i svojstva eksponencijalne funkcije