Matematika

za 1. razred opće gimnazije

Modul 7: Sustavi jednadžbi

Priručnik za nastavnike

Projekt je sufinancirala Europska unija iz Europskog socijalnog fonda.

,

,

Više informacija o fondovima EU-a možete pronaći na internetskim stranicama Ministarstva regionalnoga razvoja i fondova Europske unije: www.strukturnifondovi.hr

Ovaj priručnik izrađen je radi podizanja digitalne kompetencije korisnika u sklopu projekta e-

Škole: Uspostava sustava razvoja digitalno zrelih škola (pilot-projekt), koji sufinancira Europska unija iz europskih strukturnih i investicijskih fondova. Nositelj projekta je Hrvatska akademska i istraživačka mreža – CARNET. Sadržaj publikacije isključiva je odgovornost Hrvatske akademske i istraživačke mreže – CARNET.

Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

1

Impresum

Ključni stručnjaci:

Neključni stručnjaci:

Autori:

Stručnjaci za inkluzivno obrazovanje:

Sanja Antoliš, Aneta Copić, Eva Špalj

Jasmina Ivšac Pavliša, Maja Peretić

Urednica:

Stručnjak za pristupačnost:

Štefica Dumančić Poljski

Vedran Podobnik

Stručnjak za dizajn odgojno-obrazovnog procesa ili

Recenzenti:

metodičko oblikovanje nastavnih sadržaja:

Toni Milun

Recenzent za metodičko oblikovanje sadržaja:

Nikola Koceić Bilan

Stručnjak za dizajn i izradu digitalnih

sadržaja te dizajn korisničkog sučelja:

Recenzent za inkluzivnu prilagodbu sadržaja:

Željka Car

Katarina Pavičić Dokoza

Izdanje:

1. izdanje

Lektori:

Petra Glavor Petrović, Marinka Botić, Ivana

Ujević

Priprema i prijelom:

Algebra d.o.o.

Podizvoditelj:

Fakultet elektrotehnike i računarstva Sveučilišta u

Zagrebu

Naručitelj i nakladnik:

Hrvatska akademska i istraživačka mreža CARNET

Mjesto izdanja:

Zagreb

Više informacija:

Hrvatska akademska i istraživačka mreža –

CARNET Josipa Marohnića 5, 10000 Zagreb

tel.: +385 1 6661 500

www.carnet.hr

Ovo djelo je dano na korištenje pod licencom

Creative Commons Imenovanje -Nekomercijalno-Dijeli 3.0 Hrvatska.

Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

2

Sadržaj

Impresum ................................ .......................................................................................................... 2

Uvodni dio priručnika ................................ ................................................................ ...................... 5

Kako koristiti priručnik ................................ ................................................................................. 5

Što je DOS? ................................ .................................................................................................. 17

Didaktički trokut: učenik – učitelj – DOS ................................ ....................................................... 23

Didaktička uloga multimedijskih i interaktivnih elemenata DOS-a ................................ ................ 24

Povezivanje DOS-a s tradicionalnim pristupima................................ ............................................ 26

Motivacija, poticanje i vrednovanje uz DOS ................................................................................. 28

Suvremene nastavne metode i DOS ................................ ............................................................. 30

Metodičko-didaktički aspekti uporabe DOS-a u radu s učenicima s posebnim obrazovnim

potrebama .................................................................................................................................. 31

Modul 7: Sustavi jednadžbi ..................................................................................................................... 33

Ciljevi, ishodi, kompetencije ................................................................................................................ 33

Metodički prijedlozi o mogućnostima primjene sadržaja ovog modula DOS-a ............................... 33

Digitalni alati i dodatni sadržaji ........................................................................................................... 34

7.1. Sustav linearnih jednadžbi ............................................................................................................... 36

Ciljevi, ishodi, kompetencije ................................................................................................................ 36

Metodički prijedlozi o mogućnostima primjene sadržaja jedinice ................................................... 37

Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju posebne odgojno-obrazovne potrebe ...................................................................................... 38

7.2. Metode rješavanja sustava linearnih jednadžbi ............................................................................ 39

Ciljevi, ishodi, kompetencije ................................................................................................................ 39

Metodički prijedlozi o mogućnostima primjene sadržaja jedinice ................................................... 40

Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju posebne odgojno-obrazovne potrebe ...................................................................................... 41

7.3. Grafičko rješavanje sustava linearnih jednadžbi ........................................................................... 42

Ciljevi, ishodi, kompetencije ................................................................................................................ 42

Metodički prijedlozi o mogućnostima primjene sadržaja jedinice ................................................... 43

Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

3

Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju posebne odgojno-obrazovne potrebe ...................................................................................... 44

7.4. Primjena sustava linearnih jednadžbi............................................................................................. 45

Ciljevi, ishodi, kompetencije ................................................................................................................ 45

Metodički prijedlozi o mogućnostima primjene sadržaja jedinice ................................................... 45

Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju posebne odgojno-obrazovne potrebe ...................................................................................... 47

Aktivnosti za samostalno učenje ............................................................................................................ 48

Ciljevi, ishodi, kompetencije ................................................................................................................ 48

Metodički prijedlozi o mogućnostima primjene sadržaja jedinice ................................................... 48

Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju posebne odgojno-obrazovne potrebe ...................................................................................... 49

Procjena usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda ............................................................................... 52

Ciljevi, ishodi, kompetencije ................................................................................................................ 52

Metodički prijedlozi o mogućnostima primjene sadržaja jedinice ................................................... 52

Pojmovnik ................................................................................................................................................. 54

Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

4

Uvodni dio priručnika

Kako koristiti priručnik

Priručnik za primjenu DOS-a je prateći materijal uz digitalne obrazovne sadržaje (DOS) iz matematike za sedmi i osmi razred osnovne škole te prvi i drugi razred opće gimnazije (Matematika 7, Matematika 8, Matematika 1 i Matematika 2).

Sastoji se od dva bitno različita dijela: općeg dijela i dijela namijenjenog određenom razredu.

Prvi dio priručnika (prvih 7 poglavlja) priručnika daje uvod o digitalnim obrazovnim sadržajima i njihovoj ulozi u suvremenim metodama poučavanja. Ovaj dio je identičan za sve razrede.

Drugi dio priručnika daje preporuke nastavnicima za korištenje konkretnih jedinica DOS-a i multimedijalnih elemenata u odgojno-obrazovnom procesu, navodi dodatne digitalne alate i sadržaje koji će doprinijeti ostvarivanju odgojno-obrazovnih ishoda te daje smjernice i sadržaje za rad s učenicima s posebnim odgojno-obrazovnim potrebama (inkluzija).

Priručnik je dostupan u tri formata: PDF, ePub (format za elektroničke knjige, može se preuzeti i čitati na računalima i mobilnim uređajima) i OneNote (Microsoft OneNote 2016, digitalna bilježnica koja omogućuje na jednom mjestu održavanje bilješki i informacija s dodatnim prednostima; mogućnosti naprednog pretraživanja i umetanja multimedije).

U prvom poglavlju, koje je upravo pred Vama, navedene su upute kako koristiti priručnik na primjeru OneNote inačice.

OneNote inačica priručnika

Osnovne značajke OneNote-a su:

automatsko spremanje

mogućnost pisanja na proizvoljnom mjestu svake stranice

mogućnost ubacivanja svih vrsta sadržaja, dokumenata i poveznica mogućnost reorganiziranja i ponovnog korištenja stranica i odjeljaka pripadni moćni alati za označavanje i pretraživanje mogućnost spremanja poveznice na originalne sadržaje prilikom kopiranja brzo i pregledno kretanje kroz pojedine dijelove dokumenta.

OneNote inačica priručnika sadrži sve što i pdf inačica te dodatne stranice „Pomoćni interaktivni sadržaji“ na kojima su interaktivni i multimedijski sadržaji umetnuti u OneNote.

Tako pripremljene sadržaje učitelji i nastavnici mogu lako koristiti za nastavu te prema potrebi mijenjati i prilagoditi svojim potrebama.

Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

5

U OneNote priručniku sadržaji su grupirani u odjeljke, sekcije i stranice unutar sekcija. Početni odjeljci sadrže poglavlja prvog, općeg dijela priručnika. Slijede odjeljci koji se odnose na konkretan DOS. Svaki DOS podijeljen je na module, a moduli na jedinice, što je detaljno opisano u sljedećem poglavlju.

Sadržaji koji se odnose na module konkretnog DOS-a nalaze se na stranicama odjeljka s naslovom modula, a sadržaji na razini jedinice se nalaze na stranicama sekcija s naslovima jedinica. Moduli su označeni slovima A, B, C, …, a jedinice brojevima 1.1, 1.2 itd.

Odjeljci i sekcije

Stranice

Sadržaj stranice

Uvodni odjeljak (na slikama to je prvi odjeljak Matematika 8) ima stranice: Naslovnica

Ciljevi, ishodi, kompetencije

 Ovdje su navedeni ciljevi i zadaće, odgojno-obrazovni ishodi i generičke kompetencije



na razini cjelovitog DOS-a prema kojima je izrađen DOS.



Pojmovnik





U priručniku se nalazi pojmovnik ključnih pojmova prenesen iz konkretnog DOS-a.

Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

6

Slijede odjeljci koje obrađuju pojedine module (označeni slovima A, B, C …). Svaki modul ima uvodnu sekciju (1.0. u modulu A, 2.0. u modulu B …) i sekcije po jedinicama (1.1., 1.2. … u modulu A; 2.1., 2.2. …. u modulu B itd.)

Uvodna sekcija svakog modula sadrži sljedeće stranice (na ilustracijama koje slijede to je modul A Kvadriranje):

Ciljevi, ishodi, kompetencije

Navedeni su ciljevi i zadaće, odgojno-obrazovni ishodi i generičke kompetencije na razini modula.

Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

7

Metodički prijedlozi

Ovdje se nalaze metodički prijedlozi o mogućnostima korištenja sadržaja modula. To je sažetak metodičkih prijedloga za korištenje jedinica ovog modula, odnosno preporuke koje su primjenljive na sve jedinice.

Neki metodički prijedlozi i preporuke identični su u više modula, no ta ponavljanja su ostavljena kako bi se moduli mogli koristiti samostalno i odjeljak koji se odnosi na pojedini modul sadrži sve podatke i komentare neovisno o tome spominju li se isti u još nekom drugom modulu.

Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

8

Digitalni alati i dodatni sadržaji

Informacije na ovoj stranici podijeljene su u tri grupe.

Popis i kratki savjeti za korištenje digitalnih alata

Navedeni su digitalni alati koji su preporučeni u priručniku za korištenje u ovom modulu, svrha korištenja i poveznice na kojima se nalaze detaljne upute.

Većina preporučenih digitalnih alata spominje se u svakom modulu, ponavljanja su ostavljena kako bi se moduli mogli koristiti samostalno i odjeljak koji se odnosi na pojedini modul sadrži sve podatke i komentare neovisno o tome spominju li se još u nekom drugom modulu.

Dodatni materijali i poveznice za izvođenje nastave uz DOS

Navedene su poveznice na sve sadržaje predložene u jedinicama modula kao pomoć u izvođenju nastave. Tako ih nastavnici mogu naći na jednom mjestu.

Poveznice na dodatne izvore i važne reference za nastavnike Ovdje su predloženi izvori na kojima nastavnici sami mogu pronaći i odabrati sadržaje koji im mogu pomoći u izvođenju nastave. To su interaktivni sadržaji (animacije, simulacije…), video materijali, izvori na kojima se nalaze prijedlozi pokusa i učeničkih projekata te također stručni članci vezani uz područje matematike koje obrađuje modul.

Veliki broj navedenih izvora spominje se u svakom modulu, ponavljanja su ostavljena kako bi se moduli mogli koristiti samostalno i odjeljak koji se odnosi na pojedini modul Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

9

sadrži sve podatke i komentare neovisno o tome spominju li se još u nekom drugom modulu.

Operativni plan

To je popis jedinica unutar modula s predviđenim brojem sati za njihovu obradu.

Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

10

Sekcije uz svaku jedinicu modula (na ilustracijama to je jedinica 1.1 Kvadriranje racionalnih brojeva) sadrže sljedeće stranice:

Ciljevi, ishodi, kompetencije

Navedeni su ciljevi i zadaće, odgojno-obrazovni ishodi i generičke kompetencije za konkretnu jedinicu. Prema njima je izrađen sadržaj jedinice.

Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

11

Metodički prijedlozi

Ovdje se nalaze metodički prijedlozi o mogućnostima korištenja sadržaja konkretne jedinice.

Oni nisu pripreme za nastavni za nastavni sat već prijedlozi nastavniku koje dijelove sadržaja može i na koji način koristiti u nastavi.

Pomoćni interaktivni sadržaji

Ovdje su interaktivni, multimedijski sadržaji umetnuti u OneNote.

Sekcija ˝Metodički prijedlozi˝ podijeljena je na dva dijela: (a) Metodički prijedlozi o mogućnostima primjene sadržaja jedinice Započinje s općim uputama vezanim uz različite svrhe primjene jedinice (npr. obrada, ponavljanje ...), odnos prema ostalim jedinicama modula i eventualnu vezu s drugim modulima. Navedena je i preporuka koji se oblici učenja i poučavanja mogu primijeniti pri korištenju sadržaja jedinice.

Slijede prijedlozi primjene sadržaja jedinice:

Uvod i motivacija

Razrada sadržaja učenja i

poučavanja Završetak.

Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

12

Ova podjela prati strukturu korištenu u DOS-u i tim redoslijedom izdvojeni su dijelovi sadržaja koje je pogodno koristiti u nastavi. Redoslijed nije sugestija organizacije nastavnog sata.

Cjelovito osmišljavanje i priprema izvođenja nastave prepušteni su nastavniku, kao i izbor mjesta na kojima će uklopiti sadržaje jedinice DOS-a.

Dodatni prijedlozi

Ovdje su navedeni dodatni prijedlozi koji mogu pomoći nastavniku u ostvarenju odgojno-obrazovnih ishoda predviđenih u jedinici. To su poveznice na digitalne sadržaje, ukazivanje na neka alternativna metodička rješenja i sl.

(b) Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju posebne odgojno-obrazovne potrebe

Metodički prijedlozi i napomene za rad s učenicima koji žele znati više i s darovitim učenicima

Svaka jedinica sadrži dijelove koji po složenosti ili sadržaju izlaze izvan okvira programa. Oni su na ovom mjestu u priručniku istaknuti, kao i prijedlozi nastavniku kako organizirati njihovo izvođenje i prezentaciju rezultata. Ponekad su u priručniku navedeni i prijedlozi zadataka/aktivnosti koji se ne nalaze u jedinici.

Aktivnosti za učenike koji žele znati više i za darovite učenike birane su kao projektni zadaci ili dodatne teme za samostalno istraživanje. Mogu se provoditi samostalno ili u manjim skupinama.

Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju teškoće

Digitalni obrazovni sadržaji izrađeni su u skladu sa standardima pristupačnosti tako da su dizajn, funkcionalnosti i sam sadržaj pristupačni svim korisnicima uključujući i osobe s poteškoćama.

Stručnjaci za inkluzivno obrazovanje razradili su prijedloge i smjernice nastavnicima za svaku jedinicu.

Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

13

Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

14

Interaktivni sadržaji koji su umetnuti u OneNote navedeni su kao poveznice u popisu ˝Dodatni materijali i poveznice za izvođenje nastave uz DOS˝.

Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

15

Opisani sadržaji identični su onima koji se nalaze u pdf inačici priručnika, razlika je djelomično u njihovom rasporedu.

Ukoliko vam treba pomoć u snalaženju s OneNoteom možete pročitati i ove kratke upute.

Hrvatski-ONENOTE

2016 WIN QUICK STA

Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

16

Što je DOS?

Što je DOS?

Pojam ˝digitalni obrazovni sadržaj˝ (DOS) je naziv za sadržaj namijenjen korištenju u obrazovanju za učenje i poučavanje, a koji je pohranjen na računalu, elektroničkom mediju ili je objavljen na Internetu.

Digitalni obrazovni sadržaji izrađeni u sklopu pilot projekta e-Škole namijenjeni su učenicima za samostalno učenje i samoprocijenu kod kuće i na nastavnom satu. Nastavnik će koristiti DOS

zajedno s priručnikom kako bi obogatio svoj način poučavanja i primjenom novih strategija i metoda učeniku omogućio aktivno učenje.

Cilj DOS-a je poticati kod učenika aktivno učenje na inovativan, učinkovit, motivirajući i pojedincu prilagođen način. Nastavniku pak DOS omogućava ostvarivanje definiranih odgojno-obrazovnih ishoda uz primjenu raznolikih strategija, pristupa i metoda poučavanja.

U DOS-u su korištene sve prednosti digitalnih tehnologija poput interaktivnosti, nelinearnosti, multimedijalnosti, modularnosti i prilagodljivosti.

Digitalni obrazovni sadržaji izrađeni su u skladu sa standardima pristupačnosti tako da su dizajn, funkcionalnosti i sam sadržaj pristupačni svim korisnicima uključujući i osobe s poteškoćama.

Struktura DOS-a

Digitalni obrazovni sadržaji iz matematike pokrivaju cjelokupni opseg trenutačno važećeg kurikuluma/nastavnog programa određenog razreda i obuhvaća ukupni godišnji fond školskih sati predviđenih za matematiku.

Svaki DOS je podijeljen na jedinstvene samostalne cjeline – module (po deset u svakom razredu). Moduli koji čine cjeloviti DOS realizirani su kao zasebni paketi sadržaja koje je, osim kao dio cjelovitog DOS-a, moguće koristiti neovisno o drugim modulima istog DOS-a.

Svaki modul se sastoji od nekoliko jedinica, a svaka jedinica obuhvaća sadržaj učenja i poučavanja za čije provođenje je predviđeno jedan do tri školska sata. Jedinice su međusobno povezane i nadovezuju se jedna na drugu. Odabrani redoslijed jedinica je prijedlog autora, no ponekad su moguća i drugačija rješenja.

Jedinice kao dio modula

Svaka jedinica ima sljedeće dijelove:

uvod i motivaciju: Na početku...

razradu sadržaja učenja i poučavanja

Završetak: …i na kraju.

Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

17

Na početku su navedeni odgojno-obrazovni ishodi za tu jedinicu DOS-a.

Uvod i motivacija

Jedinice započinju motivacijskim primjerom.

Najčešće su primjeri povezani sa svakodnevnim životom i osobnim iskustvima učenika.

Razrada sadržaja učenja i poučavanja

Razrada sadržaja učenja i poučavanja načinjena je sukladno načelima konstruktivističke nastave matematike u kojem se od učenika očekuje da uočavaju, istražuju, proučavaju, opažaju, povezuju i zaključuju kako bi izgradili vlastito matematičko znanje.

Pri tome se koriste multimedijski elementi:

ilustracije/fotografije

2D i 3D animacije

video zapisi

interakcije (elementi koji zahtijevaju interakciju učenika sa sadržajem).

Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

18

Primjeri sadrže pitanja ili računske zadatke koji su detaljno pojašnjeni i riješeni.

Zadaci su dani u obliku interakcija u kojima učenik dobiva povratnu informaciju o točnosti rješenja ili se rezultat i dijelovi postupka dobivaju pomoću tipke Rješenje.

U jedinicama se nalaze opisi praktičnog rada učenika. Često su popraćeni crtežima, animacijama ili video zapisom.

Korelacije s drugim predmetima posebno su istaknute kao bi učenicima skrenuli pažnju na njih i potaknuli ih da povezuju znanja usvojena u pojedinim predmetima. Možete ih koristiti kao ideju za međupredmetne teme pogodne za učeničke projekte.

Projekti i projektni zadaci su ponuđeni kao drugačiji pristup učenju. Kroz njih učenik kroz različite oblike rada uči i primjenjuje naučeno kako bi realizirao i ostvario ciljeve projekta. U

radu na projektu i projektnim zadacima moguće je osmisliti zadatke za različite razine učeničkog znanja tako da u njima mogu sudjelovati svi učenici.

U priručniku su navedeni prijedlozi i preporuke kako organizirati rad na projektu i koje upute dati učenicima.

U ˝Kutku za znatiželjne˝ nalaze se obogaćeni sadržaji koji su izvan okvira obaveznog programa/kurikuluma. Prvenstveno su namijenjeni darovitim učenicima. Sadržaji se obogaćuju tako da se ishodi iz obaveznog kurikuluma proširuju sadržajima koji se inače rijetko dotiču pa se uči šire ili se postojeći ishodi dopunjavaju složenijima pa se uči dublje. Neki od sadržaja predstavljaju akceleraciju jer se nalaze u obaveznom kurikulumu viših razreda.

Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

19

Jedinice sadrže niz zanimljivosti. Možete ih koristiti kao motivaciju u bilo kojem dijelu nastavnog sata.

Završetak

Na kraju svake jedinice nalazi se podsjetnik na najvažnije dijelove jedinice, zadatci za ponavljanje, prijedlozi za daljnje istraživanje, ideje za suradničko učenje, igre ili prijedlozi za projekte.

Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

20

Rubrika Procijenite svoje znanje nalazi se na kraju odabranih jedinica. Sastoji se od niza konceptualnih pitanja i zadataka za učenje, vježbanje i samoprocjenu usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda. Zadaci su oblikovani na jedan od sljedećih načina: odabir točno/netočno;

višestruki odabir s jednim točnim odgovorom;

višestruki odabir s više točnih odgovora;

unos točnog odgovora;

uparivanje odgovora;

uparivanje povlačenjem i postavljanjem elemenata (teksta, markera, slika, dijelova ili cijelih formula i simbola);

grupiranje elemenata;

uređivanje poretka elemenata;

odabir i umetanje riječi koje nedostaju iz ponuđenih odgovora; umetanje riječi koje nedostaju upisom;

unos rješenja na sliku (npr. dijagram i sl.).

Rubrika Procijenite svoje znanje namijenjena je učeniku za samostalni rad te mu služi kao alat za samoprocjenu usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda na razini jedne odnosno nekoliko jedinica. Učenik dobiva povratnu informaciju o usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda.

Aktivnosti za samostalno učenje

U posebnoj jedinici Aktivnosti za samostalno učenje nalaze se aktivnosti namijenjene učenicima za samostalan rad koje pomažu u učenju i usvajanju odgojno-obrazovnih ishoda modula te aktivnosti koje učenicima nude da dodatno istraže teme vezane uz modul. Sadržavaju nekoliko vrsta zadataka, često s primjerima iz svakodnevnog života, u kojima su stopljena znanja i vještine usvojene u pojedinim jedinicama modula. Zadaci su različite razine složenosti te su neki namijenjeni svim učenicima, a neki učenicima koji žele znati više i darovitim učenicima.

Jedinicom Aktivnosti za samostalno učenje možete se koristiti u cijelosti na nastavnom satu na kraju obrazovnog ciklusa obuhvaćenog ovim modulom ili u dijelovima koji dopunjavaju pojedine jedinice.

Procjena usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda

Posebna jedinica Procjena usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda sadržava zadatke za procjenu usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda modula i učenike uputite na nju na kraju obrazovnog ciklusa obuhvaćenog modulom.

Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

21

Procjena usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda osmišljena je u obliku interaktivnih provjera znanja, vještina i mišljenja i učenicima služi za ponavljanje te im daje povratnu informaciju o točnosti rješenja i o usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda modula. Samovrednovanjem i praćenjem vlastitog napretka učenik na temelju osobnih postignuća dobiva smjernice za daljnje učenje.

Pojmovnik

U svim jedinicama DOS-a pojmovi koje se željelo istaknuti pisani su podebljanim slovima.

Najvažniji pojmovi navedeni su i u Pojmovniku. Klik na pojam vodi na početak jedinice u kojoj je definiran.

Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

22

Didaktički trokut: učenik – učitelj – DOS

Nastava je organizirana, cilju usmjerena odgojno-obrazovna djelatnost. Odnos triju čimbenika nastave: učenika, nastavnika i nastavnih sadržaja opisuje didaktički trokut. Pritom su učenik i nastavnik subjekti nastavnog procesa, a nastavni sadržaji (sadržaji učenja) su predmet nastave.

Naglašavanje važnosti pojedinog čimbenika nastave označavaju sintagme kao nastava orijentirana na učenika, nastavnika ili nastavne sadržaje.

DOS kao nastavni sadržaj namijenjen je prvenstveno učeniku s ciljem poticanja aktivnog učenja na učinkovit, motivirajući i pojedincu prilagođen način. Stoga je u didaktičkom trokutu učenik -

nastavnik - DOS naglašena važnost učenika i međudjelovanje učenika i nastavnog sadržaja (u našem slučaju DOS-a). Uloga nastavnika kao nužnog subjekta nastavnog procesa u ovom trokutu i njegovo međudjelovanje s učenikom i DOS-om još pojačavaju orijentiranost nastave na učenika.

DOS omogućava učenje i poučavanje u različitim okruženjima, prikladan je za korištenje na nizu različitih platformi od mobilnih uređaja do stolnih računala, uključuje primjenu multimedijskih elemenata, omogućava različite pristupe učenju i poučavanju. Mogućnost samoprocjene usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda i praćenje vlastitog napretka daje učeniku smjernice za daljnje učenje odnosno vraća ga na jedinice DOS-a čiji ishodi nisu u potpunosti usvojeni.

DOS slijedi suvremena nastavna načela:

poticanje cjelovitog razvoja i dobrobiti učenika;

povezanost sa životnim iskustvima, očekivanjima i usvojenim znanjima učenika; aktivna uloga učenika u učenju;

izbornost i individualizacija;

usmjerenost prema suradnji;

osiguravanje poticajnog i sigurnog okruženja;

relevantnost za sadašnji život;

zanimljivost kao osnova pozitivne motivacije;

poticanje inkluzije i uvažavanje različitosti;

vertikalna povezanost sa sadržajima koji prethode i koji se nastavljaju te horizontalna povezanost s ostalim predmetima, međupredmetnim temama i modulima; odgovarajući omjer širine i dubine znanja i vještina.

Time DOS proširuje okvire didaktičkog trokuta i njegovom implementacijom nastavni proces postaje didaktički mnogokut.

Učenici uče u okruženju koje omogućuje konstruiranje znanja utemeljeno na problemima i projektima te aktivnom i iskustvenom učenju usmjerenom prema pitanjima i istraživanju.

Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

23

Didaktička uloga multimedijskih i interaktivnih elemenata DOS-a Današnji učenici, bitno više od prijašnjih generacija, odrastaju okruženi multimedijama, izloženi brzom protoku i dostupnosti informacija. Nove tehnologije sastavni su dio svakodnevnog života i nužno imaju utjecaj i na nastavni proces, kao što je već navedeno u prethodnom poglavlju.

Multimedijskim elementima omogućuje se prezentacija obrazovnih sadržaja kombinacijom slike, zvuka i teksta te uključivanje interaktivnih elemenata koji zahtijevaju interakciju učenika sa sadržajem. Sve to doprinosi privlačenju pozornosti učenika, zainteresiranosti i motivaciji te razumijevanju sadržaja i primjeni stečenih znanja u novim situacijama.

Multimedijski i interaktivni elementi DOS-a

Multimedijski elementi DOS-a uključuju:

zvučni zapis

fotografije/ilustracije

video zapis

2D i 3D animacije.

Ovo su elementi niske razine interaktivnosti, pri čemu interaktivnost uključuje pokretanje, zaustavljanje ili pauziranje nekog elementa.

Interaktivni elementi srednje razine interaktivnosti uključuju: pomicanje ili grupiranje dijelova sadržaja povlačenjem miša ili nekom drugom aktivnošću

obrazac za ispunjavanje

označavanje odgovora

unos teksta, formula ili audio zapisa

povećavanje grafičkog prikaza do velikih detalja (engl. zoom in) i sl.

Nalaze se u standardnim zadacima za učenje, ponavljanje i samoprovjeru odgojno-obrazovnih ishoda kao što su npr. da/ne pitalice, višestruki odgovori, povlačenje na sliku, uparivanje, grupiranje elemenata itd.

Elementi visoke razine interaktivnosti uključuju:

didaktične igre

simulacije s mogućnošću unosa ulaznih parametara i prikazivanja rezultata ovisno o unesenim parametrima

mogućnost dobivanja povratnih informacija

3D prikaz uz mogućnost manipulacije elementom, i sl.

Značajna uloga multimedijskih elemenata u DOS-u je upravo interaktivnost. Interaktivni elementi omogućuju aktivno sudjelovanje učenika u nastavnom procesu. Kroz manipulaciju određenih elemenata učenici mogu uočavati pravilnosti, postavljati i provjeravati hipoteze te metodom nepotpune indukcije donositi opće zaključke. Interaktivni elementi visoke razine omogućuju uvođenje eksperimenta u nastavu matematike.

Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

24

Samovrednovanjem i praćenjem vlastitog napretka učenik na temelju osobnih postignuća dobiva smjernice za daljnje učenje.

Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

25

Povezivanje DOS-a s tradicionalnim pristupima

Znanje je oduvijek bilo jedan od osnovnih instrumenata razvoja društvenih zajednica i uspješnih nacionalnih gospodarstava. U suvremenim uvjetima, osobito globalizacijskim, novostvorena znanja kao rezultat istraživanja i inovacije, postaju ne samo temelj već i ključni čimbenik razvoja nekog društva. Za uspješnu tranziciju prema društvu utemeljenom na znanju uz tradicionalan pristup, nužni su novi pristupi obrazovanju i poučavanju.

Sve se više raspravlja o tzv. cjeloživotnom učenju, odnosno o aktivnosti učenja tijekom života, s ciljem unapređivanja znanja, vještina i sposobnosti unutar osobne, građanske, društvene i poslovne perspektive.

Osim formalnog obrazovanja u obrazovnim institucijama poput škola, veleučilišta i fakulteta, sve se veća pozornost pridaje neformalnom obrazovanju putem dodatne edukacije na tečajevima i seminarima te informalnom obrazovanju koje pojedinac stječe vlastitim radom, komunikacijom, čitanjem, razvijanjem vještina, iskustava i znanja.

Uz koncept cjeloživotnog učenja najčešće se vezuju ciljevi ekonomske prirode, primjerice postizanje veće konkurentnosti na tržištu rada. Međutim, cjeloživotno učenje usmjereno je prema osobi i njenim individualnim sposobnostima, poboljšanju njenog ponašanja, raspolaganju informacijama, povećanju znanja, razumijevanju, novim stavovima. Koncept cjeloživotnog učenja, razvijen u šezdesetim godinama prošlog stoljeća, odgovor je na problem neusklađenosti između obrazovanja mladih i odraslih osoba.

Da bi mogli ostvariti koncept cjeloživotnog učenja, do kraja obaveznog obrazovanja treba razviti određene kompetencije koje predstavljaju temelj za daljnje učenje.

Tradicionalni pristupi učenju i poučavanju dugo su bili obilježeni razredno-satnim i predmetno-satnim sustavom te frontalnom nastavom što ne može zadovoljiti zahtjeve koncepta cjeloživotnog učenja.

Nastavni proces treba omogućiti:

uvođenje novih oblika učenja

istraživačko i eksperimentalno poučavanje

ispitivanje i procjenu različito postavljenih ishoda učenja doprinos općem sustavu obrazovanja

doprinos razvoju svakog učenika prema njegovim sposobnostima.

DOS je razvijen na tragu ovih zahtjeva. Suvremena nastavna tehnologija ne negira tradicionalne pristupe nastavi već se na njima temelji i proširuje broj i značaj didaktičkih elemenata nastave sagledavajući ih u novim odnosima (didaktički mnogokut).

Razrada sadržaja učenja i poučavanja u jedinicama DOS-a prati tradicionalnu metodiku poučavanja matematike.

Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

26

U uvodu se opaža/uvodi problem pri čemu se u najvećoj mogućoj mjeri koriste primjeri iz svakodnevnog života. Nakon toga se, ovisno o problemu, upotrebljavaju različite znanstvene metode: analiziranje, sintetiziranje, apstrahiranje, induciranje, deduciranje, generaliziranje, specijaliziranje ili upotreba analogija. Da bi se u potpunosti usvojio sadržaj dan je niz primjera i zadataka s rješenjima. Sistematizacija i povezivanje sadržaja te procjena znanja, također su sastavni dio DOS-a. Samoprocjena daje učeniku samostalnost pri učenju, ali zahtjeva i odgovornost te smjernice za daljnje učenje.

Multimedijski elementi doprinose motivaciji, boljem razumijevanju sadržaja i aktivnom sudjelovanju učenika u nastavi.

U DOS-u se nastavnici susreću s digitalnim alatima i raznim digitalnim sadržajima. Radi lakše implementacije digitalnih tehnologija u nastavu matematike u ovaj priručnik je uključen popis digitalnih alata, svrha korištenja i poveznice na kojima se nalaze detaljne upute. Navedeni su dodatni materijali i poveznice na sadržaje koji mogu pomoći u izvođenju nastave uz DOS te poveznice na izvore gdje nastavnici sami mogu pronaći i odabrati odgovarajuće sadržaje (animacije, simulacije, video materijale, izvore na kojima se nalaze prijedlozi pokusa i učeničkih projekata te stručne članke vezane uz područje matematike koje obrađuje modul).

To je pomoć nastavniku u uvođenju novih oblika učenja.

Implementacija digitalnih tehnologija u nastavu matematike dodatno motivira učenike i nastavu čini maštovitom i atraktivnom. Digitalni alati i sadržaji imaju značajnu ulogu u provođenju mjerenja i obradi rezultata, a simulacije zorno predočuju procese koje iz različitih razloga inače nismo u mogućnosti tako jasno vidjeti.

Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

27

Motivacija, poticanje i vrednovanje uz DOS

Motivacija je unutarnja snaga koja pokreće čovjeka na aktivnost i usmjerava ga k ostvarenju određenog cilja.

Motiviranje učenika za nastavu obuhvaća sve što potiče na učenje, usmjerava ga, i potiče osobni interes za određeni predmet ili područje te povećava osobnu razinu postignuća.

Motivacija u nastavi sastavni je dio uvodnog dijela nastavnog sata pri uvođenju i predstavljanju problema, no može biti prisutna u svim stadijima nastavnog sata: pri obradi, vježbanju ili ponavljanju nastavnih sadržaja.

Većina jedinica DOS-a započinje motivacijskim primjerom. Najčešće su primjeri povezani sa svakodnevnim životom i osobnim iskustvima učenika.

U razradi sadržaja naći ćete zanimljivosti koje možete koristiti kao motivacijske elemente u bilo kojem dijelu sata.

Interaktivnost i elementi igre također motiviraju učenike.

Procjena usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda u svakom modulu DOS-a osmišljena je u obliku interaktivnih provjera znanja, vještina i mišljenja i učenicima služi za ponavljanje te im daje povratnu informaciju o točnosti rješenja i o usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda pojedinog modula. Samoprocjenom i praćenjem vlastitog napretka učenik na temelju osobnih postignuća dobiva smjernice za daljnje učenje.

Svrha ovakvih procjena usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda u cjelovitom digitalnom obrazovnom sadržaju je pedagoško-motivacijska.

Na kraju nekih jedinica je nekoliko konceptualnih pitanja i zadataka kojima se ostvaruje svrha ovakvih procjena. Dodatno, u posebnoj jedinici (Procjena usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda) možete pronaći više interaktivnih zadataka za provjeru usvojenosti svih odgojno-obrazovnih ishoda cijeloga modula.

Zadaci koji su sastavni dio procjene oblikovani su na jedan od sljedećih načina: odabir točno/netočno

višestruki odabir s više točnih odgovora

odabir jednog točnog odgovora (uključujući i matematičke simbole i jednostavne formule)

uparivanje odgovora

uparivanje povlačenjem i postavljanjem elemenata (teksta, slika, dijelova ili cijelih formula i simbola)

grupiranje (razvrstavanje) elemenata

uređivanje poretka elemenata

odabir i umetanje riječi koje nedostaju iz ponuđenih odgovora Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

28

umetanje riječi koje nedostaju upisom

numeričko umetanje (mogućnost zadavanja intervala brojeva u kojem se nalazi rješenje)

povlačenje riječi koje nedostaju iz ponuđenih odgovora

povlačenje rješenja na sliku (npr. dijagram i sl.).

Prilikom rješavanja zadataka kod kojih se očekuje od učenika upisivanje riječi koja nedostaje, obrazovni sadržaj neće, kao točno, prihvatiti rješenje koje je matematički točno, ako je riječ pogrešno napisana (pravopisna pogreška). Ova opaska nije unesena u obrazovne sadržaje kako se pažnja učenika ne bi skrenula s matematike na pravopis, no u takvim situacijama bit će potrebna pomoć nastavnika.

Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

29

Suvremene nastavne metode i DOS

DOS omogućava učenje i poučavanje u različitim okruženjima i različite pristupe učenju i poučavanju.

U školskom okruženju DOS je moguće koristiti za rad u učionici opće namjene. Poželjno je da učionice budu opremljene prijenosnim ili stolnim računalima, interaktivnom pločom ili pametnim ekranom i sl.

Osobitost DOS-a je mogućnost njegova korištenja na raznim uređajima (mobilni telefoni, tableti, prijenosna i stolna računala) te je pogodan i za rad izvan školskog okruženja.

Kroz aktivnosti za učenje, način prezentacije sadržaja i elemente za procjenu usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda DOS stavlja težište na promicanje suvremenih nastavnih metoda, na strategije i pristupe kao što su rješavanje problema, istraživačka i projektna nastava i suradničko učenje te razvoj kritičkog mišljenja, sposobnosti rješavanje problema i donošenja odluka, metakogniciju, digitalnu pismenost i aktivno građanstvo.

U skladu s prirodom nastave matematike i matematike kao znanstvenog područja, DOS

osobito snažan naglasak stavlja na aktivnosti koje potiču iskustveno učenje, projektno učenje i učenje kroz istraživanje. DOS sadrži interaktivne elemente u kojima učenici imaju mogućnost mijenjanja vrijednosti različitih parametara te na temelju rezultata uočavaju pravilnosti, postavljaju i provjeravaju hipoteze, a metodom nepotpune indukcije donose opće zaključke.

Multimedijski i interaktivni elementi omogućuju aktivno i iskustveno učenje usmjereno prema pitanjima, problemima i istraživanjima, konstruiranje znanja utemeljeno na problemima i projektima te razvijanje učenikovih kompetencija za snalaženje u novim situacijama.

Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

30

Metodičko-didaktički aspekti uporabe DOS-a u radu s učenicima s posebnim obrazovnim potrebama

Kao što je na početku priručnika navedeno, metodičko-didaktički prijedlozi za učenike s posebnim obrazovnim potrebama koji uključuju darovite učenike kao i učenike s različitim teškoćama slijede svaku nastavnu jedinicu kao i aktivnosti za samostalno učenje. Inkluzivni pristup u procesu obrazovanja podrazumijeva učenje o različitosti od strane drugih kao i jedan podržavajući i ravnopravni odnos. U nas se već niz godina njeguje inkluzivni pristup u smislu uključenosti učenika s teškoćama u sustav obrazovanja na način da su uvažene njihove individualne potrebe putem uvođenja različitih prilagodbi i osiguravanja podrške.

Učenici s teškoćama su heterogena skupina pa tako zadatak koji je težak jednom učeniku s disleksijom neće biti težak drugome učeniku s istom teškoćom. Kako bi im se osigurala primjerena podrška prilikom obrazovanja, važno je prepoznavati te razumjeti njihova obilježja i poznavati osnovne vrste prilagodbi. Timski rad u okviru kojega surađuju predmetni nastavnici, stručni tim škole, pomoćnici i roditelji bi trebao iznjedriti različite mogućnosti prilagodbe za što učinkovitije usvajanje sadržaja iz matematike i fizike za svakog učenika ponaosob. Metodičko-didaktički prijedlozi koji se odnose na učenike s teškoćama su u početnim modulima i jedinicama napisani na način da obuhvate temeljne smjernice za svu djecu s teškoća te su kroz daljnje jedinice razrađeni specifično u odnosu na sadržaj same jedinice kao i na obilježja određene teškoće.

Primjerice, u matematici za osmi razred, u nastavnoj jedinici 1.2. koja se odnosi na uređene parove nastavnicima je sugerirano da obrate pažnju na jezično složenije zadatke koje valja pojednostaviti i popratiti vizualnim primjerima kako za učenike koji se školuju po prilagođenom programu tako i za učenike s disleksijom i/ili diskalkulijom: Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

31

U prijedlozima se nastavnike podsjeća na uporabu funkcionalnosti koje su ugrađene u DOS-ove, a mogu olakšati praćenje nastave učenicima sa specifičnim teškoćama učenja kao i onima koji imaju teškoće vizualne obrade (promjena fonta, boje pozadine, uvećanje zaslona). Nadalje, ostvarene su poveznice između samoga gradiva i obilježja teškoća koje mogu probuditi učenikov interes za nastavne sadržaje, na primjeru iz fizike (sedmi razred, jedinice 1.5 i 1.7):

„Za učenike s poremećajem iz spektra autizma preporučuje se povezati masu tijela i mjerne jedinice s interesima učenika koji su često iznimno izraženi ili atipični u svim zadatcima u kojima je to moguće. Primjerice, ako učenik voli kuhanje, može ostalim učenicima demonstrirati svoj omiljeni recept kao i mase pojedinih sastojaka.“

„Uvijek je važno uzeti u obzir moguću senzoričku preosjetljivost učenika s poremećajem iz spektra autizma na određene podražaje te u skladu s tim prilagoditi nastavnu jedinicu (miris svijeće s aromom vanilije).“

Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju teškoće nisu zamišljeni na način da osiguravaju prilagođeni materijal za poučavanje niti svojevrsni „recept“, već nastavnike podsjećaju na prilagodbu načina poučavanja i one segmente nastavne jedinice koje bi trebalo dodatno pojasniti, ponoviti, pojednostaviti, predstaviti na drugačiji način ili na razinu složenosti zadataka od kojih valja odabrati one jednostavnije. U prijedlozima je naglašena važnost uporabe pomagala koja olakšavaju učenje te svih aspekata digitalne tehnologije.

Inkluzivni pristup podrazumijeva uvažavanje različitosti koje je izrazito važno razviti kao vrijednost kod učenika tipičnoga razvoja zbog čega se, uz ostale prijedloge, preporuča provoditi što više vršnjačke suradnje (primjerice u aktivnostima za slobodno učenje).

Matematika 1 / Uvodni dio priručnika

Priručnik za nastavnike

32

Modul 7: Sustavi jednadžbi

Ciljevi, ishodi, kompetencije

Ciljevi i zadaće MODULA

Definirati linearnu jednadžbu s dvjema nepoznanicama, sustav linearnih jednadžbi i rješenje sustava linearnih jednadžbi

Usvojiti metode rješavanja sustava linearnih jednadžbi uključujući i grafičku metodu Odgojno-obrazovni ishodi

Razlikovati sustave linearnih jednadžbi po broju rješenja

Odrediti rješenje sustava linearnih jednadžbi grafički i računski Riješiti sustav linearnih jednadžbi odabirom prikladne metode Modelirati probleme iz matematike, ostalih obrazovnih područja ili svakodnevnog života pomoću sustava jednadžbi

Razviti organizacijske sposobnosti

Generičke kompetencije

Sposobnost rješavanja problema

Vještine upravljanja informacijama

Metodički prijedlozi o mogućnostima primjene sadržaja ovog modula DOS-a

U prvoj jedinici Sustav linearnih jednadžbi učenici će uočiti da je rješenje linearna jednadžba s dvjema nepoznanicama uređeni par te da rješenja ima beskonačno mnogo. Usvojit će pojam rješenja sustava linearnih jednadžbi te provjeravati je li neki uređeni par rješenje sustava linearnih jednadžbi.

U drugoj jedinici Metode rješavanja sustava linearnih jednadžbi učenici će ponoviti metode rješavanja sustava dviju linearnih jednadžbi: metodu supstitucije, metodu suprotnih koeficijenata i metodu komparacije. U nastavku će rješavati sustave triju linearnih jednadžbi i nelinearne sustave koji se supstitucijom mogu svesti na linearne.

U trećoj jedinici Grafičko rješavanje sustava linearnih jednadžbi učenici će grafički prikazati rješenja linearne jednadžbe s dvjema nepoznanicama, interpretirati sjecište pravaca kao rješenje sustava linearnih jednadžbi i povezati međusobni položaj dvaju pravaca s brojem rješenja sustava jednadžbi.

Matematika 1 / Modul 7: Sustavi jednadžbi

Priručnik za nastavnike

33

U četvrtoj jedinici Primjena sustava linearnih jednadžbi učenici će primijeniti sustave linearnih jednadžbi pri rješavanju raznovrsnih problema: problemi vezani uz brojeve, geometrijski problemi, problemi s funkcijama, određivanje cijena proizvoda, račun smjese, elastični sudari.

Na kraju modula su Aktivnosti za samostalno učenje uz pomoć kojih će učenici moći samostalno usvojiti neke dodatne sadržaje, procijeniti usvojenost sadržaja iz prethodnih jedinica kroz niz interaktivnih zadataka...

Procjenu usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda učenici će naći na kraju modula. Pripremljeni

su interaktivni zadatci za formativno vrednovanje. Nakon povratne informacije učenici se mogu vratiti na ono područje koje nisu dovoljno usvojili.

Sve jedinice nude i neke izborne i dodatne teme za učenike koji imaju bolje predznanje, pa se ne moraju dugo zadržavati na zadatcima unutar jedinice, za učenike koje zanimaju izborne teme pa žele proširiti svoje znanje te darovite učenike koji žele malo izazovnije teme.

Digitalni alati i dodatni sadržaji

Popis i kratki savjeti za primjenu digitalnih alata

GeoGebru

GeoGebra je program dinamične matematike koji ujedinjuje geometriju, algebru i analizu.

Program je otvorenog koda i dostupan je na hrvatskom jeziku na www.geogebra.org.

Više o GeoGebri možete pročitati na https://e-laboratorij.carnet.hr/geogebra-interaktivna-

matematika/.

Kahoot

Kahoot je interaktivni digitalni alat za izradu kvizova. Više o Kahootu možete pročitati na

https://e-laboratorij.carnet.hr/kahoot-game-based-sustav-za-odgovaranje-i-kvizove/.

Crossword Labs

Križaljke možete izraditi pomoću alata Crossword Labs. Više o alatu Crossword Labs možete pročitati na https://e-laboratorij.carnet.hr/crossword-labs-svatko-moze-napraviti-krizaljku/.

Coggle

Za izradu umnih mapa možete se koristiti alatom Coggle. Više o alatu Coggle možete pročitati na https://e-laboratorij.carnet.hr/coggle-mentalne-mape/.

Matematika 1 / Modul 7: Sustavi jednadžbi

Priručnik za nastavnike

34

Dodatni materijali i poveznice za izvođenje nastave uz DOS

Pri realizaciji modula Sustavi jednadžbi mogu vam pomoći i ovi sadržaji e-Škole scenarij poučavanja:https://scenariji-poucavanja.e-skole.hr/scenarij-poucavanja/dvostruko-

nepoznato/.

Dodatni se materijali mogu naći i na Nacionalnom portalu za učenje na daljinu Nikola Tesla

(Matematika, Matematika srednje učenici).

Matematička lektira: E. T. Bell: Men of Mathematics, Arhimedov problem stoke Poveznice na dodatne izvore i važne reference za nastavnika Možda bi vas mogle zanimati i ove teme:

http://fisherpub.sjfc.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1028&context=mathcs_etd_maste rs.

Operativni plan

Modul

Jedinice DOS-a

Broj sati

7.

Sustavi

9 + 1

jednadžbi

7.1. Sustav linearnih jednadžbi

1

7.2. Metode rješavanja sustava linearnih jednadžbi

2

7.3. Grafičko rješavanje sustava linearnih jednadžbi

3

7.4. Primjena sustava linearnih jednadžbi

3

Aktivnosti za samostalno učenje

1

Procjena usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda

Matematika 1 / Modul 7: Sustavi jednadžbi

Priručnik za nastavnike

35

7.1. Sustav linearnih jednadžbi

Ciljevi, ishodi, kompetencije

Ciljevi i zadaće

Usvojiti pojam linearne jednadžbe s dvjema nepoznanicama i rješenja linearne jednadžbe s dvjema nepoznanicama

Usvojiti pojam sustava linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama i rješenja sustava linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama

Odgojno-obrazovni ishodi

Provjeriti pripada li uređeni par skupu rješenja linearne jednadžbe s dvjema nepoznanicama

Računati vrijednost jedne od nepoznanica u linearnoj jednadžbi s dvjema nepoznanicama ako je poznata vrijednost druge

Provjeriti je li uređeni par rješenje sustava linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama Razlikovati linearnu jednadžbu s dvjema nepoznanicama i sustav dviju linearnih jednadžbi sdvjema nepoznanicama s obzirom na mogući broj rješenja

Generičke kompetencije

Vještina upravljanja informacijama

Sposobnost komunikacije

Matematika 1 / Modul 7: Sustavi jednadžbi

Priručnik za nastavnike

36

Metodički prijedlozi o mogućnostima primjene sadržaja jedinice Planirani broj nastavnih sati: 1 sat

Ovu jedinicu možete upotrijebiti u cijelosti ili u dijelovima za obradu, vježbanje, ponavljanje ili samostalni rad, suradnički te projektni rad učenika.

Uvod i motivacija

U uvodnom će dijelu učenici rješavajući problem određivanja dimenzija police otkriti linearnu jednadžbu s dvjema nepoznanicama. Uvrštavanjem konkretnih vrijednosti uočit će da jednadžba ima mnogo rješenja, ali da su rješenja parovi brojeva.

Razrada sadržaja učenja i poučavanja

U nastavku se prethodna razmatranja formaliziraju te se definira linearna jednadžba s dvjema nepoznanicama i rješenje linearne jednadžbe s dvjema nepoznanicama. Učenici određuju vrijednost jedne nepoznanice ako je poznata vrijednost druge. Rješavajući problem ograđenog zemljišta uz pomoć interakcije uočit će da jedna linearna jednadžba s dvjema nepoznanicama ima beskonačno mnogo rješenja.

Definira se rješenje sustava linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama. Rješavajući nekoliko interaktivnih zadataka učenici će provjeravati je li neki uređeni par rješenje sustava jednadžbi.

Završetak

U završnom će dijelu učenici primijeniti linearne jednadžbe s dvjema nepoznanicama na problem miješanja otopina.

Dodatni prijedlozi

Prijedlog

Suradnička aktivnost kolo-naokolo: Svaki učenik zapiše jednu linearnu jednadžbu s dvjema nepoznanicama, preda papir s jednadžbom učeniku lijevo od sebe, na dobivenom papiru napiše neko rješenje jednadžbe, preda papir lijevo od sebe, provjeri točnost i napiše neku jednadžbu čije je rješenje zapisani par…

Matematika 1 / Modul 7: Sustavi jednadžbi

Priručnik za nastavnike

37

Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju posebne odgojno-obrazovne potrebe

Metodički prijedlozi i napomene za rad s učenicima koji žele znati više i s darovitim učenicima

Za učenike koji žele znati više predlažemo:

Zainteresirani učenici mogu osmisliti i ilustrirati zadatak koji se rješava postavljanjem linearne jednadžbe s dvjema nepoznanicama.

Za darovite učenike pripremljen je tekst o diofantskim jednadžbama. Više o diofantskim jednadžbama možete pronaći na http://mis.element.hr/fajli/279/16-02.pdf.

Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima s teškoćama u razvoju

Kako biste sadržaje ove jedinice prilagodili učenicima s teškoćama u razvoju i učenicima sa specifičnim teškoćama u učenju, uvijek valja imati na umu da oni predstavljaju heterogenu skupinu i da odabir prilagodbi valja temeljiti na individualnim obilježjima pojedinog učenika.

Kroz cijelu jedinicu u zadacima koji od učenika traži da odgovori na pitanja povezivanja gradiva (npr. pitanja zašto smo nešto napravili na taj način ili razmisli) potrebno je provjeriti jesu li učenici s jezičnim teškoćama razumjeli što se od njih traži te, prema potrebi, pomoći im oko oblikovanja odgovora.

Učenike sa specifičnim teškoćama učenja potrebno je u 1. zadatku podsjetiti na koji način se računaju jednadžbe (primjerice, kako moramo uvrstiti brojeve umjesto oznaka x i y).

Također, dopustite im korištenje džepnog računala pri računanju.

U 5. zadatku nije jasno naznačeno da zadatak ima više rješenja pa je to potrebno naglasiti učenicima.

U 2. primjeru učenicima s diskalkulijom potrebno je objasniti u koracima kako smo iz jednadžbe 7x+8y=0 dobili y=-7/8x te detaljnije objasniti kako smo zaključili da x mora biti višekratnik broja 8.

Učenicima s motoričkim teškoćama potrebna je pomoć pri rješavanju zadataka u kojima trebaju upisivati ili povlačiti rješenja.

Matematika 1 / Modul 7: Sustavi jednadžbi

Priručnik za nastavnike

38

7.2. Metode rješavanja sustava linearnih

jednadžbi

Ciljevi, ishodi, kompetencije

Ciljevi i zadaće

Koristiti različite metode pri rješavanju sustava dviju i triju linearnih jednadžbi Rješavati nelinearne sustave svođenjem na linearni sustav Odgojno-obrazovni ishodi

Riješiti sustav dviju linearnih jednadžbi metodom supstitucije, komparacije i suprotnih koeficijenata

Odabrati primjerenu metodu za rješavanje sustava triju linearnih jednadžbi s trima nepoznanicama

Svesti jednostavni nelinearni sustav jednadžbi na linearni metodom supstitucije Generičke kompetencije

Spremnost na suradnju

Sposobnost donošenja odluke i preuzimanja odgovornosti

Sposobnost aktivnog planiranja i postavljanja ciljeva

Matematika 1 / Modul 7: Sustavi jednadžbi

Priručnik za nastavnike

39

Metodički prijedlozi o mogućnostima primjene sadržaja jedinice Planirani broj nastavnih sati: 2 sata

Ovu jedinicu možete upotrijebiti u cijelosti ili u dijelovima za obradu, vježbanje, ponavljanje ili samostalni rad, suradnički te projektni rad učenika.

Uvod i motivacija

U uvodu je problemski zadatak kojim se učenike pokušava podsjetiti na probleme koje su radili u osnovnoj školi, kao i na neke metode koje su učili za njihovo rješavanje. Nabrajamo tri glavne metode i dalje ih na primjerima razrađujemo.

Razrada sadržaja učenja i poučavanja

Prije razrade metoda ponavljamo što znači riješiti sustav dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama. Svaku metodu pokazujemo na novom primjeru sa zadatkom poslije njega. I primjeri i zadatci većim su dijelom interaktivni, a naglasak je na pogodnom odabiru metode. Važno je uključiti i koji primjer ili zadatak u kojem sustav ima beskonačno ili nema rješenja. U praksi se često pojavljuju sustavi s tri ili više jednadžbi. Stoga se ovdje pokazuje kako se rješavaju sustavi s trima linearnim jednadžbama s trima nepoznanicama, kao i nelinearni sustavi koje svodimo na linearne. Naglasak je na tehnici, preciznosti i pravilnom odabiru metode rješavanja.

Završetak

Za završetak je predviđeno uvježbavanje svih metoda na interaktivnom zadatku u kojem se na kraju, kad se svi zadatci točno riješe, pojavi slika, ali i procjena znanja u svrhu samovrednovanja.

Dodatni prijedlozi

Prijedlog

S obzirom na to da su učenici već u osnovnoj školi upoznali većinu ovih metoda, može im se na početku dati svima isti zadatak, ali neka svaka grupa koristi drukčiju metodu, a zatim analizirati prednosti i mane svake od metoda.

Matematika 1 / Modul 7: Sustavi jednadžbi

Priručnik za nastavnike

40

Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju posebne odgojno-obrazovne potrebe

Metodički prijedlozi i napomene za rad s učenicima koji žele znati više i s darovitim učenicima

Za učenike koji žele znati više predlažemo:

Zainteresirani učenici mogu istražiti povijest rješavanja sustava jednadžbi i metode rješavanja.

Za darovite učenike predviđeno je povezivanje pojma polinoma dviju varijabli i sustava triju linearnih jednadžbi s trima nepoznanicama, kao i pokazivanje da zadani sustav ima beskonačno rješenja. Može se i pokrenuti rasprava o broju rješenja.

Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima s teškoćama u razvoju

Kako bi učenici s diskalkulijom bolje razumjeli rješavanje sustava jednadžbi metodom supstitucije, neka prvi izračun (cijenu paprike i patlidžana) ne prate samo na računalu, nego neka nakon prvog čitanja pokušaju isti zadatak riješiti u bilježnicu kako bi provjerili jesu li razumjeli metodu.

U objašnjenju metode suprotnih koeficijenata možda im neće biti jasan postupak nakon čitanja jedinice, pa je zadatak potrebno riješiti dodatno u bilježnici gdje si učenici mogu bojom istaknuti ključne korake (primjerice kako računamo s dvjema jednadžbama: da se 4x i –4x oduzimaju).

Prije podnaslova Nelinearne jednadžbe provjerite s učenicima sjećaju li se kada za jednadžbu kažemo da je linearna.

Učenicima sa specifičnim teškoćama učenja omogućite korištenje džepnog računala pri računanju.

Učenicima s motoričkim teškoćama potrebna je pomoć u rješavanju zadataka u kojima se treba upisivati ili povlačiti rezultate u ovoj jedinici.

U dijelu Procijenite svoje znanje, u 4. zadatku napomenite učenicima da provjere jesu li vidjeli sve elemente zadatka a ako je potrebno dajte im ispis tog zadatka.

Matematika 1 / Modul 7: Sustavi jednadžbi

Priručnik za nastavnike

41

7.3. Grafičko rješavanje sustava linearnih

jednadžbi

Ciljevi, ishodi, kompetencije

Ciljevi i zadaće

Crtati pravce kao skupove rješenja linearnih jednadžbi

Grafički riješiti sustav očitavanjem presjeka dvaju pravaca Odrediti broj rješenja sustava linearnih jednadžbi

Odgojno-obrazovni ishodi

Grafički prikazati skup rješenja linearne jednadžbe s dvjema nepoznanicama Odrediti sjecište pravaca u koordinatnom sustavu računski i grafički Povezati međusobni položaj dvaju pravaca s brojem rješenja sustava linearnih jednadžbi Generičke kompetencije

Sposobnost vizualizacije

Sposobnost razlikovanja

Matematika 1 / Modul 7: Sustavi jednadžbi

Priručnik za nastavnike

42

Metodički prijedlozi o mogućnostima primjene sadržaja jedinice Planirani broj nastavnih sati: 3 sata

Ovu jedinicu možete upotrijebiti u cijelosti ili u dijelovima za obradu, vježbanje, ponavljanje ili samostalni rad, suradnički te projektni rad učenika.

Uvod i motivacija

Uvodni primjer problemski je zadatak čije je rješenje linearna jednadžba s dvjema nepoznanicama. Svrha je da učenici na konkretnom primjeru shvate što je rješenje takve jednadžbe, odnosno da rješenje nije jednoznačno.

Razrada sadržaja učenja i poučavanja

U zadatku će učenici povezati linearnu jednadžbu s dvjema nepoznanicama s njezinim grafičkim rješenjem.

Ako je zadan sustav linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama, grafički ćemo ga prikazati kao dva pravca. Učenici će uvježbati očitavanje rješenja u koordinatnom sustavu.

Važno je povezati numeričko i grafičko rješenje sustava s različitim brojem rješenja. Treba inzistirati na konačnom zapisu rješenja.

Završetak

Za kraj će učenici u interakciji provježbati rješavanje sustava. Slijedi procjena usvojenosti ishoda.

Dodatni prijedlozi

Prijedlog

Učenici mogu istražiti može li se za zadani sustav linearnih jednadžbi utvrditi hoće li imati rješenja i koliko.

Matematika 1 / Modul 7: Sustavi jednadžbi

Priručnik za nastavnike

43

Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju posebne odgojno-obrazovne potrebe

Metodički prijedlozi i napomene za rad s učenicima koji žele znati više i s darovitim učenicima

Za učenike koji žele znati više predlažemo:

Zainteresirani učenici mogu otkriti kako pomoću koeficijenata u sustavu linearnih jednadžbi možemo odrediti broj rješenja.

Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima s teškoćama u razvoju

Učenicima s teškoćama u čitanju potrebno je pročitati zadatak Na početku jedinice. U tom bi zadatku trebalo učenicima s teškoćama dati ispisane grafove kako bi lakše mogli rješavati zadano. Učenicima s diskalkulijom u tom zadatku treba po koracima objasniti kako smo dobili jednadžbu za cijenu gumice y=-2/5x + 4.

U 1., 2. 3., 4.. 5., 6. i 9. zadatku potrebno je ispisati grafove kako bi učenicima taj zadatak bio pregledniji te kako bi ga lakše riješili.

Učenicima s diskalkulijom potrebno je u 2. primjeru objasniti po koracima kako smo od jednadžbe 3x - 5y= 11 dobili jednadžbu y=3/5x - 11/5.

Učenicima s motoričkim teškoćama potrebna je pomoć u zadatcima u kojima se traži upisivanje ili povlačenje rješenja.

Matematika 1 / Modul 7: Sustavi jednadžbi

Priručnik za nastavnike

44

7.4. Primjena sustava linearnih jednadžbi

Ciljevi, ishodi, kompetencije

Ciljevi i zadaće

Modeliranje problema sustavom linearnih jednadžbi

Odgojno-obrazovni ishodi

Primijeniti sustave linearnih jednadžbi pri rješavanju problema iz matematike, ostalih obrazovnih područja ili svakodnevnog života

Interpretirati rješenje sustava linearnih jednadžbi u kontekstu problemske situacije Generičke kompetencije

Sposobnost primjene znanja u praksi

Sposobnost rješavanja problema

Metodički prijedlozi o mogućnostima primjene sadržaja jedinice Planirani broj nastavnih sati: 3 sata

Matematika 1 / Modul 7: Sustavi jednadžbi

Priručnik za nastavnike

45

Ovu jedinicu možete upotrijebiti u cijelosti ili u dijelovima za obradu, vježbanje, ponavljanje ili samostalni rad, suradnički te projektni rad učenika.

Uvod i motivacija

U uvodu se postavlja problem broja ostvarenih bodova na ispitu uz postavljene uvjete.

Razrada sadržaja učenja i poučavanja

Učenici se prisjećaju strategije PPRP i uvodni problem rješavaju primjenjujući tu strategiju.

Zatim će rješavati probleme iz matematike, ostalih obrazovnih područja i svakodnevnog života.

Učenici će rješavati nekoliko zadataka vezanih uz brojeve. Pri tome će odnos između veličina opisan riječima zapisivati matematičkim simbolima.

U geometrijskim će problemima učenici povezati pojmove duljina, opseg, površina na primjerima jednostavnih likova iz zadanih odnosa odrediti sustav jednadžbi te ga nakon toga riješiti.

U poglavlju o funkcijama učenici će ponoviti osnovne pojmove vezane uz funkcije kao što su graf i pravilo pridruživanja te pomoću njih iz zadanih uvjeta postaviti sustav linearnih jednadžbi.

U zadatcima s cijenama proizvoda učenici će postavljati sustave jednadžbi te pomoću njih riješiti probleme iz svakodnevnog života. Rješenja će biti decimalni brojevi pa je ovo prilika da se s učenicima razgovara o potrebi računanja s točnim vrijednostima. U zadatku s unajmljivanjem bicikla učenici će iz zadanoga grafa odrediti linearnu jednadžbu.

Slijedi nekoliko zadataka iz računa smjese kao i zadatci sa sudarima kuglica.

Završetak

Na kraju je predviđeno da učenici sami osmisle zadatke i podijele ih ostalim učenicima u razredu.

Dodatni prijedlozi

Prijedlog

Ostavite učenicima dovoljno vremena da samostalno interpretiraju zadatak te ga prevedu u matematičke simbole. Zadatak treba pročitati, prepričati, može ga se odglumiti, a tek nakon toga algebarski rješavati. Osobito je važno na kraju odgovoriti na postavljeno pitanje te ustanoviti smislenost rješenja u kontekstu realne situacije.

Matematika 1 / Modul 7: Sustavi jednadžbi

Priručnik za nastavnike

46

Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju posebne odgojno-obrazovne potrebe

Metodički prijedlozi i napomene za rad s učenicima koji žele znati više i s darovitim učenicima

Za učenike koji žele znati više predlažemo:

Zainteresirani učenici mogu napraviti prezentacije zadataka u raznim oblicima: plakatima, videom...

Za darovite učenike pripremljen je složeniji zadatak u kojem treba povezati i interpretirati više zadanih podataka.

Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima s teškoćama u razvoju

Učenicima s teškoćama vida te specifičnim teškoćama učenja unaprijed pripremite podatke s podatcima o zadatcima u testu te riješenim i neriješenim zadatcima kako biste im olakšali rješavanje zadatka.

Prilikom rješavanja 1. i 5. zadatka svi potrebni elementi ne vide se istovremeno na sučelju pa učenicima s teškoćama možete pripremiti ispis PPRP tablice u koju mogu olovkom upisati rješenja te nakon toga riješiti zadatak u digitalnoj jedinici.

Prije jedinice Geometrijski problemi potrebno ih je podsjetiti na formule za izračun opsega trokuta, površine trapeza i pravokutnika te na Pitagorin poučak.

Matematika 1 / Modul 7: Sustavi jednadžbi

Priručnik za nastavnike

47

Aktivnosti za samostalno učenje

Ciljevi, ishodi, kompetencije

Ciljevi i zadaće

Odabrati, primijeniti i obrazložiti metodu rješavanja sustava linearnih jednadžbi Samostalno modelirati problemsku situaciju

Raspravljati o broju rješenja sustava

Odgojno-obrazovni ishodi

Razlikovati sustave linearnih jednadžbi po broju rješenja

Odrediti rješenje sustava linearnih jednadžbi grafički i računski Riješiti sustav linearnih jednadžbi odabirom prikladne metode Modelirati probleme iz matematike, ostalih obrazovnih područja ili svakodnevnog života pomoću sustava jednadžbi

Razviti organizacijske sposobnosti

Generičke kompetencije

Kritičko promišljanje

Sposobnost donošenja odluke

Sistematičnost i preciznost

Sposobnost samoprocjene i samovrednovanja

Metodički prijedlozi o mogućnostima primjene sadržaja jedinice Planirani broj nastavnih sati: 1 sat

Ovu jedinicu možete upotrijebiti u cijelosti ili u dijelovima za obradu, vježbanje, ponavljanje ili samostalni rad, suradnički te projektni rad učenika.

Uvod i motivacija

Kao uvod odabran je primjer sustava jednadžbi s fizikalnim problemom kao polazištem, ali nije uobičajeni problem gibanja, nego problem ravnoteže dvaju tijela (zakon poluge), uz popratni video radi vizualizacije problema.

Matematika 1 / Modul 7: Sustavi jednadžbi

Priručnik za nastavnike

48

Razrada sadržaja učenja i poučavanja

Naglasak je na modeliranju i odabiranju prikladne metode rješavanja sustava jednadžbi bez obzira na to o kakvu se problemu radi. U nastavku je naglasak na istraživanju nove metode rješavanja, odnosno korištenju Kramerova pravila i determinanti. Koristeći se GeoGebrom i promatranjem determinanti učenici bi samostalno trebali doći do Kramerova pravila.

Završetak

Za kraj će učenici dobiti projektni zadatak u kojemu trebaju samostalno istražiti geometrijsku interpretaciju sustava triju linearnih jednadžbi s trima nepoznanicama. To ne mora biti projekt za sve učenike, nego za nekolicinu njih koji će prezentirati ostalima rezultate svog istraživanja.

Ovo je dobar trenutak za analogiju s dvije na tri dimenzije.

Dodatni prijedlozi

Prijedlog

Ovisno o zainteresiranosti, učenici mogu i sami istraživati različite metode rješavanja sustava, kreiranja vlastitih primjera zadataka.

Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima koji imaju posebne odgojno-obrazovne potrebe

Metodički prijedlozi i napomene za rad s učenicima koji žele znati više i s darovitim učenicima

Za učenike koji žele znati više predlažemo:

Zainteresirani učenici pokušat će riješiti neki zadatak s četiri jednadžbe ili složeniji sustav, ili dati povijesni primjer.

Za darovite je učenike predviđeno dokazivanje Kramerova pravila i rasprava o rješenju sustava pomoću Kramerova pravila.

Metodički prijedlozi, smjernice, standardi pristupačnosti i dodatni sadržaji za rad s učenicima s teškoćama u razvoju

U provedbi aktivnosti za slobodno učenje preporučuje se primjenjivati smjernice o prilagodbi okruženja, materijala ili sadržaja. Prilagodbe treba odabirati na temelju specifičnih obilježja učenika s posebnim odgojno-obrazovnim potrebama.

Matematika 1 / Modul 7: Sustavi jednadžbi

Priručnik za nastavnike

49

Moguće prilagodbe materijala i načina poučavanja:

ponoviti ili pojednostavniti upute

jezično prilagoditi složenije zadatke

koristiti se vizualnom podrškom: ključne pojmove iz zadataka popratiti slikama i ilustracijama, označiti bojom ili podebljati tisak

razdijeliti podatke koji se ponavljaju u različite retke

povećati razmak između redova

formule, mjerne jedinice ili oznake uvećati i postaviti na vidljivo mjesto omogućiti upotrebu džepnog računala

voditi računa o primjerenosti prostornih uvjeta u odnosu na specifičnosti učenika omogućiti duže vrijeme rješavanja zadataka

koristiti se različitim alatima koji olakšavaju učenje.

Ako učenik s teškoćama rabi asistivnu tehnologiju, valja je integrirati i u aktivnosti za slobodno učenje.

Pojedini se postupci primjenjuju za određene skupine učenika s posebnim odgojno-obrazovnim potrebama:

povezati zadatke sa specifičnim interesima učenika radi osiguravanja motiviranosti, najaviti aktivnosti, osigurati zamjenske aktivnosti (poremećaj iz spektra autizma) smanjiti zahtjeve za pisanjem ili prepisivanjem s ploče, omogućiti promjenu aktivnosti u trenutcima zasićenosti, uporaba podsjetnika (poremećaj pažnje) upotrijebiti font Sans Serif (ili Verdanu, Dyslexiju), prilagoditi veličinu slova (najmanje 12

pt), poravnati tekst na lijevu stranu – posebno za dodatne materijale (specifične teškoće učenja)

osigurati češće stanke tijekom rada, povezivati sadržaje s primjerima iz svakodnevnog života (intelektualne teškoće)

usmeno prezentirati zadatak, omogućiti upotrebu džepnog računala, uvećati radne materijale (motoričke teškoće)

ukloniti distraktore, voditi računa o mjestu sjedenja u odnosu na izvor zvuka (oštećenje sluha).

U osmišljavanju prilagodbi uvijek treba raditi timski i kontinuirano surađivati sa stručnim timom škole, pomoćnikom u nastavi i roditeljima. Za sve je učenike s teškoćama važno osigurati njihovo aktivno sudjelovanje tijekom aktivnosti za slobodno učenje. Ujedno se preporučuje ciljano organiziranje učenja u skupinama kako bi učenik imao priliku surađivati s vršnjacima (uz jasne upute svim članovima skupine).

Zadatak Na početku ima puno teksta pa ga je potrebno pročitati učenicima s teškoćama čitanja. Kako biste taj zadatak dodatno približili učenicima sa specifičnim teškoćama učenja, možete im nacrtati skice klackalica i djece te na crtežu označiti m1 i m2 te d1 i d2.

Kako biste učenicima s teškoćama olakšali rješavanje zadataka, potrebno je unaprijed pripremiti ispis grafa u 1. zadatku.

Učenicima s motoričkim teškoćama bit će potrebna pomoć prilikom upisivanja i sparivanja rezultata.

Matematika 1 / Modul 7: Sustavi jednadžbi

Priručnik za nastavnike

50

U zadatku Interakciji biti će potrebna pomoć u snalaženju i rješavanju zadatka učenicima s motoričkim teškoćama te diskalkulijom.

Matematika 1 / Modul 7: Sustavi jednadžbi

Priručnik za nastavnike

51

Procjena usvojenosti odgojno-obrazovnih

ishoda

Ciljevi, ishodi, kompetencije

Ciljevi i zadaće

Odrediti rješenje linearne jednadžbe s dvjema nepoznanicama Riješiti sustav linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama računski i grafički Modelirati sustavom linearnih jednadžbi

Odgojno-obrazovni ishodi

Razlikovati sustave linearnih jednadžbi po broju rješenja

Odrediti rješenje sustava linearnih jednadžbi grafički i računski Riješiti sustav linearnih jednadžbi odabirom prikladne metode Modelirati probleme iz matematike, ostalih obrazovnih područja ili svakodnevnog života pomoću sustava jednadžbi

Razviti organizacijske sposobnosti

Generičke kompetencije

Preciznost

Sposobnost razlikovanja

Metodički prijedlozi o mogućnostima primjene sadržaja jedinice Planirani broj nastavnih sati: 1 sat

Ovu jedinicu možete upotrijebiti u cijelosti ili u dijelovima za obradu, vježbanje, ponavljanje ili samostalni rad, suradnički te projektni rad učenika.

Prijedlog

Procjena je usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda na kraju modula Sustavi jednadžbi formativna. Osmišljena je u obliku interaktivnih zadataka s povratnim informacijama koje će pomoći učeniku u samovrednovanju znanja i vještina te u svrhu praćenja vlastitog napretka.

Samovrednovanjem i praćenjem potiče se samoregulacija procesa učenja, tj. učenik dobiva smjernice za daljnje učenje na temelju vlastitih postignuća.

Matematika 1 / Modul 7: Sustavi jednadžbi

Priručnik za nastavnike

52

Procjena usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda omogućuje procjenu različitih kognitivnih razina postignuća – reprodukcija, primjena i rješavanje problema, daje učeniku povratnu informaciju o točnosti rješenja koja je unio te o usvojenosti odgojno-obrazovnih ishoda ovog modula.

Matematika 1 / Modul 7: Sustavi jednadžbi

Priručnik za nastavnike

53

Pojmovnik

Izvor: CARNET-ova Dokumentacija za nadmetanje: NABAVA USLUGA IZRADE OTVORENIH DIGITALNIH OBRAZOVNIH

SADRŽAJA

Cjeloviti digitalni obrazovni sadržaj (cjeloviti DOS)

Cjeloviti digitalni obrazovni sadržaj je obrazovni sadržaj u digitalnom obliku koji pokriva cjelokupni kurikulum ili nastavni program određenog predmeta za određeni razred. Jedan cjeloviti DOS obuhvaća cjelokupni godišnji fond školskih sati za kurikulum ili nastavni program određenog predmeta za određeni razred, prema postojećem nastavnom planu te dodatne sate za samostalno učenje i vrednovanje kod kuće.

Darovita djeca

Darovita djeca su ona djeca koja posjeduju sklop osobina, visoko natprosječnih općih ili specifičnih sposobnosti, visokoga stupnja kreativnosti i motivacije koji im omogućava razvijanje izvanrednih kompetencija i dosljedno postizanje izrazito natprosječnoga postignuća i/ili uratka u jednome ili u više područja. (definicija preuzeta i prilagođena iz Prijedloga okvira za poticanje iskustava učenja i vrednovanje postignuća darovite djece i učenika, 2016.) Digitalni obrazovni materijal

Digitalni obrazovni materijal je bilo kakav obrazovni materijal u digitalnom formatu neovisno o obliku (e-udžbenik, dio e-udžbenika, e-knjiga, cjeloviti multimedijalni materijali, obrazovna igra, digitalizirana verzija tiskanih obrazovnih materijala, on-line tečaj i dr.) i kontekstu za koji je izrađen (za primjenu u formalnom, neformalnom ili informalnom obrazovnom kontekstu).

Jedan digitalni obrazovni materijal je materijal koji sadržajno pokriva najmanje 5 nastavnih sati u potpunosti i podrazumijeva metodičko oblikovanje.

Jedan digitalni obrazovni materijal NIJE samo jedan izolirani grafički ili multimedijalni prikaz, niti prezentacija u digitalnom formatu. Nadalje, jedan digitalni obrazovni materijal NIJE

tekstualni dokument (npr. word dokument) ili pdf verzija tekstualnog dokumenta koji ne podrazumijeva metodičko oblikovanje te sadržajno ne pokriva najmanje 5 nastavnih sati.

Digitalni obrazovni sadržaj (DOS)

Digitalni obrazovni sadržaj je sadržaj namijenjen korištenju za učenje i poučavanje, a koji je pohranjen na računalu, elektroničkom mediju ili je objavljen na Internetu. DOS je namijenjen prvenstveno učenicima za učenje, provjeru znanja i korištenje na nastavnom satu.

Sekundarno, DOS je namijenjen i učenicima za samostalno učenje i rad kod kuće te, zajedno s pripadajućim priručnikom, nastavnicima za poučavanje.

Matematika 1 / Pojmovnik

Priručnik za nastavnike

54

Interakcija

Interakcija je multimedijalni element ugrađen u sadržaj čija interaktivnost podrazumijeva pokretanje, zaustavljanje ili pauziranje nekog elementa, akcije kao što su pomicanje ili grupiranje dijelova sadržaja povlačenjem miša ili nekom drugom komandom, obrazac za ispunjavanje, označavanje odgovora, unos teksta, formula ili audio zapisa, povećavanje grafičkog prikaza do velikih detalja, didaktična igra, simulacija s mogućnošću unosa ulaznih parametara i prikazivanja rezultata ovisno o unesenim parametrima, mogućnost dobivanja povratnih informacija, interaktivna infografika, interaktivni video, žiroskopski prikaz, 3D prikaz uz mogućnost manipulacije elementom i sl.

E-pristupačnost

E-pristupačnost je nadilaženje prepreka i poteškoća na koje osobe nailaze kada pokušavaju pristupiti proizvodima i uslugama koji se zasnivaju na informacijskim i komunikacijskim tehnologijama (Europska komisija, 2005.)

Inkluzivni odgoj i obrazovanje (uključivi odgoj i obrazovanje, inkluzija) Inkluzivni odgoj i obrazovanje (uključivi odgoj i obrazovanje, inkluzija) je uvažavanje različitosti i specifičnosti svakog pojedinca kroz odgoj i obrazovanje koji odgovara na različite odgojno-obrazovne potrebe sve djece i svih učenika, a temelji se na uključivanju i ravnopravnom sudjelovanju svih u odgojno-obrazovnom procesu. (definicija preuzeta i prilagođena iz Prijedloga okvira za poticanje i prilagodbu iskustava učenja te vrednovanje postignuća djece i učenika s teškoćama, 2016.)

Jedinica DOS-a

Jedinica DOS-a obuhvaća dio, cijelu ili više tema određenih kurikulumom ili nastavnim programom nekog predmeta metodički obrađenih tako da obuhvaćaju sadržaj učenja i poučavanja predviđen za provođenje od jednog do tri školska sata. Jedinicu DOS-a čine sljedeći obavezni dijelovi: Uvod i motivacija, Razrada sadržaja učenja i poučavanja i Završetak.

Kognitivne razine postignuća

Kognitivne razine postignuća obuhvaćaju razinu reprodukcije znanja, primjene znanja i rješavanje problema. Reprodukcija znanja kao najniža kognitivna razina postignuća obuhvaća razumijevanje gradiva (imenovanje, definiranje, ponavljanje, izvješćivanje, razmatranje, prepoznavanje, izražavanje, opisivanje). Viša kognitivna razina postignuća je primjena znanja koja podrazumijeva konceptualno razumijevanje gradiva (raspravljanje, primjena, tumačenje, prikazivanje, izvođenje, razlikovanje). Rješavanje problema je najviša kognitivna razina postignuća koja podrazumijeva sposobnost analize, sinteze i vrednovanja gradiva (uspoređivanje, razlučivanje, predlaganje, uređivanje, organiziranje, kreiranje, klasificiranje, povezivanje, prosuđivanje, izabiranje, rangiranje, procjenjivanje, vrednovanje, kombiniranje, predviđanje).

Matematika 1 / Pojmovnik

Priručnik za nastavnike

55

Modul DOS-a

Jedan modul DOS-a obuhvaća smisleno povezan sadržaj učenja i poučavanja koji obuhvaća određeni broj jedinica DOS-a, koje obuhvaćaju jednu ili više tema određenih kurikulumom ili nastavnim programom nekog predmeta.

Multimedijalni element

Multimedijalni element je zvučni zapis, fotografije, ilustracije, video zapis ili 2D i 3D animacije.

Nastavni sadržaj

Nastavni sadržaj je konkretna građa i zadatci (aktivnosti) za usvajanje i razvijanje odgojnih i obrazovnih znanja, vještina i navika kojima se ostvaruje određeni odgojno-obrazovni ishod ili skup odgojno-obrazovnih ishoda.

Objavljeni obrazovni sadržaj

Objavljeni obrazovni sadržaj je sadržaj namijenjen korištenju u obrazovne svrhe objavljen u tiskanom ili digitalnom formatu uz pozitivnu stručnu recenziju ili pozitivnu evaluaciju od strane korisnika sadržaja.

Obrazovni sadržaj

Obrazovni sadržaj je sadržaj, tiskanog ili digitalnog tipa, razvijen s primarnom namjenom korištenja u obrazovne svrhe, bilo u nastavi ili izvan nje, za formalno, neformalno ili informalno obrazovanje.

Odgojno-obrazovni ishod (ishod učenja)

Odgojno-obrazovni ishod (ishod učenja) je jasni iskaz očekivanja od učenika (što učenici znaju, mogu učiniti i koje stavove/vrijednosti imaju razvijene) na kraju nekog dijela učenja i poučavanja. Ovisno o razini na kojoj je izražen, neki odgojno-obrazovni ishod može se odnositi na razdoblje od jednog nastavnog sata, tematske cjeline, cijele godine ili ciklusa učenja i poučavanja nekog nastavnog predmeta ili međupredmetne teme. Ishodi mogu biti određeni kao znanja, vještine i/ili stavovi/vrijednosti.

Osoba s invaliditetom

Osoba s invaliditetom je osobe koja ima dugotrajna tjelesna, mentalna, intelektualna ili osjetilna oštećenja, koja u međudjelovanju s različitim preprekama mogu sprečavati njihovo puno i učinkovito sudjelovanje u društvu na ravnopravnoj osnovi s drugima (Konvencija o pravima osoba s invaliditetom, 2006). Prema istoj konvenciji, invaliditet nije samo oštećenje koje osoba ima, nego je rezultat interakcije oštećenja osobe (koje nije samo tjelesno oštećenje kao najvidljivije) i okoline iz čega proizlazi da društvo neprilagođenošću stvara invaliditet, ali ga kroz tehničke prilagodbe prostora, osiguranje pomagala i drugih oblika podrške može i ukloniti.

U kontekstu digitalnih obrazovnih sadržaja prilagodbe se odnose na primjenu principa univerzalnog dizajna i poštivanje standarda e-pristupačnosti pri izradi materijala.

Matematika 1 / Pojmovnik

Priručnik za nastavnike

56

Otvoreni obrazovni sadržaj

Otvoreni obrazovni sadržaj je sadržaj slobodno dostupan za korištenje, doradu i izmjenu od trećih strana bez dodatne naknade.

Repozitorij digitalnih obrazovnih sadržaja / Repozitorij digitalnih nastavnih materijala Repozitorij digitalnih obrazovnih sadržaja/Repozitorij digitalnih nastavnih materijala je repozitorij digitalnih nastavnih materijala izrađen u sklopu pilot projekta e-Škole.

Suvremena pedagoška metoda

Suvremena pedagoška metoda je metoda koja potiče aktivan rad učenika kroz projektni i timski rad, rješavanje problema, učenje putem otkrivanja, stvaralačko učenje te poticanje kritičkog razmišljanja.

Učenik/dijete s posebnim odgojno-obrazovnih potrebama

Učenik/dijete s posebnim odgojno-obrazovnim potrebama je daroviti učenik/dijete ili učenik/dijete s teškoćama u razvoju.

Učenici/djeca s teškoćama

Učenik/dijete s teškoćama je dijete/učenik kojemu je u odgojno-obrazovnom sustavu potrebna dodatna podrška u učenju i/ili odrastanju. Prema Zakonu o odgoju i obrazovanju u osnovnoj i srednjoj školi, NN 94/13. (pročišćeni tekst) učenici s teškoćama (Članak 65.) su: – učenici s teškoćama u razvoju, – učenici s teškoćama u učenju, problemima u ponašanju i emocionalnim problemima, – učenici s teškoćama uvjetovanim odgojnim, socijalnim, ekonomskim, kulturalnim i jezičnim čimbenicima. U Pravilniku o osnovnoškolskom i srednjoškolskom odgoju i obrazovanju učenika s teškoćama u razvoju (NN 24/15) navode se skupine vrsta teškoća: 1. Oštećenja vida, 2. Oštećenja sluha, 3. Oštećenja jezično-govorne-glasovne komunikacije i specifične teškoće u učenju, 4. Oštećenja organa i organskih sustava, 5. Intelektualne teškoće, 6. Poremećaji u ponašanju i oštećenja mentalnog zdravlja, 7. Postojanje više vrsta teškoća u psihofizičkom razvoju.

Matematika 1 / Pojmovnik

Priručnik za nastavnike

57